Fenòmens de Transport | Tema 3: Balanç Total de Matèria | UAB
FENÒMENS DE TRANSPORT
Teoria — Tema 3: Balanç Total de Matèria: Equació de
Continuïtat
Enginyeria Química · UAB · Curs 2025-2026
Objectius del tema
Al final d'aquest tema l'estudiant ha de ser capac de:
• Deduir l'equació del balanç total de matèria a partir d'un balanç diferencial sobre un volum
de control cubic.
• Interpretar físicament l'equació de continuïtat i el significat de la divergència del flux
massic.
• Expandir l'equació de continuïtat en coordenades cartesianes, cilindriques i esferiques.
• Distingir les descripcions Lagrangiana i Euleriana del moviment de fluids.
• Calcular derivades materials i reescriure l'equació de continuïtat en forma Lagrangiana.
• Identificar i aplicar les condicions de contorn adequades per a la resolució de problemes.
1. Conceptes clau
Terme Definició
Volum de control Element cubic de dimensions Δx·Δy·Δz sobre el qual s'aplica el balanç
diferencial (dV) de matèria en la seva forma diferencial.
Densitat de flux de matèria Producte densitat × velocitat. Representa el cabal massic per unitat
(ρv) d'area en una direcció donada (kg/m²·s). Equivalent a la densitat de flux
per a la matèria.
Equació de continuïtat Equació diferencial que expressa la conservació de la massa en cada
punt del fluid: ∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0.
Divergència ∇·(ρv) Mesura el flux net de matèria per unitat de volum que surt del diferencial.
Si > 0, el sistema perd massa; si < 0, la guanya.
Fluid incompressible (ρ = Fluid de densitat constant. Per a ell, l'equació de continuïtat es redueix a
cte) ∇·v = 0 (o div(v) = 0).
Descripció Euleriana L'observador es fixa en l'espai. Mesura les variacions en punts fixos.
Utilitza derivades parcials ∂/∂t, ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z.
Descripció Lagrangiana L'observador es mou amb el fluid a la mateixa velocitat. Estudia una
massa de control. Utilitza la derivada material D/Dt.
Derivada material (D/Dt) Ds/Dt = ∂s/∂t + (v·∇s). Inclou la variació local (∂s/∂t) i la variació per
conveccio ((v·∇s)) al seguir el fluid.
Fenòmens de Transport · UAB · Curs 2025-2026 Pàgina 1 de 7
, Fenòmens de Transport | Tema 3: Balanç Total de Matèria | UAB
2. Fonaments teòrics
2.1 Plantejament: del RCTA al volum de control diferencial
El punt de partida és el balanç general aplicat a un reactor continu de tanc agitat (RCTA). El
sistema té una entrada de cabal Q₁ (m³/s) amb densitat ρ₁ (kg/m³), i una sortida Q₂ (m³/s) amb
densitat ρ₂ (kg/m³). La massa total continguda és M (kg) en un volum xyz (m³). (diap. 2)
El principi fonamental aplicat a qualsevol sistema macroscopic es:
Entrada + Generació = Sortida + Acumulació
Per a la matèria total, no existeix generació neta (principi de conservació de la massa). Per tant:
Entrada = Sortida + Acumulació.
Per obtenir l'equació diferencial, es redueix el volum de control a un diferencial cubic dV =
Δx·Δy·Δz. El fluid entra per les cares x, y, z i surt per les cares x+Δx, y+Δy, z+Δz. (diap. 3-4)
2.2 Variables del balanç diferencial
Variables que intervenen en el balanç diferencial de matèria: (diap. 5)
• ρ: densitat del fluid (kg/m³)
• vₓ, vy, vz: components de la velocitat del fluid en cada direcció (m/s)
• Δx, Δy, Δz: dimensions del diferencial de volum (m)
• ρvₓ, ρvy, ρvz: densitat de flux de matèria — cabal massic per unitat d'area (kg/m²·s)
• Qₙ, Qₘ, Qᵥ: cabal molar (mol/s), massic (kg/s) i volumetric (m³/s)
El balanç es fa en unitats de kg/s (flux massic), considerant les tres direccions de l'espai per
separat. Despres es divideix per dV = Δx·Δy·Δz per obtenir la forma local (per unitat de volum).
📘 CONTINGUT COMPLEMENTARI: aquest apartat no apareix complet als apunts del professor —
informació completada per Claude.
Derivació pas a pas de l'equació de continuïtat
Es realitza un balanç massic (kg/s) per cada direcció sobre el diferencial dV = Δx·Δy·Δz, i s'iguala a
l'acumulació:
Direcció x (area de cara = Δy·Δz):
Entrada: (ρvₓ)ₓ · Δy·Δz Sortida: (ρvₓ)ₓ₊Δₓ · Δy·Δz
Net x = -[∂(ρvₓ)/∂x] · Δx·Δy·Δz
De la mateixa manera per a les direccions y i z. L'acumulació de massa al volum és ∂ρ/∂t·ΔxΔyΔz.
Aplicant Entrada = Sortida + Acumulació i dividint per ΔxΔyΔz:
∂ρ/∂t + ∂(ρvₓ)/∂x + ∂(ρvy)/∂y + ∂(ρvz)/∂z = 0
Que en notació vectorial compacta és: ∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0
2.3 Equació de continuïtat (forma vectorial)
Resultat del balanç diferencial en forma vectorial compacta: (diap. 6)
∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0
Significat de cada terme:
• ∂ρ/∂t: variació temporal de la densitat en el punt fix — acumulació de massa per unitat de
volum
Fenòmens de Transport · UAB · Curs 2025-2026 Pàgina 2 de 7
FENÒMENS DE TRANSPORT
Teoria — Tema 3: Balanç Total de Matèria: Equació de
Continuïtat
Enginyeria Química · UAB · Curs 2025-2026
Objectius del tema
Al final d'aquest tema l'estudiant ha de ser capac de:
• Deduir l'equació del balanç total de matèria a partir d'un balanç diferencial sobre un volum
de control cubic.
• Interpretar físicament l'equació de continuïtat i el significat de la divergència del flux
massic.
• Expandir l'equació de continuïtat en coordenades cartesianes, cilindriques i esferiques.
• Distingir les descripcions Lagrangiana i Euleriana del moviment de fluids.
• Calcular derivades materials i reescriure l'equació de continuïtat en forma Lagrangiana.
• Identificar i aplicar les condicions de contorn adequades per a la resolució de problemes.
1. Conceptes clau
Terme Definició
Volum de control Element cubic de dimensions Δx·Δy·Δz sobre el qual s'aplica el balanç
diferencial (dV) de matèria en la seva forma diferencial.
Densitat de flux de matèria Producte densitat × velocitat. Representa el cabal massic per unitat
(ρv) d'area en una direcció donada (kg/m²·s). Equivalent a la densitat de flux
per a la matèria.
Equació de continuïtat Equació diferencial que expressa la conservació de la massa en cada
punt del fluid: ∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0.
Divergència ∇·(ρv) Mesura el flux net de matèria per unitat de volum que surt del diferencial.
Si > 0, el sistema perd massa; si < 0, la guanya.
Fluid incompressible (ρ = Fluid de densitat constant. Per a ell, l'equació de continuïtat es redueix a
cte) ∇·v = 0 (o div(v) = 0).
Descripció Euleriana L'observador es fixa en l'espai. Mesura les variacions en punts fixos.
Utilitza derivades parcials ∂/∂t, ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z.
Descripció Lagrangiana L'observador es mou amb el fluid a la mateixa velocitat. Estudia una
massa de control. Utilitza la derivada material D/Dt.
Derivada material (D/Dt) Ds/Dt = ∂s/∂t + (v·∇s). Inclou la variació local (∂s/∂t) i la variació per
conveccio ((v·∇s)) al seguir el fluid.
Fenòmens de Transport · UAB · Curs 2025-2026 Pàgina 1 de 7
, Fenòmens de Transport | Tema 3: Balanç Total de Matèria | UAB
2. Fonaments teòrics
2.1 Plantejament: del RCTA al volum de control diferencial
El punt de partida és el balanç general aplicat a un reactor continu de tanc agitat (RCTA). El
sistema té una entrada de cabal Q₁ (m³/s) amb densitat ρ₁ (kg/m³), i una sortida Q₂ (m³/s) amb
densitat ρ₂ (kg/m³). La massa total continguda és M (kg) en un volum xyz (m³). (diap. 2)
El principi fonamental aplicat a qualsevol sistema macroscopic es:
Entrada + Generació = Sortida + Acumulació
Per a la matèria total, no existeix generació neta (principi de conservació de la massa). Per tant:
Entrada = Sortida + Acumulació.
Per obtenir l'equació diferencial, es redueix el volum de control a un diferencial cubic dV =
Δx·Δy·Δz. El fluid entra per les cares x, y, z i surt per les cares x+Δx, y+Δy, z+Δz. (diap. 3-4)
2.2 Variables del balanç diferencial
Variables que intervenen en el balanç diferencial de matèria: (diap. 5)
• ρ: densitat del fluid (kg/m³)
• vₓ, vy, vz: components de la velocitat del fluid en cada direcció (m/s)
• Δx, Δy, Δz: dimensions del diferencial de volum (m)
• ρvₓ, ρvy, ρvz: densitat de flux de matèria — cabal massic per unitat d'area (kg/m²·s)
• Qₙ, Qₘ, Qᵥ: cabal molar (mol/s), massic (kg/s) i volumetric (m³/s)
El balanç es fa en unitats de kg/s (flux massic), considerant les tres direccions de l'espai per
separat. Despres es divideix per dV = Δx·Δy·Δz per obtenir la forma local (per unitat de volum).
📘 CONTINGUT COMPLEMENTARI: aquest apartat no apareix complet als apunts del professor —
informació completada per Claude.
Derivació pas a pas de l'equació de continuïtat
Es realitza un balanç massic (kg/s) per cada direcció sobre el diferencial dV = Δx·Δy·Δz, i s'iguala a
l'acumulació:
Direcció x (area de cara = Δy·Δz):
Entrada: (ρvₓ)ₓ · Δy·Δz Sortida: (ρvₓ)ₓ₊Δₓ · Δy·Δz
Net x = -[∂(ρvₓ)/∂x] · Δx·Δy·Δz
De la mateixa manera per a les direccions y i z. L'acumulació de massa al volum és ∂ρ/∂t·ΔxΔyΔz.
Aplicant Entrada = Sortida + Acumulació i dividint per ΔxΔyΔz:
∂ρ/∂t + ∂(ρvₓ)/∂x + ∂(ρvy)/∂y + ∂(ρvz)/∂z = 0
Que en notació vectorial compacta és: ∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0
2.3 Equació de continuïtat (forma vectorial)
Resultat del balanç diferencial en forma vectorial compacta: (diap. 6)
∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0
Significat de cada terme:
• ∂ρ/∂t: variació temporal de la densitat en el punt fix — acumulació de massa per unitat de
volum
Fenòmens de Transport · UAB · Curs 2025-2026 Pàgina 2 de 7
