Statistiek 2: Kansrekening en inductieve statistiek
1
,Inhoudsopgave
WAAR BEVINDEN WE ONS? .............................................................................................................................. 7
BESCHRIJVENDE ⟷ INFERENTIËLE ...................................................................................................................... 7
STEEKPROEF GEEFT INFO OVER POPULATIE ........................................................................................................ 7
KANS EN INFERENTIE ........................................................................................................................................... 8
VERZAMELINGEN EN COMBINATIELEER ............................................................................................................ 9
VERZAMELINGEN ................................................................................................................................................ 9
Een beknopt overzicht ..................................................................................................................................... 9
Unie en doorsnede ........................................................................................................................................ 10
Speciale situatie ............................................................................................................................................ 10
Complement van een deelverzameling ......................................................................................................... 11
Voorbeeld: dagen van de week ..................................................................................................................... 11
Partitie ........................................................................................................................................................... 11
COMBINATIELEER .............................................................................................................................................. 12
Verschillende “codes” .................................................................................................................................... 12
Permutaties ................................................................................................................................................... 12
Variaties ......................................................................................................................................................... 13
Combinaties .................................................................................................................................................. 14
Samenvattend ............................................................................................................................................... 15
KANSREKENING .............................................................................................................................................. 15
TOEVAL: TOEVALSVERSCHIJNSELEN................................................................................................................... 15
Begrippen bij kansrekening ........................................................................................................................... 16
Een munt opgooien… .................................................................................................................................... 17
Toeval of toch niet… ...................................................................................................................................... 18
KANSMODELLEN................................................................................................................................................ 18
Kansmodel “Dobbelstenen 1” ...................................................................................................................... 19
Kansmodel “Dobbelstenen 2” ...................................................................................................................... 19
Opmerking: muntstukken, ping-pongballen ................................................................................................. 19
en dobbelstenen als “model” ? … ! ............................................................................................................... 19
WETTEN VAN KANSREKENING .......................................................................................................................... 20
Klassieke definitie van kans ........................................................................................................................... 20
Frequentiële definitie van kans ..................................................................................................................... 21
Venn-diagrammen voor kansen .................................................................................................................... 21
2
, Algemene somregels ..................................................................................................................................... 21
Basisregels voor kansen ................................................................................................................................ 22
Voorwaardelijke kansen ................................................................................................................................ 23
Algemene productregel voor 2 gebeurtenissen ............................................................................................ 25
Productregel voor 3 gebeurtenissen ............................................................................................................. 25
Productregel voor n gebeurtenissen ............................................................................................................. 26
Stochastische onafhankelijkheid ................................................................................................................... 26
Productregel voor 2 onafhankelijke gebeurtenissen .................................................................................... 27
Samenvatting: Regels voor kansrekening ...................................................................................................... 27
Boomdiagrammen ......................................................................................................................................... 28
Regel van Bayes ............................................................................................................................................. 30
STOCHASTISCHE VARIABELEN (TOEVALSVARIABELEN) ...................................................................................... 31
1 Discrete stochastische variabele ............................................................................................................... 32
Kansmodel ..................................................................................................................................................... 33
Kansen en a-selecte steekproeven ................................................................................................................ 34
Theoretische steekproevenverdeling ............................................................................................................ 34
Empirische steekproevenverdeling ............................................................................................................... 35
2 Continue stochastische variabelen............................................................................................................ 37
Continue stochastische variabele: vb. “ roterende wijzer” ........................................................................... 38
Kans op een gebeurtenis binnen een interval ............................................................................................... 38
Oppervlakte onder een curve ....................................................................................................................... 38
Vb. Continue Stochastische Variabele ........................................................................................................... 39
Normaalverdelingen als kansverdelingen ..................................................................................................... 39
VERWACHTING EN VARIANTIE VAN STOCHASTISCHE VARIABELEN ................................................................... 39
Verwachting van een discrete stochastische variabele ................................................................................. 39
Verwachting van een continue stochastische variabele ................................................................................ 42
Regels for (Wiskundige) Verwachtingen ........................................................................................................ 43
Variantie van een Stochastische Variabele .................................................................................................. 43
Variantie van een continue stochastische variabele ..................................................................................... 45
Regels voor varianties ................................................................................................................................... 45
STEEKPROEVENVERDELINGEN (SAMPLING DISTRIBUTIONS) .......................................................................... 45
EMPIRISCHE STEEKPROEVENVERDELING .......................................................................................................... 45
PARAMETERS EN KARAKTERISTIEKE WAARDEN ................................................................................................ 46
OPMERKINGEN OVER VERDELINGEN ................................................................................................................ 47
STEEKPROEVENVERDELING ............................................................................................................................... 47
3
, THEORETISCHE STEEKPROEVENVERDELING ...................................................................................................... 47
EMPIRISCHE STEEKPROEVENVERDELING .......................................................................................................... 48
STEEKPROEVENVERDELINGEN VOOR AANTALLEN EN PROPORTIES ................................................................ 48
TREKKEN MET TERUGLEGGEN ........................................................................................................................... 48
TREKKEN ZONDER TERUGLEGGEN .................................................................................................................... 49
BINOMIALE VERDELINGEN IN STEEKPROEVEN.................................................................................................. 49
BINOMIALE FORMULES ..................................................................................................................................... 52
BINOMIALE VERDELINGEN IN STEEKPROEVEN UIT EEN “EINDIGE” POPULATIE ................................................ 53
BINOMIALE KANSEN BEPALEN........................................................................................................................... 54
Tabellen… ...................................................................................................................................................... 54
VERWACHTING EN STANDAARDDEVIATIE VAN EEN BINOMIALE VERDELING ................................................... 54
Afleiding van verwachting en SD van binomiale verdeling ............................................................................ 55
STEEKPROEFFRACTIES ....................................................................................................................................... 55
BENADERING VAN AANTALLEN EN FRACTIES MET NORMAALVERDELING ........................................................ 55
STEEKPROEVENVERDELINGEN VAN HET STEEKPROEFGEMIDDELDE ................................................................ 59
VERWACHTING EN STANDAARD DEVIATIE VAN EEN STEEKPROEFGEMIDDELDE ............................................... 62
STEEKPROEVENVERDELING EN CENTRALE LIMITE STELLING ............................................................................ 62
NORMAAL KWANTIEL-DIAGRAM ....................................................................................................................... 65
H6: INLEIDING TOT INFERENTIE ...................................................................................................................... 67
OVERZICHT ........................................................................................................................................................ 67
ALGEMEEN ........................................................................................................................................................ 67
Inductieve technieken ................................................................................................................................... 68
Voorbeeld: “toeval of niet” ........................................................................................................................... 69
SCHATTEN .......................................................................................................................................................... 70
Overzicht ....................................................................................................................................................... 70
Voorwaarden voor inferenties over een gemiddelde .................................................................................... 70
Statistisch schatten ........................................................................................................................................ 71
Puntschatting ................................................................................................................................................ 71
Maximum Likelihood (meest aannemelijke) schatter voorbeeld: ............................................................ 72
Eigenschappen van een goede schatter ........................................................................................................ 72
Zuivere en onzuivere schatters .................................................................................................................. 73
4
, Schatting van een variantie ........................................................................................................................... 73
Intervalschatting ............................................................................................................................................ 75
Intuitie voor “intervalschatten”: voorbeeld Scholastic Aptitude Test (SAT) math section (toelatinsgproef
voor unif) ................................................................................................................................................... 75
Speekproevenverdeling (van steekproefgemiddelden) SAT(math) ........................................................... 76
Betrouwbaarheidsinterval ............................................................................................................................. 77
Betrouwbaarheidsniveau (Confidence Level) ............................................................................................ 80
Betrouwbaarheidsinterval - voorbeeld ..................................................................................................... 81
Rol steekproefgrootte ................................................................................................................................ 82
Grootte van de steekproef ........................................................................................................................ 82
Bepalen van de steekproefgrootte ............................................................................................................ 83
Gedrag van de betrouwbaarheid .............................................................................................................. 83
Waarschuwingen ivm schatters ..................................................................................................................... 84
Samengevat: Populatieverdeling, Steekproevenverdeling en Betrouwbaarheidsinterval ............................ 84
Bootstrapping ................................................................................................................................................ 85
SIGNIFICANTIETOETSEN .................................................................................................................................... 86
Overzicht ....................................................................................................................................................... 86
Significantietoetsen ....................................................................................................................................... 86
Redenering bij Significantietoetsen ............................................................................................................... 87
Hypothesen in onderzoek Methodologie <> Statistische analyse ................................................................. 87
Hypothesen formuleren ................................................................................................................................ 88
Toetsingsgrootheid (Test Statistic) ................................................................................................................. 91
Overschrijdingskans (p-waarde) .................................................................................................................... 92
Statistische Significantie ............................................................................................................................ 93
Significantieniveau α ..................................................................................................................................... 94
Significantietoets in 4 stappen ...................................................................................................................... 94
Betrouwbaarheidsintervallen versus Significantietoetsen indien σ bekend ................................................ 94
Z-toets voor een populatiegemiddelde μ0..................................................................................................... 96
Significantietoets: voorbeeld Scholastic Aptitude Test (SAT) ........................................................................ 97
1 zijdig vs 2 zijdig ....................................................................................................................................... 99
z-toets voor een populatiegemiddelde μ0 ..................................................................................................... 99
Voorbeeld: jobsatisfactie bij bandwerkers .................................................................................................. 100
Twee-zijdige significantietoetsen en aanvaardingsintervallen .................................................................... 101
Overschrijdingskansen (p-waarden) versus vast significantieniveau a........................................................ 101
z-test voor proporties (vergelijken van 2 populatieproporties) .................................................................. 101
5
,6
,WAAR BEVINDEN WE ONS?
BESCHRIJVENDE ⟷ INFERENTIËLE
• Deductieve of Beschrijvende Statistiek:
- Doel = globale patronen en kenmerken ontdekken ahv
STATISTIEK I
kengetallen = karakteristieke waarden = beschrijvende maten (gemiddelde,
standaardafwijking, correlatiecoëfficiënt, etc.)
figuren (histogram, spreidingsdiagram, …)
Stap die we nu gaan maken
• Inductieve of Inferentiële statistiek:
- Verklarende statistiek, vergelijkt onderzoeksgegevens met wat mogelijk is door TOEVAL,
STATISTIEK II
gebaseerd op kansrekening
- Op basis van een beperkt aantal gegevens wordt getracht om algemene uitspraken te formuleren
over de gehele populatie.
- Toeval in kaart brengen
- Wat is dat toevel?
STEEKPROEF GEEFT INFO OVER POPULATIE
• Bij deductieve statistiek vertrekken we vanuit een populatie, waaruit we steekproef trekken
• Die steekproef gaan we beschrijven
• NU: uitspraken die gebaseerd zijn op de steekproef, maar die een veralgemening inhouden naar de
populatie toe en hoe groot kan het verschil zijn tussen steekproef + populatie = inductieve
- rekening met mogelijke fouten en onzekerheid
• Stel dat in België evenveel jongens als meisjes kiezen om psychologie te gaan studeren …
• Steekproef 2 trekken = probleem (niet-representatief)
- Steekproeven zijn kwetsbaar
- Op basis van steekproeven kan je verkeerde uitspraken
bekomen
- Iedereen in de populatie moet exact dezelfde kans
hebben om in te steekproef te geraken dmv toeval
7
,KANS EN INFERENTIE
• Waarom Kansrekening?
- Onderzoeksresultaten vergelijken met “toeval”!
- Wat kunnen we verklaren door toeval
• Vb: bepaalde medicijnen hebben maar een succeskans van 70%
- Het is normaal dat er mensen zijn die genezen, maar ook niet genezen
- Toch is het een goed medicament
- Toch kan je in een steekproef helemaal andere kansen bekomen dan in de gehele populatie
kansrekening helpt om te bepalen of een waargenomen resultaat door toeval komt of
niet
helpt ons om te bepalen of een verschil tussen steekproef en populatie toevallig is, of dat
er echt iets aan de hand is
Voorbeeld
• Kan een rat “zien” of iemand jong / oud en man / vrouw is?
- Wat moet er gebeuren om te doen geloven dat ratten
instaat zijn om een klein meisje te herkennen ?
- Als de rat constant juist zit
- Maar: door toeval soms juiste deurtje selecteren
• Stel ratten kunnen het niet, wat verwacht je dan te zien ?
- Je hebt 20 trails met ¼ kans op succes --< Gemiddeld verwachten we (door toevalstreffers) 5
correcte keuzen op 20 pogingen
- We willen eigenlijk de verdeling kennen
• Stel een rat opent 4X het juiste deurtje
- Geen uitzonderlijk resultaat
• Rat die 10X juist is
- Voor iemand die enkel toeval heeft, is het een
uitzonderlijk resultaat
• Theoretisch mogelijk om 20X juist te zijn door toeval
8
, • 15 kunnen we niet verklaren door toeval
• Dus: als een rat instaat is om 15/20 te halen, gaan we niet geloven dat het tot stand is gekomen zuiver
door toeval
• De rat is instaat om een meisje te herkennen
• Laat nu 20 ratten het experiment echt uitvoeren. Wat besluit je indien …
- Gemiddeld correct ?
- Gemiddeld correct ?
- Gemidded correct ?
Gemiddelde zijn gevoelig voor uitschieters, maar door 20X het te doen zijn we nauwkeuriger
Aantal keer onderzoeken is een belangrijk element
• Rode staart = 5%
• 5% van de toeval resultaten waren 9 of meer correcte
keuze voor het kleine meisje
• 5% = alfa = Dit is de drempel die bepaalt of een
resultaat als "bijzonder" wordt beschouwd of gewoon
door toeval kan komen
• Een grens opstellen: de kans die je loopt om op basis
van ene experiment te zeggen “die rat kan jongen
meisjes herkennen” terwijl het eigenlijk een toeval
resultaat is
VERZAMELINGEN EN COMBINATIELEER
VERZAMELINGEN
Een beknopt overzicht
• Een verzameling A is een groepering van n elementen a1, a2, …, an
• Notatie: A={a1, a2, …, an}
• Venn-diagram:
• Verzameling B is een deelverzameling van A die elementen a3, en an bevat
• Notatie: B ⊂ A (B deelverzameling van A)
• Opmerking:
- Elke verzameling is deelverzameling van zichzelf : A⊂A
- De lege verzameling is een deelverzameling van elke verzameling
O ⊂A
9
, Unie en doorsnede
• Unie: bevat alle elementen die in A, in B of in beide zitten
• Doorsnede: bevat alleen de elementen die in beide verzamelingen tegelijk zitten
Speciale situatie
• Twee disjuncte verzameling (geen overlapping)
• Doorsnede = leeg
• Unie = bestaat uit twee stukken
Verschil
• Alle elementen van A, die ook in B zitten gaan aftrekken
• Verkrijg je een maandje als resultaat
Complement
• Alle elementen die NIET in A zitten
10
1
,Inhoudsopgave
WAAR BEVINDEN WE ONS? .............................................................................................................................. 7
BESCHRIJVENDE ⟷ INFERENTIËLE ...................................................................................................................... 7
STEEKPROEF GEEFT INFO OVER POPULATIE ........................................................................................................ 7
KANS EN INFERENTIE ........................................................................................................................................... 8
VERZAMELINGEN EN COMBINATIELEER ............................................................................................................ 9
VERZAMELINGEN ................................................................................................................................................ 9
Een beknopt overzicht ..................................................................................................................................... 9
Unie en doorsnede ........................................................................................................................................ 10
Speciale situatie ............................................................................................................................................ 10
Complement van een deelverzameling ......................................................................................................... 11
Voorbeeld: dagen van de week ..................................................................................................................... 11
Partitie ........................................................................................................................................................... 11
COMBINATIELEER .............................................................................................................................................. 12
Verschillende “codes” .................................................................................................................................... 12
Permutaties ................................................................................................................................................... 12
Variaties ......................................................................................................................................................... 13
Combinaties .................................................................................................................................................. 14
Samenvattend ............................................................................................................................................... 15
KANSREKENING .............................................................................................................................................. 15
TOEVAL: TOEVALSVERSCHIJNSELEN................................................................................................................... 15
Begrippen bij kansrekening ........................................................................................................................... 16
Een munt opgooien… .................................................................................................................................... 17
Toeval of toch niet… ...................................................................................................................................... 18
KANSMODELLEN................................................................................................................................................ 18
Kansmodel “Dobbelstenen 1” ...................................................................................................................... 19
Kansmodel “Dobbelstenen 2” ...................................................................................................................... 19
Opmerking: muntstukken, ping-pongballen ................................................................................................. 19
en dobbelstenen als “model” ? … ! ............................................................................................................... 19
WETTEN VAN KANSREKENING .......................................................................................................................... 20
Klassieke definitie van kans ........................................................................................................................... 20
Frequentiële definitie van kans ..................................................................................................................... 21
Venn-diagrammen voor kansen .................................................................................................................... 21
2
, Algemene somregels ..................................................................................................................................... 21
Basisregels voor kansen ................................................................................................................................ 22
Voorwaardelijke kansen ................................................................................................................................ 23
Algemene productregel voor 2 gebeurtenissen ............................................................................................ 25
Productregel voor 3 gebeurtenissen ............................................................................................................. 25
Productregel voor n gebeurtenissen ............................................................................................................. 26
Stochastische onafhankelijkheid ................................................................................................................... 26
Productregel voor 2 onafhankelijke gebeurtenissen .................................................................................... 27
Samenvatting: Regels voor kansrekening ...................................................................................................... 27
Boomdiagrammen ......................................................................................................................................... 28
Regel van Bayes ............................................................................................................................................. 30
STOCHASTISCHE VARIABELEN (TOEVALSVARIABELEN) ...................................................................................... 31
1 Discrete stochastische variabele ............................................................................................................... 32
Kansmodel ..................................................................................................................................................... 33
Kansen en a-selecte steekproeven ................................................................................................................ 34
Theoretische steekproevenverdeling ............................................................................................................ 34
Empirische steekproevenverdeling ............................................................................................................... 35
2 Continue stochastische variabelen............................................................................................................ 37
Continue stochastische variabele: vb. “ roterende wijzer” ........................................................................... 38
Kans op een gebeurtenis binnen een interval ............................................................................................... 38
Oppervlakte onder een curve ....................................................................................................................... 38
Vb. Continue Stochastische Variabele ........................................................................................................... 39
Normaalverdelingen als kansverdelingen ..................................................................................................... 39
VERWACHTING EN VARIANTIE VAN STOCHASTISCHE VARIABELEN ................................................................... 39
Verwachting van een discrete stochastische variabele ................................................................................. 39
Verwachting van een continue stochastische variabele ................................................................................ 42
Regels for (Wiskundige) Verwachtingen ........................................................................................................ 43
Variantie van een Stochastische Variabele .................................................................................................. 43
Variantie van een continue stochastische variabele ..................................................................................... 45
Regels voor varianties ................................................................................................................................... 45
STEEKPROEVENVERDELINGEN (SAMPLING DISTRIBUTIONS) .......................................................................... 45
EMPIRISCHE STEEKPROEVENVERDELING .......................................................................................................... 45
PARAMETERS EN KARAKTERISTIEKE WAARDEN ................................................................................................ 46
OPMERKINGEN OVER VERDELINGEN ................................................................................................................ 47
STEEKPROEVENVERDELING ............................................................................................................................... 47
3
, THEORETISCHE STEEKPROEVENVERDELING ...................................................................................................... 47
EMPIRISCHE STEEKPROEVENVERDELING .......................................................................................................... 48
STEEKPROEVENVERDELINGEN VOOR AANTALLEN EN PROPORTIES ................................................................ 48
TREKKEN MET TERUGLEGGEN ........................................................................................................................... 48
TREKKEN ZONDER TERUGLEGGEN .................................................................................................................... 49
BINOMIALE VERDELINGEN IN STEEKPROEVEN.................................................................................................. 49
BINOMIALE FORMULES ..................................................................................................................................... 52
BINOMIALE VERDELINGEN IN STEEKPROEVEN UIT EEN “EINDIGE” POPULATIE ................................................ 53
BINOMIALE KANSEN BEPALEN........................................................................................................................... 54
Tabellen… ...................................................................................................................................................... 54
VERWACHTING EN STANDAARDDEVIATIE VAN EEN BINOMIALE VERDELING ................................................... 54
Afleiding van verwachting en SD van binomiale verdeling ............................................................................ 55
STEEKPROEFFRACTIES ....................................................................................................................................... 55
BENADERING VAN AANTALLEN EN FRACTIES MET NORMAALVERDELING ........................................................ 55
STEEKPROEVENVERDELINGEN VAN HET STEEKPROEFGEMIDDELDE ................................................................ 59
VERWACHTING EN STANDAARD DEVIATIE VAN EEN STEEKPROEFGEMIDDELDE ............................................... 62
STEEKPROEVENVERDELING EN CENTRALE LIMITE STELLING ............................................................................ 62
NORMAAL KWANTIEL-DIAGRAM ....................................................................................................................... 65
H6: INLEIDING TOT INFERENTIE ...................................................................................................................... 67
OVERZICHT ........................................................................................................................................................ 67
ALGEMEEN ........................................................................................................................................................ 67
Inductieve technieken ................................................................................................................................... 68
Voorbeeld: “toeval of niet” ........................................................................................................................... 69
SCHATTEN .......................................................................................................................................................... 70
Overzicht ....................................................................................................................................................... 70
Voorwaarden voor inferenties over een gemiddelde .................................................................................... 70
Statistisch schatten ........................................................................................................................................ 71
Puntschatting ................................................................................................................................................ 71
Maximum Likelihood (meest aannemelijke) schatter voorbeeld: ............................................................ 72
Eigenschappen van een goede schatter ........................................................................................................ 72
Zuivere en onzuivere schatters .................................................................................................................. 73
4
, Schatting van een variantie ........................................................................................................................... 73
Intervalschatting ............................................................................................................................................ 75
Intuitie voor “intervalschatten”: voorbeeld Scholastic Aptitude Test (SAT) math section (toelatinsgproef
voor unif) ................................................................................................................................................... 75
Speekproevenverdeling (van steekproefgemiddelden) SAT(math) ........................................................... 76
Betrouwbaarheidsinterval ............................................................................................................................. 77
Betrouwbaarheidsniveau (Confidence Level) ............................................................................................ 80
Betrouwbaarheidsinterval - voorbeeld ..................................................................................................... 81
Rol steekproefgrootte ................................................................................................................................ 82
Grootte van de steekproef ........................................................................................................................ 82
Bepalen van de steekproefgrootte ............................................................................................................ 83
Gedrag van de betrouwbaarheid .............................................................................................................. 83
Waarschuwingen ivm schatters ..................................................................................................................... 84
Samengevat: Populatieverdeling, Steekproevenverdeling en Betrouwbaarheidsinterval ............................ 84
Bootstrapping ................................................................................................................................................ 85
SIGNIFICANTIETOETSEN .................................................................................................................................... 86
Overzicht ....................................................................................................................................................... 86
Significantietoetsen ....................................................................................................................................... 86
Redenering bij Significantietoetsen ............................................................................................................... 87
Hypothesen in onderzoek Methodologie <> Statistische analyse ................................................................. 87
Hypothesen formuleren ................................................................................................................................ 88
Toetsingsgrootheid (Test Statistic) ................................................................................................................. 91
Overschrijdingskans (p-waarde) .................................................................................................................... 92
Statistische Significantie ............................................................................................................................ 93
Significantieniveau α ..................................................................................................................................... 94
Significantietoets in 4 stappen ...................................................................................................................... 94
Betrouwbaarheidsintervallen versus Significantietoetsen indien σ bekend ................................................ 94
Z-toets voor een populatiegemiddelde μ0..................................................................................................... 96
Significantietoets: voorbeeld Scholastic Aptitude Test (SAT) ........................................................................ 97
1 zijdig vs 2 zijdig ....................................................................................................................................... 99
z-toets voor een populatiegemiddelde μ0 ..................................................................................................... 99
Voorbeeld: jobsatisfactie bij bandwerkers .................................................................................................. 100
Twee-zijdige significantietoetsen en aanvaardingsintervallen .................................................................... 101
Overschrijdingskansen (p-waarden) versus vast significantieniveau a........................................................ 101
z-test voor proporties (vergelijken van 2 populatieproporties) .................................................................. 101
5
,6
,WAAR BEVINDEN WE ONS?
BESCHRIJVENDE ⟷ INFERENTIËLE
• Deductieve of Beschrijvende Statistiek:
- Doel = globale patronen en kenmerken ontdekken ahv
STATISTIEK I
kengetallen = karakteristieke waarden = beschrijvende maten (gemiddelde,
standaardafwijking, correlatiecoëfficiënt, etc.)
figuren (histogram, spreidingsdiagram, …)
Stap die we nu gaan maken
• Inductieve of Inferentiële statistiek:
- Verklarende statistiek, vergelijkt onderzoeksgegevens met wat mogelijk is door TOEVAL,
STATISTIEK II
gebaseerd op kansrekening
- Op basis van een beperkt aantal gegevens wordt getracht om algemene uitspraken te formuleren
over de gehele populatie.
- Toeval in kaart brengen
- Wat is dat toevel?
STEEKPROEF GEEFT INFO OVER POPULATIE
• Bij deductieve statistiek vertrekken we vanuit een populatie, waaruit we steekproef trekken
• Die steekproef gaan we beschrijven
• NU: uitspraken die gebaseerd zijn op de steekproef, maar die een veralgemening inhouden naar de
populatie toe en hoe groot kan het verschil zijn tussen steekproef + populatie = inductieve
- rekening met mogelijke fouten en onzekerheid
• Stel dat in België evenveel jongens als meisjes kiezen om psychologie te gaan studeren …
• Steekproef 2 trekken = probleem (niet-representatief)
- Steekproeven zijn kwetsbaar
- Op basis van steekproeven kan je verkeerde uitspraken
bekomen
- Iedereen in de populatie moet exact dezelfde kans
hebben om in te steekproef te geraken dmv toeval
7
,KANS EN INFERENTIE
• Waarom Kansrekening?
- Onderzoeksresultaten vergelijken met “toeval”!
- Wat kunnen we verklaren door toeval
• Vb: bepaalde medicijnen hebben maar een succeskans van 70%
- Het is normaal dat er mensen zijn die genezen, maar ook niet genezen
- Toch is het een goed medicament
- Toch kan je in een steekproef helemaal andere kansen bekomen dan in de gehele populatie
kansrekening helpt om te bepalen of een waargenomen resultaat door toeval komt of
niet
helpt ons om te bepalen of een verschil tussen steekproef en populatie toevallig is, of dat
er echt iets aan de hand is
Voorbeeld
• Kan een rat “zien” of iemand jong / oud en man / vrouw is?
- Wat moet er gebeuren om te doen geloven dat ratten
instaat zijn om een klein meisje te herkennen ?
- Als de rat constant juist zit
- Maar: door toeval soms juiste deurtje selecteren
• Stel ratten kunnen het niet, wat verwacht je dan te zien ?
- Je hebt 20 trails met ¼ kans op succes --< Gemiddeld verwachten we (door toevalstreffers) 5
correcte keuzen op 20 pogingen
- We willen eigenlijk de verdeling kennen
• Stel een rat opent 4X het juiste deurtje
- Geen uitzonderlijk resultaat
• Rat die 10X juist is
- Voor iemand die enkel toeval heeft, is het een
uitzonderlijk resultaat
• Theoretisch mogelijk om 20X juist te zijn door toeval
8
, • 15 kunnen we niet verklaren door toeval
• Dus: als een rat instaat is om 15/20 te halen, gaan we niet geloven dat het tot stand is gekomen zuiver
door toeval
• De rat is instaat om een meisje te herkennen
• Laat nu 20 ratten het experiment echt uitvoeren. Wat besluit je indien …
- Gemiddeld correct ?
- Gemiddeld correct ?
- Gemidded correct ?
Gemiddelde zijn gevoelig voor uitschieters, maar door 20X het te doen zijn we nauwkeuriger
Aantal keer onderzoeken is een belangrijk element
• Rode staart = 5%
• 5% van de toeval resultaten waren 9 of meer correcte
keuze voor het kleine meisje
• 5% = alfa = Dit is de drempel die bepaalt of een
resultaat als "bijzonder" wordt beschouwd of gewoon
door toeval kan komen
• Een grens opstellen: de kans die je loopt om op basis
van ene experiment te zeggen “die rat kan jongen
meisjes herkennen” terwijl het eigenlijk een toeval
resultaat is
VERZAMELINGEN EN COMBINATIELEER
VERZAMELINGEN
Een beknopt overzicht
• Een verzameling A is een groepering van n elementen a1, a2, …, an
• Notatie: A={a1, a2, …, an}
• Venn-diagram:
• Verzameling B is een deelverzameling van A die elementen a3, en an bevat
• Notatie: B ⊂ A (B deelverzameling van A)
• Opmerking:
- Elke verzameling is deelverzameling van zichzelf : A⊂A
- De lege verzameling is een deelverzameling van elke verzameling
O ⊂A
9
, Unie en doorsnede
• Unie: bevat alle elementen die in A, in B of in beide zitten
• Doorsnede: bevat alleen de elementen die in beide verzamelingen tegelijk zitten
Speciale situatie
• Twee disjuncte verzameling (geen overlapping)
• Doorsnede = leeg
• Unie = bestaat uit twee stukken
Verschil
• Alle elementen van A, die ook in B zitten gaan aftrekken
• Verkrijg je een maandje als resultaat
Complement
• Alle elementen die NIET in A zitten
10
