Differential Equations and Boundary Value Problems Computing and Modeling 5th Edition Edwards Solutions Manual

Differential Equations and Boundary Value
Problems Computing and Modeling 5th
Edition Edwards Solutions Manual

,MATHEMATICAL MODELS AND NUMERICAL METHODS g. g. g. g.




SECTION 2.1 g.




POPULATION MODELS g.




Section 2.1 introduces the first of the two major classes of mathematical
g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g.



g. models studied in the textbook, and is a prerequisite to the discussion of
g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g.



equilibrium solutions and stability in Section
g. g. g. g. g. g.



2.2. In Problems 1-8 we find the desired particular solution and sketch some
g . g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g.



typical solution curves, with the desired particular solution highlighted.
g. g. g. g. g. g. g. g. g.




1
dx = dt .
g.
1. Separating variables gives  By the method of partial fractions
x (1− x)
g. g. g . g . g. g. g . g. g. g. g. g.
g. g.




1 1 1
dx =  − dx = ln x − ln x −1 ,
g. g. g. g. g. g. g. g.

 g.
g. g.
g.
g. g. g. g. g. g. g. g. g.




x (1− x )
g. g. g.
x x −1 g.




and so the general solution of the differential equation is ln x − ln x −1 = t + C , or
g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g.




= Cet .
g. g. g . The initial g. x (0) = implies that C = 2 , leading to the particular
g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g.

x
condition
g. 2
g.

x
−1
g.




x x = 2 (x −1)et , or t 2
solution = , g. g. g. g. g. g. g. g. .
2e
x (t ) =
2et −1 − e−t
g. g. g. g.
2et or finally
g. g. g.
g.

g.


= g.

x g. 2

g. −1

Problem
1
g. 2
3

, x g .
1 Problem 2 g.



15


0

10




x g .
5




0




−1 −5
0 1 2 3 4 5 0 1
t t




100
Copyright © 2015 Pearson Education, Inc.
g. g. g. g. g.




V i s i t T e s t B a n k D e a l . c o

, Section 2.1 101



1
dx = dt .
g.
2. Separating variables gives  By the method of partial fractions
x (10 − x )
g. g. g . g . g. g. g . g. g. g. g. g.
g. g.




1 1 1 1 1
dx =  − dx = (ln x − ln x − 10 ),
g. g. g. g. g. g. g . g . g. g. g. g.

 g.
g. g.
g.
g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g.




x (10 − x)
g. g. g. 10 x x − 10 g. g. 10

and so the general solution of the differential equation is ln x − ln x − 10 = 10t + C , or
g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g.




x 1
= Ce10t . The initial x (0) = 1 implies that C = −
g.
g. g. g . g. g. g. g. g. g. g. g. g. , leading to the
g. g. g.


x − condition
g.
g.


10
g.



x 1 10t
= , or 9 x = e10t (10 − x ), or finally
g.
particular g. e g.
g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g.



g. solution
9
9
10e10t 10 − g.



g. x
10
x (t ) = g. g. g.
= −10t . g .


g.
e10t + g.
9 1+ g.



g. 9e


1
Separating variables dx =  dt .
g.

3.
g.
g . g.
g.
g. g . By the method of partial fractions
g. g. g. g. g.



gives 
g. g.


(1 + x) (1 − x )
1 1 1 1 1
dx = − − dx = − (ln x − 1 − ln x + 1 ),
g. g. g . g . g . g. g . g. g. g. g.

 g.
g. g. g.
 g.
g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g.




(x + 1)(x − 1)
g. g. g. . g. g.
g g. 1
g.




2 x− g.


Copyright © 2015 Pearson Education, Inc.