Elementary Linear Algebra (6th Edition) – Complete PDF Textbook & Study Resource

ELEMENTARY

LINEAR ALGEBRA




K. R. MATTHEWS



DEPARTMENT OF MATHEMATICS




UNIVERSITY OF QUEENSLAND




Corrected Version, 10th February 2010

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,Contents

1 LINEAR EQUATIONS 1
1.1 Introduction to linear equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Solving linear equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 The Gauss–Jordan algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Systematic solution of linear systems. . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Homogeneous systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 PROBLEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 MATRICES 23
2.1 Matrix arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Linear transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Recurrence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4 PROBLEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5 Non–singular matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.6 Least squares solution of equations . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.7 PROBLEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3 SUBSPACES 55
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2 Subspaces of F n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3 Linear dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4 Basis of a subspace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.5 Rank and nullity of a matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.6 PROBLEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4 DETERMINANTS 71
4.1 PROBLEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

i

,5 COMPLEX NUMBERS 89
5.1 Constructing the complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.2 Calculating with complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.3 Geometric representation of C . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.4 Complex conjugate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.5 Modulus of a complex number . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.6 Argument of a complex number . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.7 De Moivre’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.8 PROBLEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6 EIGENVALUES AND EIGENVECTORS 115
6.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.2 Definitions and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.3 PROBLEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7 Identifying second degree equations 129
7.1 The eigenvalue method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.2 A classification algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.3 PROBLEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

8 THREE–DIMENSIONAL GEOMETRY 149
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
8.2 Three–dimensional space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
8.3 Dot product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
8.4 Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
8.5 The angle between two vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.6 The cross–product of two vectors . . . . . . . . . . . . . . . . 172
8.7 Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
8.8 PROBLEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

9 FURTHER READING 189




ii

, List of Figures

1.1 Gauss–Jordan algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1 Reflection in a line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Projection on a line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.1 Area of triangle OP Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.1 Complex addition and subtraction . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.2 Complex conjugate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.3 Modulus of a complex number . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.4 Apollonius circles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.5 Argument of a complex number . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.6 Argument examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.7 The nth roots of unity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.8 The roots of z n = a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.1 Rotating the axes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

7.1 An ellipse example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.2 ellipse: standard form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.3 hyperbola: standard forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
7.4 parabola: standard forms (i) and (ii) . . . . . . . . . . . . . . 138
7.5 parabola: standard forms (iii) and (iv) . . . . . . . . . . . . . 139
7.6 1st parabola example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7.7 2nd parabola example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

8.1 Equality and addition of vectors . . . . . . . . . . . . . . . . 150
8.2 Scalar multiplication of vectors. . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
8.3 Representation of three–dimensional space . . . . . . . . . . . 155
-
8.4 The vector AB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
8.5 The negative of a vector. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

iii