Statistische modellen samenvatting
Hoofdstuk 4
4.4
Inferentiële statistiek houdt zich bezig met het generaliseren van de uitkomsten (uit de
steekproef)
Randomisatie is beter, maar de hoeveelheid maakt niet heel veel uit (het gaat om
representativiteit)
Kansverdeling: wat gebeurt er als ik heel vaak een steekproef zou trekken
(steekproevenverdeling) -> welke waardes kunnen uitkomen (en hoe vaak/kans op die
waarde)
Het steekproefgemiddelde varieert per steekproef. Als het allemaal representatieve
steekproeven zijn, zal het wel variëren maar wel rondom het populatiegemiddelde.
Steekproevenverdeling: de kansverdeling die een kans aangeeft voor iedere mogelijke
uitkomst -> meestal het gemiddelde maar kan ook om een andere statistiek gaan (zoals
mediaan)
De statistiek is (bijna) altijd ongelijk aan de populatiewaarde (maar als het goed is wel
dichtbij)
4.5
Het gemiddelde van de steekproevenverdeling is het populatiegemiddelde
De steekproefgemiddelden variëren minder dan losse scores
De verdeling van de steekproefgemiddelden is dan ook meer normaal verdeeld dan losse
scores
Naarmate de n groter wordt (meer mensen per steekproef), lijkt de steekproevenverdeling
steeds meer op een normale verdeling = Centrale Limietstelling
Standaardfout: spreiding tussen steekproefuitkomsten. Hoeveel spreiding tussen de
statistieken als er heel vaak een steekproef wordt getrokken. Spreiding in de
steekproevenverdeling
De standaardfout van het steekproefgemiddelde is te
berekenen door de s.d. van de populatie te delen door wortel n-
> hoe groter n, hoe dichter de steekproefuitkomsten bij
elkaar liggen (se kleiner)
,Hoofdstuk 5
5.1
Puntschatting:
1 waarde en die waarde is de schatting van de parameter van de populatie
- Gemiddelde
- Mediaan
- Proportie
Een goede schatting:
- Kansverdeling die rondom de echte parameter zit -> unbiased estimator (geen
structurele vertekening bij heel vaak herhalen)
- Een zo klein mogelijke standaard error -> efficiënt
Biased estimator -> wel vertekening, de statistiek zit niet rondom/dichtbij de parameter
De precisie van de puntschatting bepaalt de breedte van de intervalschatting
Interval schatting/bhi:
Een interval van nummers waarvan we denken dat de parameter in zit (bhi)
Het level is bijvoorbeeld 95% en het interval (23,33) -> in 95% van de (vele) steekproeven,
zal de parameter binnen het (steeds per steekproef berekende) interval vallen.
- Een 95%-bhi dekt in 95% van de intervallen de parameter
- Het interval (23,33) is gebaseerd op 1 specifieke steekproef
Bhi = puntschatting (gemiddelde bijvoorbeeld) +/- foutenmarge (margin of error)
Dit betekent dat bij een bhi van 95%, er 5% niet gedekt is. Deze 5 procent heet het
significantieniveau, alpha (letter sigma)
5.2
Betrouwbaarheidsinterval voor een proportie
Proportie: deel van het geheel
π = de populatie proportie
π dakje = de schatting van de populatieproportie
In 95% van alle statistiek ligt deze niet verder dan 2 s.d. van de parameter af
Algemeen bhi = puntschatting ± margin of error
- Puntschatting is π dakje
- Margin of error is z x se
- Se voor proportie is
De bhi voor proportie wordt dan
Deze formule laat zien dat als de steekproefgrootte (n) groter
wordt, het inval kleiner wordt. Als z groter wordt, wordt het interval juist breder
Welke z-waarde hoort er dan bij?
- Afhankelijk van de gekozen bhi
, - X% bhi is de middelste x% van de verdeling
- Dus 95% bhi gaat het om de middelste 95%, 5% valt er dus buiten, links 2,5 en rechts
2,5
- De behorende z-waarde bij een 95% bhi kan je vinden bij een kans van 2,5% en dus
bij 0,025
- Deze z-waarden staan vast -> bj 95% bhi hoort een z-waarde van 1,96
Standaardfout van een proportie is eigenlijk
Maar π weten we niet dus we gebruiken π dakje ->
Voorbeeld:
Bereken het interval behorende bij een 95%-bhi.
De puntschatting van de populatieproportie is 0,40 (π dakje). De steekproefgrootte is 50 (n).
de z-waarde is 1,96.
is de formule voor het berekenen van het bhi bij een proportie
Deze invullen geeft
De ondergrens wordt 0,264 en de bovengrens wordt 0,536 -> (0.264,0.536)
Interpretatie van het bhi
Bij een 95%-bhi bevatten 95% van de intervallen de parameter (bij een steeds per
steekproef opnieuw berekende bhi)
Of dat net jouw steekproef/statistiek is, weet je niet zeker.
- Niet: 95% kans of 95% zekerheid
Voorbeeld boek:
- 396 stemmen voor de stelling (π dakje) = 0,33
- 804 stemmen tegen = 0,67
- Dus 1200 in totaal (n) = 1.0
- Se formule voor proportie invullen -> se = wortel (0,33 x (1-0,33) delen door 1200) =
0,0136
- Bhi (95%) formule voor proportie invullen -> bhi = π dakje +/- 1.96(se) -> 0,33 +
1.96 x 0,0136 = 0,36. En 0,33 – 1,96 x 0,0136 = 0,30
- Dit geeft een interval van (0.30,0.36)
- Conclusie: minimaal 30% en maximaal 36% zal het eens zijn met de stelling uit de
populatie
Extra uitleg:
95%-bhi: als je heel vaak een steekproef zou trekken en bij elke steekproef een bhi berekent,
zal in 95% van de intervallen de parameter zitten
- Je weet dus niet zeker of de parameter in jouw (ene) bhi valt (van 1 steekproef)
- Als de parameter in dit interval ligt, en dat is in 95% van de gevallen zo, dan ligt deze
tussen de (x,x)
De bhi heeft als voorwaarde een grote n, steekproefgrootte
, - Door de grotere n, is de schatting ook preciezer (want de margin of error wordt kleiner
(door een kleinere se))
Se is de geschatte standaard fout, deze wordt berekent o.b.v. de steekproef
σ π dakje is de echte standaard fout van de populatie ->
5.3
Bhi voor een gemiddelde
Ook hier heeft de bhi de vorm van puntschatting +/- margin of error
Alleen hoe deze wordt berekent verschilt:
1. Geen onbekende, je weet de populatie s.d.
2. De populatie s.d. is onbekend en n > 150
3. De populatie s.d. is onbekend en n < 150
T-verdeling:
Hier wordt rekening gehouden met extra error, omdat je steekproefgrootte niet zo groot is
(<150)
De verdeling is dus niet helemaal normaal -> dikkere staarten dan normaal verdeling
Sigma wordt vervangen door s
Je werkt met vrijheidsgraden -> n -1
- Dit kan alleen als het om 1 gemiddelde gaat, niet om 2 (komt later)
De bhi% en p-waarden staan boven de tabel, de vrijheidsgraden links en de t-waarden in de
tabel. Hierbij is het wel belangrijk om te weten dat de p-waarden meestal niet exact
overeenkomen, dit is dus een schatting -> groter dan een bepaalde p waarde of kleiner.
Hierover later meer.
Hoe groter de n wordt, hoe dichter de t-verdeling de z-verdeling nadert
Voorbeeld bhi berekenen met de t tabel:
Hoofdstuk 4
4.4
Inferentiële statistiek houdt zich bezig met het generaliseren van de uitkomsten (uit de
steekproef)
Randomisatie is beter, maar de hoeveelheid maakt niet heel veel uit (het gaat om
representativiteit)
Kansverdeling: wat gebeurt er als ik heel vaak een steekproef zou trekken
(steekproevenverdeling) -> welke waardes kunnen uitkomen (en hoe vaak/kans op die
waarde)
Het steekproefgemiddelde varieert per steekproef. Als het allemaal representatieve
steekproeven zijn, zal het wel variëren maar wel rondom het populatiegemiddelde.
Steekproevenverdeling: de kansverdeling die een kans aangeeft voor iedere mogelijke
uitkomst -> meestal het gemiddelde maar kan ook om een andere statistiek gaan (zoals
mediaan)
De statistiek is (bijna) altijd ongelijk aan de populatiewaarde (maar als het goed is wel
dichtbij)
4.5
Het gemiddelde van de steekproevenverdeling is het populatiegemiddelde
De steekproefgemiddelden variëren minder dan losse scores
De verdeling van de steekproefgemiddelden is dan ook meer normaal verdeeld dan losse
scores
Naarmate de n groter wordt (meer mensen per steekproef), lijkt de steekproevenverdeling
steeds meer op een normale verdeling = Centrale Limietstelling
Standaardfout: spreiding tussen steekproefuitkomsten. Hoeveel spreiding tussen de
statistieken als er heel vaak een steekproef wordt getrokken. Spreiding in de
steekproevenverdeling
De standaardfout van het steekproefgemiddelde is te
berekenen door de s.d. van de populatie te delen door wortel n-
> hoe groter n, hoe dichter de steekproefuitkomsten bij
elkaar liggen (se kleiner)
,Hoofdstuk 5
5.1
Puntschatting:
1 waarde en die waarde is de schatting van de parameter van de populatie
- Gemiddelde
- Mediaan
- Proportie
Een goede schatting:
- Kansverdeling die rondom de echte parameter zit -> unbiased estimator (geen
structurele vertekening bij heel vaak herhalen)
- Een zo klein mogelijke standaard error -> efficiënt
Biased estimator -> wel vertekening, de statistiek zit niet rondom/dichtbij de parameter
De precisie van de puntschatting bepaalt de breedte van de intervalschatting
Interval schatting/bhi:
Een interval van nummers waarvan we denken dat de parameter in zit (bhi)
Het level is bijvoorbeeld 95% en het interval (23,33) -> in 95% van de (vele) steekproeven,
zal de parameter binnen het (steeds per steekproef berekende) interval vallen.
- Een 95%-bhi dekt in 95% van de intervallen de parameter
- Het interval (23,33) is gebaseerd op 1 specifieke steekproef
Bhi = puntschatting (gemiddelde bijvoorbeeld) +/- foutenmarge (margin of error)
Dit betekent dat bij een bhi van 95%, er 5% niet gedekt is. Deze 5 procent heet het
significantieniveau, alpha (letter sigma)
5.2
Betrouwbaarheidsinterval voor een proportie
Proportie: deel van het geheel
π = de populatie proportie
π dakje = de schatting van de populatieproportie
In 95% van alle statistiek ligt deze niet verder dan 2 s.d. van de parameter af
Algemeen bhi = puntschatting ± margin of error
- Puntschatting is π dakje
- Margin of error is z x se
- Se voor proportie is
De bhi voor proportie wordt dan
Deze formule laat zien dat als de steekproefgrootte (n) groter
wordt, het inval kleiner wordt. Als z groter wordt, wordt het interval juist breder
Welke z-waarde hoort er dan bij?
- Afhankelijk van de gekozen bhi
, - X% bhi is de middelste x% van de verdeling
- Dus 95% bhi gaat het om de middelste 95%, 5% valt er dus buiten, links 2,5 en rechts
2,5
- De behorende z-waarde bij een 95% bhi kan je vinden bij een kans van 2,5% en dus
bij 0,025
- Deze z-waarden staan vast -> bj 95% bhi hoort een z-waarde van 1,96
Standaardfout van een proportie is eigenlijk
Maar π weten we niet dus we gebruiken π dakje ->
Voorbeeld:
Bereken het interval behorende bij een 95%-bhi.
De puntschatting van de populatieproportie is 0,40 (π dakje). De steekproefgrootte is 50 (n).
de z-waarde is 1,96.
is de formule voor het berekenen van het bhi bij een proportie
Deze invullen geeft
De ondergrens wordt 0,264 en de bovengrens wordt 0,536 -> (0.264,0.536)
Interpretatie van het bhi
Bij een 95%-bhi bevatten 95% van de intervallen de parameter (bij een steeds per
steekproef opnieuw berekende bhi)
Of dat net jouw steekproef/statistiek is, weet je niet zeker.
- Niet: 95% kans of 95% zekerheid
Voorbeeld boek:
- 396 stemmen voor de stelling (π dakje) = 0,33
- 804 stemmen tegen = 0,67
- Dus 1200 in totaal (n) = 1.0
- Se formule voor proportie invullen -> se = wortel (0,33 x (1-0,33) delen door 1200) =
0,0136
- Bhi (95%) formule voor proportie invullen -> bhi = π dakje +/- 1.96(se) -> 0,33 +
1.96 x 0,0136 = 0,36. En 0,33 – 1,96 x 0,0136 = 0,30
- Dit geeft een interval van (0.30,0.36)
- Conclusie: minimaal 30% en maximaal 36% zal het eens zijn met de stelling uit de
populatie
Extra uitleg:
95%-bhi: als je heel vaak een steekproef zou trekken en bij elke steekproef een bhi berekent,
zal in 95% van de intervallen de parameter zitten
- Je weet dus niet zeker of de parameter in jouw (ene) bhi valt (van 1 steekproef)
- Als de parameter in dit interval ligt, en dat is in 95% van de gevallen zo, dan ligt deze
tussen de (x,x)
De bhi heeft als voorwaarde een grote n, steekproefgrootte
, - Door de grotere n, is de schatting ook preciezer (want de margin of error wordt kleiner
(door een kleinere se))
Se is de geschatte standaard fout, deze wordt berekent o.b.v. de steekproef
σ π dakje is de echte standaard fout van de populatie ->
5.3
Bhi voor een gemiddelde
Ook hier heeft de bhi de vorm van puntschatting +/- margin of error
Alleen hoe deze wordt berekent verschilt:
1. Geen onbekende, je weet de populatie s.d.
2. De populatie s.d. is onbekend en n > 150
3. De populatie s.d. is onbekend en n < 150
T-verdeling:
Hier wordt rekening gehouden met extra error, omdat je steekproefgrootte niet zo groot is
(<150)
De verdeling is dus niet helemaal normaal -> dikkere staarten dan normaal verdeling
Sigma wordt vervangen door s
Je werkt met vrijheidsgraden -> n -1
- Dit kan alleen als het om 1 gemiddelde gaat, niet om 2 (komt later)
De bhi% en p-waarden staan boven de tabel, de vrijheidsgraden links en de t-waarden in de
tabel. Hierbij is het wel belangrijk om te weten dat de p-waarden meestal niet exact
overeenkomen, dit is dus een schatting -> groter dan een bepaalde p waarde of kleiner.
Hierover later meer.
Hoe groter de n wordt, hoe dichter de t-verdeling de z-verdeling nadert
Voorbeeld bhi berekenen met de t tabel:
