Warmte- en massatransport
Gegeven door Prof dr. Ir. Jan Pieters
DEEL I: Warmteoverdracht
• Conductie
o In vaste stof of vloeistof
o Atomen trillen = warmte, hoe hardere trilling hoe warmer → geven kinetische energie door aan naburige atomen die
ook beginnen trillen → warmte zo doorgegeven
o Puur energieoverdracht door trillingen
• Convectie
o Warmtetransport als gevolg van een stromend fluïdum (vloeistof, gas) over een oppervlakte op een verschillende
temperatuur
• Straling
o Elk VW verschillend van 0K straalt elektromagnetische golven uit die dan door andere VW opgevangen kunnen worden
waardoor ze een T wijziging ondergaan
o Straling = warmte-overdracht tussen 2 oppervlakten (van 2 VW’en) op eindige temperatuur
H1: Warmtegeleiding of conductieve warmteoverdracht
𝝓 [W] warmtestroom = totale warmte dat doorheen een oppervlakte stroomt per seconde
𝒒 [W/m²] warmtestroomdichtheid = warmte per m² (warmtestroom gedeeld door oppervlakte)
𝝀 [W/mK] warmtegeleidingscoëfficiënt = hoe makkelijk materiaal warmte gaat geleiden bij bepaalde T-gradiënt
= hoeveel E/tijd er door laagdikte van 1m gaat per Kelvin verschil tussen wanden van 1m dikke laag
𝝆 [kg/m³] dichtheid
cp [J/kgK] soortelijke warmtecapaciteit
𝜶 [m²/s] thermale diffusiviteit = hoe snel warmte diffundeert
h [W/m²K] oppervlaktewarmteoverdrachtscoëfficiënt (convectief en stralings-) h = hc + h
L [] karakteristieke lengte
RG [K/W] conductieve warmteweerstand (interne weerstand)
Rc [K/W] convectieve warmteweerstand (overgangsweerstand → h ipv hc)
Rt [K/W] totale warmteweerstand = de warmteweerstand van een laag materiaal tegen geleiding en convectie
= hoe groter, hoe moeilijker warmte erdoor kan → beter geïsoleerd
Mt [m²K/W] warmte-isolatiecoëfficiënt
k [W/m²K] globale warmtedoorgangscoëfficiënt = thermische conductiviteit
Bi [] biot-getal = verhouding van de inwendige weerstand (conductief) op de overgangsweerstand (convectief)
ℎ𝐿𝑐
𝐵𝑖 =
𝜆
F0 [] dimensieloze tijd = Fourier getal 𝐹𝑜 = 𝑎𝑡/𝐿2𝑐
𝜃 𝑇 − 𝑇∞ en 𝜃(t = 0) = 𝜃𝑖 = 𝑇𝑖 − 𝑇∞
𝜃* dimensieloze temperatuur
x* dimensieloze plaats
t* dimensieloze tijd
,De wet van Fourier voor 1D (x-richting)
Beschrijft conductie en ze zegt hoe snel warmte door een materiaal stroomt bij een temperatuurgradiënt aanwezig is.
• 𝝋 = warmtestroom, zien als debiet van warmte = totale hoeveelheid energie per tijd [J/s = W] (𝑄̇ )
• 𝒒 = warmtestroomdichtheid = warmtestroom per oppervlakte eenheid = 𝜑/A [W/m]
• 𝝀 = warmtegeleidingscoëfficiënt dat bepaald hoe makkelijk materiaal warmte gaat geleiden [W/mK]
• Minteken aangezien T-gradiënt van koud → warm gaat maar warmte stroom van TH → TL (warm naar koud)
• T verschil over afstand dx bepaald samen met 𝜆 en A de warmtestroom
𝝀 = warmtegeleidingscoëfficiënt [W/mK]
Hoe snel materiaal warmte gaat doorgeven o.i.v. temperatuursgradiënt
Reeks moleculen trillen afhankelijk van T-niveau
Zetten naburige moleculen ook aan het trillen en geven kinetische
energie door
Is dus materiaal-eigenschap maar is ook T-afhankelijk
→ bijhorende nomogrammen (dia 14)
Gassen:
Moleculen ver uit elkaar dus moeten als sterk trillen/geëxciteerd zijn om naburige ook te doen trillen en zo warmtetransport te
bekomen → lage 𝜆
Vloeistoffen:
Al dichter op elkaar dus hogere 𝜆 dan gassen
Zaken die natter zijn krijgen hierdor ook grotere 𝜆 (natte versus drogere sneeuw: 0,71 0,06 (bijna isolatiemateriaal)
Pure metalen:
Zitten in kristalrooster vast dicht tegen elkaar dus kunnen makkelijk kinetische energie doorgeven → hoge 𝜆
Isolatie:
Kleine gasbellen verpakt in vaste stof → gas lage 𝜆 dus vaste stof ook = hun functie, conductie vermeiden
,Thermische eigenschappen van materie
• 𝜆 [W/mK] warmtegeleidingscoëfficiënt
Vertel hoe makkelijk een voorwerp warmte geleidt
• 𝑄 [J] warmtehoeveelheid
• 𝜑 [W = J/s] warmtestroom
̇
𝑑𝑄/𝑑𝑇 of 𝑄 met (𝜑 = 𝑞̇ ∙ 𝐴)
• 𝑞̇ [W/m²] warmtestroomdichtheid = warmteflux (vaak in cursus als q genoteerd)
Warmtestroom per oppervlakte eenheid, zegt hoe intens de warmtestroom op 1 punt is 𝜑 de totale warmtestroom
• Cp [J/K] warmtecapaciteit
De hoeveelheid warmte dat je moet toevoegen om 1 K te laten stijgen, hoe groter object, hoe groter (p → bij constante druk)
• cp [J/kgK] soortelijke warmtecapaciteit
De hoeveelheid warmte dat je moet toevoegen om 1 kg met 1 K te laten stijgen in temperatuur (p → bij constante druk)
𝑄 = 𝑚𝑐Δ𝑇
• 𝜌 [kg/m³] dichtheid
• 𝜌*cp [J/m³K] volumetrische warmtecapaciteit
De hoeveelheid warmte dat je moet toevoegen om 1 m³ met 1 K te laten stijgen in temperatuur
• 𝛼 [m²/s] thermische diffusiviteit = temperatuurvereffeningscoëfficiënt
Zegt hoe snel warmte zal diffunderen in een onderliggend materiaal of het materiaal dat je aanraakt
Bv raakt met hand (30°C) stuk hout en metaal van 20°C aan → hout voelt relatief warmer aan en metaal koud aangezien metaal
een hogere a waarde zal hebben → warmte snel doorgegeven in metaal want hoge 𝜆 waarde dus snelle warmteontrekking
a = zegt hoe snel kan warmte diffunderen en 𝜆 zegt hoe makkelijk warmte kan diffunderen doorheen een materiaal
bv materiaal met hoge 𝜆 maar super dens dus lage 𝛼 → gaat niet snel erdoor diffunderen
,Algemene vergelijking voor warmtegeleiding
Carthesiaans assenstelsel
• Geleiding = q = warmteflux in differentiaalvorm (𝜑 = 𝑞 ∙ 𝐴) → delen door dxdydy = A
• Isotroop materiaal = alle 𝜆 gelijk → voorop plaatsen
• Stationaire toestand → rechter lid = 0 (T niet afhankelijk van tijd maar van plaats)
o Impliceert niet dat er geen warmtestroom is
Cilindrisch assenstelsel
• Warmtegeleiding via buizen bv (dagelijks leven veel gebruikt)
• Ipv xyz van kubus r = straalrichting, z = buisrichting
Sferisch assenstelsel
• Z-richting nu weg en krijgt macht tot de tweede
,Rand- en beginvoorwaarden
Beginvoorwaarden
• Bij stationair geen beginvoorwaarden omdat de temperatuur in de tijd op een plaats niet wijzigt, in evenwicht met omgeving
Randvoorwaarden definiëren
1. Constante oppervlakte temperatuur
o Normaal zal T aan oppervlak beginnen zakken of stijgen maar houdt de T constant door bv in een ijsbad of
warmwaterbad te steken of constant te verwarmen → je weet wat TS is
o Ts = T(0,t) (surface op plaats 0)
2. Constante warmtestroomdichtheid (𝑞𝑠 ) aan de rand, 3 gevallen:
a. Eindige warmtestroomdichtheid
→ q is constant aan het oppervlak (vaste helling)
→ T(0) = TS,1 en T(L) = Ts,2 (bv muur met 2 luchtlagen)
b. Perfect geïsoleerde toestand
→ geen q door rand (grens laat geen warmte door)
→ q = 0, 𝜑 = 0 (helling = 0)
→ benadering in praktijk
c. Symmetrietoestand
→ de grens is niet geïsoleerd maar toch is q = 0
→ want door symmetrie is warmtestroomdichtheid
naar links = die naar rechts → netto 0 dus 𝜑 = 0 → kan je beschouwen als “perfect” geïsoleerd
𝑑𝑇
→ bv een plaat die aan beide zijden identiek wordt verwarmd (T, 𝜆, A zelfde → geen q/𝜑 want = 0)
𝑑𝑥
3. Convectie of straling aan oppervlakte
o T zal wijzigen binnen door conductie, buiten door convectie en/of straling
▪ T onder invloed van aanstromend fluïdum buitenaf (met een ongestoorde 𝑇∞ en een
oppervlaktewarmteoverdrachtcoëfficiënt h = hc + hs)
▪ hc = convectieve oppervlaktewarmteoverdrachtscoëfficiënt [W/m²K] → convectie
▪ hs = stralings oppervlaktewarmteoverdrachtscoëfficiënt [W/m²K] → straling
Stationaire warmtegeleiding in 1D
Stationair regime = op moment dat VW/oppervlak in evenwicht is met de omgeving veranderd de T niet meer in tijd op een plaats
Vlakke plaat
• Wand tussen 2 luchtlagen waar beide convectie optreedt
• Randvoorwaarden: kent TS,1 en TS,2 op plaat 0 en L (karakteristieke lengte)
• Warmtevergelijking invullen
• Lineair T-verloop geldt voor alle systemen van warmtegeleiding (conductie) bij stationair als 𝜆 constant blijft
, •
• Paar begrippen
o Totale warmteweerstand Rt Elektrisch analogon
▪ Binnenin is er geleiding (conductie)
→ warmteweerstand Rg = moeilijkheid waarmee warmte door massieve laag geleid
▪ Aan de twee oppervlaktes is er convectieve warmteoverdracht
→ warmteweerstand Rc = weerstand ts grensvlak vaste wand en fluïdum
o Warmte-isolatiecoëfficiënt Mt
o Globale warmtedoorgangscoëfficiënt k ( niet verwarren met Boltzmannconstante k [J/K] later)
→ geen materiaaleigenschap maar eigenschap van een wand (meerdere materialen)
→ zegt hvl warmte per tijdseenheid in 1m³ van wand gaat passeren per K Tverschil tussen fluïda aan
weerzijden van de wand
Samengestelde vlakke wand
→ weerstanden in serie → Rt neemt toe → betere isolatie
Speciaal geval: wanden boven elkaar gestapeld maar stroom komt van zijkant
• Temperatuurverschil en L over elke plaat hetzelfde
• Warmtestroom 𝜑 voor allemaal verschillend
• Zien als schakeling van weerstanden in parallel
,Radiale systemen: samengestelde cilinderwand (buisverwarming bv)
• Warmtevergelijking invullen (stationair + geen warmteproductie
+ geen warmtetransport in Z-richt)
• Hebt nu logaritmisch verband want oppervlakte niet zelfde aan binnen en buitenkant buis vlakke plaat
• Ook hier elektrisch analogon toepassen:
• Als r2 ≤ 1.4 r1 mag je lineaire formule als voor vlakke platen gebruiken!!! (ipv ln formule)
•
𝑇∞1 −𝑇∞2
• Rt = RC1 + RG + RC2 en 𝜑 = 𝑅𝑡
Samengestelde cilinderwand → enkel deze op formularium (bij cilinder met 1 wand sum laten vallen)
Kritieke dikte van isolatie van een buis
,Kritieke straal zegt iets over conductie (𝜆) en convectie (ℎ) = 2 thermische grootheden zeggen iets over kritieke straal
= moet verder dan punt b isoleren (r*) om warmteverlies te beperken, want neemt eerst toe tot kritieke straal, dan pas af
→ in praktijk ligt de kritieke straal vaak in de buis, dus geen rekening mee houden dan (rc < R)
Vlakke plaat met inwendige warmteproductie
𝒒𝒊 𝑞
Inwendige warmteproductie 𝒒̇ = (nog steeds stationair) zorgt ervoor dat de 𝑖 term er weer bijkomt in de vergelijking
𝒅𝒕 𝑑𝑡
Het zorgt ervoor dat we geen lineair verloop meer hebben van ons warmteprofiel parabool in de plaats
Symmetrische parabool als Ts1 = Ts2 en (𝑇∞ en h ook)
𝑑𝑇
o Hebt in het midden dan een symmetrievlak ( = 0 (𝑜𝑝 𝑥 = 0))
𝑑𝑥
o Als 𝑇∞1 𝑒𝑛 𝑇∞2 gekend zijn (of gelijk met bijhorende h) bij 𝑇𝑠1 = 𝑇𝑠2 (niet gekend) kan je via
𝑑𝑇
de warmtestroom 𝜑 = −𝜆 | 𝐴 = ℎ (𝑇𝑠 − 𝑇∞ )𝐴 (conductieve = convectieve warmtestroom (stationair))
𝑑𝑥 𝑥=𝐿
𝑇𝑠 berekenen:
, Niet-stationaire warmtegeleiding
Niet-stationair = T is niet enkel afhankelijk van de plaats maar ook van de tijd T(x, y, z ,t)
→ opgeslagen energie term niet meer laten vallen uit warmtevergelijking
→ niet stationair ontstaat vaak wanneer de randvoorwaarden veranderen in functie van de tijd
(bv het afkoelen en opwarmen van een lichaam)
Verwaarloosbare inwendige warmteweerstand: capaciteitsmethode
Energiebalans uitschrijven voor een lumped system = beschrijf hoe snel T van object veranderd door convectie naar zijn omgeving
Links = hoe snel object warmte verlies (Watt W)
Rechts = convectieve warmteverlies naar de omgeving
Dus: De snelheid waarmee het object afkoelt = de snelheid waarmee het warmte verliest aan de omgeving door convectie.
𝑑𝜃
→ (𝑇 − 𝑇∞ ) = 𝜃, dus herschrijven naar en 𝜃, integreren van 𝜃𝑖 naar 𝜃, komt ln uit en dan ln wegwerken:
𝑑𝑡
Het Biotgetal
Het verteld ons hoe moeilijk kan warmte van binnenin een object naar het oppervlak geraken, vergeleken met hoe makkelijk dat oppervlak
warmte afgeeft aan de omgeving
𝑳
Introductie inwendige weerstand Rin = 𝝀𝑨 = weerstand ondervonden in lichaam → zal omgekeerd evenredig met 𝜆 (conductie)
𝟏
Introductie overgangsweerstand Rovergang = 𝒉𝑨 = weerstand ondervonden op overgangszone→ zal omgekeerd evenredig met
oppervlaktewartmeoverdrachtscoëfficiënt ℎ = ℎ𝑐 + ℎ𝑠
De conductieve aangevoerde warmte van oppervlak = de convectieve afgevoerde warmte naar het fluïdum (stationair benaderd)
Gegeven door Prof dr. Ir. Jan Pieters
DEEL I: Warmteoverdracht
• Conductie
o In vaste stof of vloeistof
o Atomen trillen = warmte, hoe hardere trilling hoe warmer → geven kinetische energie door aan naburige atomen die
ook beginnen trillen → warmte zo doorgegeven
o Puur energieoverdracht door trillingen
• Convectie
o Warmtetransport als gevolg van een stromend fluïdum (vloeistof, gas) over een oppervlakte op een verschillende
temperatuur
• Straling
o Elk VW verschillend van 0K straalt elektromagnetische golven uit die dan door andere VW opgevangen kunnen worden
waardoor ze een T wijziging ondergaan
o Straling = warmte-overdracht tussen 2 oppervlakten (van 2 VW’en) op eindige temperatuur
H1: Warmtegeleiding of conductieve warmteoverdracht
𝝓 [W] warmtestroom = totale warmte dat doorheen een oppervlakte stroomt per seconde
𝒒 [W/m²] warmtestroomdichtheid = warmte per m² (warmtestroom gedeeld door oppervlakte)
𝝀 [W/mK] warmtegeleidingscoëfficiënt = hoe makkelijk materiaal warmte gaat geleiden bij bepaalde T-gradiënt
= hoeveel E/tijd er door laagdikte van 1m gaat per Kelvin verschil tussen wanden van 1m dikke laag
𝝆 [kg/m³] dichtheid
cp [J/kgK] soortelijke warmtecapaciteit
𝜶 [m²/s] thermale diffusiviteit = hoe snel warmte diffundeert
h [W/m²K] oppervlaktewarmteoverdrachtscoëfficiënt (convectief en stralings-) h = hc + h
L [] karakteristieke lengte
RG [K/W] conductieve warmteweerstand (interne weerstand)
Rc [K/W] convectieve warmteweerstand (overgangsweerstand → h ipv hc)
Rt [K/W] totale warmteweerstand = de warmteweerstand van een laag materiaal tegen geleiding en convectie
= hoe groter, hoe moeilijker warmte erdoor kan → beter geïsoleerd
Mt [m²K/W] warmte-isolatiecoëfficiënt
k [W/m²K] globale warmtedoorgangscoëfficiënt = thermische conductiviteit
Bi [] biot-getal = verhouding van de inwendige weerstand (conductief) op de overgangsweerstand (convectief)
ℎ𝐿𝑐
𝐵𝑖 =
𝜆
F0 [] dimensieloze tijd = Fourier getal 𝐹𝑜 = 𝑎𝑡/𝐿2𝑐
𝜃 𝑇 − 𝑇∞ en 𝜃(t = 0) = 𝜃𝑖 = 𝑇𝑖 − 𝑇∞
𝜃* dimensieloze temperatuur
x* dimensieloze plaats
t* dimensieloze tijd
,De wet van Fourier voor 1D (x-richting)
Beschrijft conductie en ze zegt hoe snel warmte door een materiaal stroomt bij een temperatuurgradiënt aanwezig is.
• 𝝋 = warmtestroom, zien als debiet van warmte = totale hoeveelheid energie per tijd [J/s = W] (𝑄̇ )
• 𝒒 = warmtestroomdichtheid = warmtestroom per oppervlakte eenheid = 𝜑/A [W/m]
• 𝝀 = warmtegeleidingscoëfficiënt dat bepaald hoe makkelijk materiaal warmte gaat geleiden [W/mK]
• Minteken aangezien T-gradiënt van koud → warm gaat maar warmte stroom van TH → TL (warm naar koud)
• T verschil over afstand dx bepaald samen met 𝜆 en A de warmtestroom
𝝀 = warmtegeleidingscoëfficiënt [W/mK]
Hoe snel materiaal warmte gaat doorgeven o.i.v. temperatuursgradiënt
Reeks moleculen trillen afhankelijk van T-niveau
Zetten naburige moleculen ook aan het trillen en geven kinetische
energie door
Is dus materiaal-eigenschap maar is ook T-afhankelijk
→ bijhorende nomogrammen (dia 14)
Gassen:
Moleculen ver uit elkaar dus moeten als sterk trillen/geëxciteerd zijn om naburige ook te doen trillen en zo warmtetransport te
bekomen → lage 𝜆
Vloeistoffen:
Al dichter op elkaar dus hogere 𝜆 dan gassen
Zaken die natter zijn krijgen hierdor ook grotere 𝜆 (natte versus drogere sneeuw: 0,71 0,06 (bijna isolatiemateriaal)
Pure metalen:
Zitten in kristalrooster vast dicht tegen elkaar dus kunnen makkelijk kinetische energie doorgeven → hoge 𝜆
Isolatie:
Kleine gasbellen verpakt in vaste stof → gas lage 𝜆 dus vaste stof ook = hun functie, conductie vermeiden
,Thermische eigenschappen van materie
• 𝜆 [W/mK] warmtegeleidingscoëfficiënt
Vertel hoe makkelijk een voorwerp warmte geleidt
• 𝑄 [J] warmtehoeveelheid
• 𝜑 [W = J/s] warmtestroom
̇
𝑑𝑄/𝑑𝑇 of 𝑄 met (𝜑 = 𝑞̇ ∙ 𝐴)
• 𝑞̇ [W/m²] warmtestroomdichtheid = warmteflux (vaak in cursus als q genoteerd)
Warmtestroom per oppervlakte eenheid, zegt hoe intens de warmtestroom op 1 punt is 𝜑 de totale warmtestroom
• Cp [J/K] warmtecapaciteit
De hoeveelheid warmte dat je moet toevoegen om 1 K te laten stijgen, hoe groter object, hoe groter (p → bij constante druk)
• cp [J/kgK] soortelijke warmtecapaciteit
De hoeveelheid warmte dat je moet toevoegen om 1 kg met 1 K te laten stijgen in temperatuur (p → bij constante druk)
𝑄 = 𝑚𝑐Δ𝑇
• 𝜌 [kg/m³] dichtheid
• 𝜌*cp [J/m³K] volumetrische warmtecapaciteit
De hoeveelheid warmte dat je moet toevoegen om 1 m³ met 1 K te laten stijgen in temperatuur
• 𝛼 [m²/s] thermische diffusiviteit = temperatuurvereffeningscoëfficiënt
Zegt hoe snel warmte zal diffunderen in een onderliggend materiaal of het materiaal dat je aanraakt
Bv raakt met hand (30°C) stuk hout en metaal van 20°C aan → hout voelt relatief warmer aan en metaal koud aangezien metaal
een hogere a waarde zal hebben → warmte snel doorgegeven in metaal want hoge 𝜆 waarde dus snelle warmteontrekking
a = zegt hoe snel kan warmte diffunderen en 𝜆 zegt hoe makkelijk warmte kan diffunderen doorheen een materiaal
bv materiaal met hoge 𝜆 maar super dens dus lage 𝛼 → gaat niet snel erdoor diffunderen
,Algemene vergelijking voor warmtegeleiding
Carthesiaans assenstelsel
• Geleiding = q = warmteflux in differentiaalvorm (𝜑 = 𝑞 ∙ 𝐴) → delen door dxdydy = A
• Isotroop materiaal = alle 𝜆 gelijk → voorop plaatsen
• Stationaire toestand → rechter lid = 0 (T niet afhankelijk van tijd maar van plaats)
o Impliceert niet dat er geen warmtestroom is
Cilindrisch assenstelsel
• Warmtegeleiding via buizen bv (dagelijks leven veel gebruikt)
• Ipv xyz van kubus r = straalrichting, z = buisrichting
Sferisch assenstelsel
• Z-richting nu weg en krijgt macht tot de tweede
,Rand- en beginvoorwaarden
Beginvoorwaarden
• Bij stationair geen beginvoorwaarden omdat de temperatuur in de tijd op een plaats niet wijzigt, in evenwicht met omgeving
Randvoorwaarden definiëren
1. Constante oppervlakte temperatuur
o Normaal zal T aan oppervlak beginnen zakken of stijgen maar houdt de T constant door bv in een ijsbad of
warmwaterbad te steken of constant te verwarmen → je weet wat TS is
o Ts = T(0,t) (surface op plaats 0)
2. Constante warmtestroomdichtheid (𝑞𝑠 ) aan de rand, 3 gevallen:
a. Eindige warmtestroomdichtheid
→ q is constant aan het oppervlak (vaste helling)
→ T(0) = TS,1 en T(L) = Ts,2 (bv muur met 2 luchtlagen)
b. Perfect geïsoleerde toestand
→ geen q door rand (grens laat geen warmte door)
→ q = 0, 𝜑 = 0 (helling = 0)
→ benadering in praktijk
c. Symmetrietoestand
→ de grens is niet geïsoleerd maar toch is q = 0
→ want door symmetrie is warmtestroomdichtheid
naar links = die naar rechts → netto 0 dus 𝜑 = 0 → kan je beschouwen als “perfect” geïsoleerd
𝑑𝑇
→ bv een plaat die aan beide zijden identiek wordt verwarmd (T, 𝜆, A zelfde → geen q/𝜑 want = 0)
𝑑𝑥
3. Convectie of straling aan oppervlakte
o T zal wijzigen binnen door conductie, buiten door convectie en/of straling
▪ T onder invloed van aanstromend fluïdum buitenaf (met een ongestoorde 𝑇∞ en een
oppervlaktewarmteoverdrachtcoëfficiënt h = hc + hs)
▪ hc = convectieve oppervlaktewarmteoverdrachtscoëfficiënt [W/m²K] → convectie
▪ hs = stralings oppervlaktewarmteoverdrachtscoëfficiënt [W/m²K] → straling
Stationaire warmtegeleiding in 1D
Stationair regime = op moment dat VW/oppervlak in evenwicht is met de omgeving veranderd de T niet meer in tijd op een plaats
Vlakke plaat
• Wand tussen 2 luchtlagen waar beide convectie optreedt
• Randvoorwaarden: kent TS,1 en TS,2 op plaat 0 en L (karakteristieke lengte)
• Warmtevergelijking invullen
• Lineair T-verloop geldt voor alle systemen van warmtegeleiding (conductie) bij stationair als 𝜆 constant blijft
, •
• Paar begrippen
o Totale warmteweerstand Rt Elektrisch analogon
▪ Binnenin is er geleiding (conductie)
→ warmteweerstand Rg = moeilijkheid waarmee warmte door massieve laag geleid
▪ Aan de twee oppervlaktes is er convectieve warmteoverdracht
→ warmteweerstand Rc = weerstand ts grensvlak vaste wand en fluïdum
o Warmte-isolatiecoëfficiënt Mt
o Globale warmtedoorgangscoëfficiënt k ( niet verwarren met Boltzmannconstante k [J/K] later)
→ geen materiaaleigenschap maar eigenschap van een wand (meerdere materialen)
→ zegt hvl warmte per tijdseenheid in 1m³ van wand gaat passeren per K Tverschil tussen fluïda aan
weerzijden van de wand
Samengestelde vlakke wand
→ weerstanden in serie → Rt neemt toe → betere isolatie
Speciaal geval: wanden boven elkaar gestapeld maar stroom komt van zijkant
• Temperatuurverschil en L over elke plaat hetzelfde
• Warmtestroom 𝜑 voor allemaal verschillend
• Zien als schakeling van weerstanden in parallel
,Radiale systemen: samengestelde cilinderwand (buisverwarming bv)
• Warmtevergelijking invullen (stationair + geen warmteproductie
+ geen warmtetransport in Z-richt)
• Hebt nu logaritmisch verband want oppervlakte niet zelfde aan binnen en buitenkant buis vlakke plaat
• Ook hier elektrisch analogon toepassen:
• Als r2 ≤ 1.4 r1 mag je lineaire formule als voor vlakke platen gebruiken!!! (ipv ln formule)
•
𝑇∞1 −𝑇∞2
• Rt = RC1 + RG + RC2 en 𝜑 = 𝑅𝑡
Samengestelde cilinderwand → enkel deze op formularium (bij cilinder met 1 wand sum laten vallen)
Kritieke dikte van isolatie van een buis
,Kritieke straal zegt iets over conductie (𝜆) en convectie (ℎ) = 2 thermische grootheden zeggen iets over kritieke straal
= moet verder dan punt b isoleren (r*) om warmteverlies te beperken, want neemt eerst toe tot kritieke straal, dan pas af
→ in praktijk ligt de kritieke straal vaak in de buis, dus geen rekening mee houden dan (rc < R)
Vlakke plaat met inwendige warmteproductie
𝒒𝒊 𝑞
Inwendige warmteproductie 𝒒̇ = (nog steeds stationair) zorgt ervoor dat de 𝑖 term er weer bijkomt in de vergelijking
𝒅𝒕 𝑑𝑡
Het zorgt ervoor dat we geen lineair verloop meer hebben van ons warmteprofiel parabool in de plaats
Symmetrische parabool als Ts1 = Ts2 en (𝑇∞ en h ook)
𝑑𝑇
o Hebt in het midden dan een symmetrievlak ( = 0 (𝑜𝑝 𝑥 = 0))
𝑑𝑥
o Als 𝑇∞1 𝑒𝑛 𝑇∞2 gekend zijn (of gelijk met bijhorende h) bij 𝑇𝑠1 = 𝑇𝑠2 (niet gekend) kan je via
𝑑𝑇
de warmtestroom 𝜑 = −𝜆 | 𝐴 = ℎ (𝑇𝑠 − 𝑇∞ )𝐴 (conductieve = convectieve warmtestroom (stationair))
𝑑𝑥 𝑥=𝐿
𝑇𝑠 berekenen:
, Niet-stationaire warmtegeleiding
Niet-stationair = T is niet enkel afhankelijk van de plaats maar ook van de tijd T(x, y, z ,t)
→ opgeslagen energie term niet meer laten vallen uit warmtevergelijking
→ niet stationair ontstaat vaak wanneer de randvoorwaarden veranderen in functie van de tijd
(bv het afkoelen en opwarmen van een lichaam)
Verwaarloosbare inwendige warmteweerstand: capaciteitsmethode
Energiebalans uitschrijven voor een lumped system = beschrijf hoe snel T van object veranderd door convectie naar zijn omgeving
Links = hoe snel object warmte verlies (Watt W)
Rechts = convectieve warmteverlies naar de omgeving
Dus: De snelheid waarmee het object afkoelt = de snelheid waarmee het warmte verliest aan de omgeving door convectie.
𝑑𝜃
→ (𝑇 − 𝑇∞ ) = 𝜃, dus herschrijven naar en 𝜃, integreren van 𝜃𝑖 naar 𝜃, komt ln uit en dan ln wegwerken:
𝑑𝑡
Het Biotgetal
Het verteld ons hoe moeilijk kan warmte van binnenin een object naar het oppervlak geraken, vergeleken met hoe makkelijk dat oppervlak
warmte afgeeft aan de omgeving
𝑳
Introductie inwendige weerstand Rin = 𝝀𝑨 = weerstand ondervonden in lichaam → zal omgekeerd evenredig met 𝜆 (conductie)
𝟏
Introductie overgangsweerstand Rovergang = 𝒉𝑨 = weerstand ondervonden op overgangszone→ zal omgekeerd evenredig met
oppervlaktewartmeoverdrachtscoëfficiënt ℎ = ℎ𝑐 + ℎ𝑠
De conductieve aangevoerde warmte van oppervlak = de convectieve afgevoerde warmte naar het fluïdum (stationair benaderd)
