Zusammenfassung Stochastik
n
n⋅ ( n+1 )
Gaus’sche Summenformel: ∑ i=1+ 2+ 3+…+n= 2
i=1
n
Fakultät (n-Fakultät): n !=∏ ⅈ=1 ⋅ 2 ⋅3∙ ⋯ ∙ ( n−7 ) ⋅n
1=1
Binomialkoeffizient: (nk)= k !⋅ (nn−k
!
)!
Kombinatorik: Befasst sich mit der Zusammenstellung von Elementen aus einer
vorgegebenen endlichen Menge
Permutationen: Alle Elemente einer Menge werden verwendet – Wie viele Möglichkeiten
gibt es, n Elemente anzuordnen?
Kombinationen: Ein Teil einer Menge wird verwendet – Wie viele Möglichkeiten gibt es, k
Elemente aus n Elementen zu ziehen?
Permutationen von n Elementen: n! ist die Anzahl der Möglichkeiten der Anordnung von n
verschiedenen Elementen – die Reihenfolge wird berücksichtigt!
Permutationen mit Wiederholung: Elemente wiederholen sich in der Grundgesamtheit.
k-fach-Kombinationen
mit Zurücklegen und
Berücksichtigung der
Reihenfolge: Es gibt nk
Möglichkeiten
1
, n!
k-fach-Kombinationen ohne Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge:
( n−k ) !
k-fach-Kombinationen ohne Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge:
(nk)= k !⋅ (nn−k
!
)!
k-fach-Kombinationen mit Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge:
(n+ k−1
k )
2
,Mengenlehre
Grundgesamtheit: Ω
3
,Leere Menge ∅ = { }
Disjunkte Mengen 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ - kein gemeinsames Element
Potenzmenge P (A) - Menge aller Teilmengen von A
2 Hoch Menge von A ergibt die Anzahl der Mengen in der Potenzmenge – hier 2 hoch 3 gleich
8 Mengen!
Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufallsexperiment:
4
, Es wird nach einer bestimmten Vorschrift ausgeführt
Es ist unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbar
Das Ergebnis ist ungewiss und kann nicht vorhergesagt werden
Ereignisraum Ω (Ergebnisraum, Grundraum): Eine Menge, die alle möglichen Ereignisse
eines Experiments enthält.
Element : Ergebnis oder Realisierung
Ereignisse: Teilmengen des Ereignisraumes 𝐴
Das Ereignis A ist eingetreten, wenn das Ergebnis des Zufallsexperimentes ein Element dieser
Teilmenge ist.
Mengentheoretische Notationen
Elementarereignis: Das Ereignis besteht nur aus einem Element
𝐴𝐵: A und B ereignen sich
𝐴𝐵: A oder B oder beide ereignen sich
𝐴C: Komplement von A in , d.h. A geschieht nicht
das unmögliche Ereignis: Da = { } kein Element enthält, tritt dieses Ereignis niemals ein
das sichere Ereignis: Da sämtliche Elementarereignisse enthält, tritt es bei jedem
Ausführen des Zufallsexperimentes ein
A,B disjunkte Ereignisse: 𝐴𝐵 = 𝐴 + 𝐵
5
n
n⋅ ( n+1 )
Gaus’sche Summenformel: ∑ i=1+ 2+ 3+…+n= 2
i=1
n
Fakultät (n-Fakultät): n !=∏ ⅈ=1 ⋅ 2 ⋅3∙ ⋯ ∙ ( n−7 ) ⋅n
1=1
Binomialkoeffizient: (nk)= k !⋅ (nn−k
!
)!
Kombinatorik: Befasst sich mit der Zusammenstellung von Elementen aus einer
vorgegebenen endlichen Menge
Permutationen: Alle Elemente einer Menge werden verwendet – Wie viele Möglichkeiten
gibt es, n Elemente anzuordnen?
Kombinationen: Ein Teil einer Menge wird verwendet – Wie viele Möglichkeiten gibt es, k
Elemente aus n Elementen zu ziehen?
Permutationen von n Elementen: n! ist die Anzahl der Möglichkeiten der Anordnung von n
verschiedenen Elementen – die Reihenfolge wird berücksichtigt!
Permutationen mit Wiederholung: Elemente wiederholen sich in der Grundgesamtheit.
k-fach-Kombinationen
mit Zurücklegen und
Berücksichtigung der
Reihenfolge: Es gibt nk
Möglichkeiten
1
, n!
k-fach-Kombinationen ohne Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge:
( n−k ) !
k-fach-Kombinationen ohne Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge:
(nk)= k !⋅ (nn−k
!
)!
k-fach-Kombinationen mit Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge:
(n+ k−1
k )
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,Mengenlehre
Grundgesamtheit: Ω
3
,Leere Menge ∅ = { }
Disjunkte Mengen 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ - kein gemeinsames Element
Potenzmenge P (A) - Menge aller Teilmengen von A
2 Hoch Menge von A ergibt die Anzahl der Mengen in der Potenzmenge – hier 2 hoch 3 gleich
8 Mengen!
Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufallsexperiment:
4
, Es wird nach einer bestimmten Vorschrift ausgeführt
Es ist unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbar
Das Ergebnis ist ungewiss und kann nicht vorhergesagt werden
Ereignisraum Ω (Ergebnisraum, Grundraum): Eine Menge, die alle möglichen Ereignisse
eines Experiments enthält.
Element : Ergebnis oder Realisierung
Ereignisse: Teilmengen des Ereignisraumes 𝐴
Das Ereignis A ist eingetreten, wenn das Ergebnis des Zufallsexperimentes ein Element dieser
Teilmenge ist.
Mengentheoretische Notationen
Elementarereignis: Das Ereignis besteht nur aus einem Element
𝐴𝐵: A und B ereignen sich
𝐴𝐵: A oder B oder beide ereignen sich
𝐴C: Komplement von A in , d.h. A geschieht nicht
das unmögliche Ereignis: Da = { } kein Element enthält, tritt dieses Ereignis niemals ein
das sichere Ereignis: Da sämtliche Elementarereignisse enthält, tritt es bei jedem
Ausführen des Zufallsexperimentes ein
A,B disjunkte Ereignisse: 𝐴𝐵 = 𝐴 + 𝐵
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