EE Samenvatting
Hoorcollege 2 Statistiek en wetenschappelijk redeneren
Stap 1: De hypothesen
De uitspraak waar men van uit gaat noemt men de nulhypothese: H0.
Als het onderzoek uitwijst dat de nulhypothese niet waar is, dan moet deze worden verworpen. Dat
verwerpen doet men dan ten gunste van een andere hypothese, de zogenaamde alternatieve
hypothese H1. De alternatieve hypothese is een ontkenning van de nulhypothese. \
Er zijn nu twee hypothesen die iets over de populatie zeggen, H0 en H1. Deze hypothesen zijn
afgeleid van de onderzoeksvraag en bepalen voor een groot deel wat er gemeten gaat worden en
wat weer van grote invloed is op de te gebruiken statistiek.
Stap 2: De data
Men nam een steekproef van 1445 honden uit de populatie van alle honden die in een bepaalde
periode in een Nederlands asiel zaten. Voor ieder dier wordt bepaald of er tandproblemen zijn of niet
(0-1 data). Deze data is verzameld omdat dat informatie geeft over de te toetsen hypothesen.
De hypothesen en de verzamelde data bepalen voor een groot deel wat er uitgerekend en hoe er
geredeneerd gaat worden (en dus bepalen ze de statistiek).
Stap 3: de toetsingsgrootheid
,Er moet worden besloten of de nulhypothese verworpen wordt of niet. Dat doen we op grond van de
steekproef.
Alle waarnemingen in de steekproef worden samengevat tot de zogenaamde toetsingsgrootheid. De
toetsingsgrootheid is een functie van de steekproefwaarnemingen, die iets zegt over de hypothesen.
In het onderzoek met de asielhonden gaan de hypothesen over de populatiefractie. Het ligt daarom
voor de hand om als toetsingsgrootheid de steekproeffractie te nemen. Dat ligt voor de hand omdat
in een aselecte steekproef deze steekproef fractie erg veel zal lijken op de populatiefractie.
Stel de nulhypothese is waar, dat wil zeggen dat de populatiefractie gelijk is aan 0,25.
Als er een representatieve steekproef uit deze populatie wordt genomen, dan zal de
steekproeffractie in de buurt van de 0,25 moeten liggen. Als dit inderdaad het geval is, dan zal men
geneigd zijn op grond van deze steekproeffractie H0 niet te verwerpen. De uitkomst van de
steekproef is dan in overeenstemming met de nulhypothese.
Stel de nulhypothese is niet waar, dat wil zeggen dat de populatiefractie ongelijk is aan 0,25. Stel dat
de populatiefractie groter is dan 0,25. Als nu een steekproef wordt gedaan, dan zal men
hoogstwaarschijnlijk een steekproeffractie vinden die groter is dan 0,25. In dit geval zal men geneigd
zijn om op grond van deze steekproef H0 te verwerpen.
Vaak echter neemt men de gestandaardiseerde steekproeffractie, aangegeven met z, als
toetsingsgrootheid:
Se(p) is de standard error van p.
In de toetsingsgrootheid z is pi0 de waarde voor de populatiefractie zoals deze in de nulhypothese
staat en z is bij benadering standaard normaal verdeeld. In het voorbeeld geldt pi0 = 0,25.
In de gestandaardiseerde steekproeffractie wordt pi0 gebruikt omdat men ervan uitgaat dat de
nulhypothese waar is, totdat het tegendeel bewezen is.
Grote standard error -> weinig informatie aan je onderzoek. Als je het onderzoek herhaalt, kan je wel
eens een hele andere waarde vinden.
Kleine standard error -> bij herhaling van je onderzoek, vind je dezelfde waarde. In dit geval heb je in
één onderzoek veel informatie.
Standard error hangt af van n. Een steekproef met veel waarnemingen, bevat dus veel informatie.
Z -> Je kijkt naar de afstand tussen wat je vindt in je onderzoek en wat de nulhypothese zegt,
uitgedrukt in standard errors. Z is de afstand, met een plus- of minteken ervoor, tussen de gevonden
steekproeffractie p en pi0, de populatiefractie volgens de nulhypothese, uitgedrukt in het aantal
standaarderrors.
Stel men vindt de uitkomst z is 2, dan is de afstand tussen de gevonden steekproeffractie p en pi0 2
standaarderrors groot. Als de afstand tussen de gevonden steekproeffractie en pi0 groot is (groot
negatief of groot positief), dan is men geneigd om op grond van de steekproef de nulhypothese niet
meer de geloven. In dat geval verwerpt men de nulhypothese.
,Als het verschil tussen de gevonden steekproeffractie p en pi0 klein is, dan is de uitkomst van de
steekproef redelijk in overeenstemming met de nulhypothese. In dit geval zal men de nulhypothese
niet verwerpen.
De toetsingsgrootheid hangt dus af van de hypothesen en van wat er gemeten wordt in de
steekproef.
Bovenstaande toetsingsgrootheid (met z) geldt als men 0-1 data heeft en als de hypothesen over
populatiefracties gaan. Van de 1445 honden in de steekproef hebben er 319 tandproblemen hetgeen
neerkomt op een uitkomst van de steekproeffractie van 0,22.
De afstand tussen hetgeen er in de steekproef is gevonden en de nulhypothese is hier dus 2,75
standaard error groot.
Als de nulhypothese waar is, is z ongeveer gelijk aan 0.
Z -> normaal verdeeld met gemiddeld ongeveer 0, als de nulhypothese waar is.
Stap 4: de p-waarde
Wanneer verwerpen we de nulhypothese?
Om daar wat over te kunnen zeggen, bekijken we de situatie zoals die onder H0 geldt. Dus we
bekijken de situatie waarin de fractie honden met tandproblemen gelijk aan 0,25 is. In dit geval
verwachten we een steekproeffractie in de buurt van 0,25 te vinden. Oftewel, de uitkomst van z zou
in de buurt van de nul moeten liggen.
Verder weten we dat z bij benadering de standaard normale verdeling heeft. Dus als we een heleboel
z-waarden zouden hebben en daar een histogram van zouden maken, dan is dat histogram
symmetrisch om nul. Deze normale verdeling wordt gebruikt op de p-waarde uit te rekenen.
Als de nulhypothese waar is, dan zal z ongeveer gelijk zijn aan nul omdat de steekproeffractie dan
ongeveer gelijk zal zijn aan de populatiefractie H0.
Dus de vraag luidt: hoe groot is de kans dat we een z-waarde vinden, zoals de gevonden of een
extremere, als we een z-waarde in de buurt van nul verwachten? Deze kans noemt men de eenzijdige
p-waarde. Als we de eenzijdige p-waarde met 2 vermenigvuldigen dan vinden we de tweezijdige p-
waarde. Dus: De p-waarde is de kans op de uitkomst van de toetsingsgrootheid of een extremere
uitkomst als de nulhypothese waar is.
Kleine p-waarde -> iets gevonden dat onwaarschijnlijk is onder de nulhypothese.
Grote p-waarde -> iets gevonden wat heel aannemelijk is onder de nulhypothese.
Als de eenzijdige of tweezijdige p-waarde klein is, dan is de gevonden waarde voor z onwaarschijnlijk
onder de aanname dat de nulhypothese waar is. Men noemt de tweezijdige kans klein als deze
kleiner is dan een van te voren vastgestelde kans alpha. Deze kans noemt men de
onbetrouwbaarheid van de toets. Vaak stelt men deze op 0,05.
, -> nulhypothese verwerpen.
Wanneer men een tweezijdige p-waarde vindt die kleiner dan de onbetrouwbaarheid alpha is, dan
redeneert men als volgt: De kans op een dergelijke uitkomst van z onder de nulhypothese is klein,
kleiner dan alpha. In dit geval kan men beter zeggen dat de nulhypothese niet waar is. Deze uitspraak
kan natuurlijk fout zijn, namelijk in het geval dat er een onwaarschijnlijke gebeurtenis heeft
plaatsgevonden. In dit geval verwerpt men de nulhypothese ten onrechte. Echter, de kans hierop is
kleiner of gelijk aan de onbetrouwbaarheid van de toets.
De afstand tussen wat men vindt in de steekproef (de uitkomst van p) en de nulhypothese (pi0)
uitgedrukt in standaard error, is te groot als de tweezijdige kans op deze afstand (of een extremere
afstand), kleiner is dan de onbetrouwbaarheid alpha. Is dit het geval, dan zegt men dat de
uitkomsten van het onderzoek niet in overeenstemming zijn met de nulhypothese.
Stap 5: Conclusie
Stap 6: Betrouwbaarheidsinterval
Om te weten wat de aannemelijke waarden voor de populatiefractie volgens dit onderzoek zijn, kan
men betrouwbaarheidsinterval uitrekenen: wat zijn aannemelijke waarden voor de populatiefractie
pi?
De waarden voor pi zijn aannemelijk, dat wanneer ze in H0 stonden, niet verworpen zouden worden
met een onbetrouwbaarheid van 0,05 dus met een betrouwbaarheid van 0,95.
Met de standaard normale verdeling kunnen we bepalen dat 95% van z ligt tussen -1,96 en 1,96.
Ofwel de kans op een z-waarde waarvoor geldt -1,96 < z < 1,96 is 0,95. Invullen wat z is geeft:
met een kans van 0,95.
Nu gaan we die formule veranderen totdat tussen de ongelijkheidstekens alleen nog pi staat. Dan
krijgen we: .
Hoorcollege 2 Statistiek en wetenschappelijk redeneren
Stap 1: De hypothesen
De uitspraak waar men van uit gaat noemt men de nulhypothese: H0.
Als het onderzoek uitwijst dat de nulhypothese niet waar is, dan moet deze worden verworpen. Dat
verwerpen doet men dan ten gunste van een andere hypothese, de zogenaamde alternatieve
hypothese H1. De alternatieve hypothese is een ontkenning van de nulhypothese. \
Er zijn nu twee hypothesen die iets over de populatie zeggen, H0 en H1. Deze hypothesen zijn
afgeleid van de onderzoeksvraag en bepalen voor een groot deel wat er gemeten gaat worden en
wat weer van grote invloed is op de te gebruiken statistiek.
Stap 2: De data
Men nam een steekproef van 1445 honden uit de populatie van alle honden die in een bepaalde
periode in een Nederlands asiel zaten. Voor ieder dier wordt bepaald of er tandproblemen zijn of niet
(0-1 data). Deze data is verzameld omdat dat informatie geeft over de te toetsen hypothesen.
De hypothesen en de verzamelde data bepalen voor een groot deel wat er uitgerekend en hoe er
geredeneerd gaat worden (en dus bepalen ze de statistiek).
Stap 3: de toetsingsgrootheid
,Er moet worden besloten of de nulhypothese verworpen wordt of niet. Dat doen we op grond van de
steekproef.
Alle waarnemingen in de steekproef worden samengevat tot de zogenaamde toetsingsgrootheid. De
toetsingsgrootheid is een functie van de steekproefwaarnemingen, die iets zegt over de hypothesen.
In het onderzoek met de asielhonden gaan de hypothesen over de populatiefractie. Het ligt daarom
voor de hand om als toetsingsgrootheid de steekproeffractie te nemen. Dat ligt voor de hand omdat
in een aselecte steekproef deze steekproef fractie erg veel zal lijken op de populatiefractie.
Stel de nulhypothese is waar, dat wil zeggen dat de populatiefractie gelijk is aan 0,25.
Als er een representatieve steekproef uit deze populatie wordt genomen, dan zal de
steekproeffractie in de buurt van de 0,25 moeten liggen. Als dit inderdaad het geval is, dan zal men
geneigd zijn op grond van deze steekproeffractie H0 niet te verwerpen. De uitkomst van de
steekproef is dan in overeenstemming met de nulhypothese.
Stel de nulhypothese is niet waar, dat wil zeggen dat de populatiefractie ongelijk is aan 0,25. Stel dat
de populatiefractie groter is dan 0,25. Als nu een steekproef wordt gedaan, dan zal men
hoogstwaarschijnlijk een steekproeffractie vinden die groter is dan 0,25. In dit geval zal men geneigd
zijn om op grond van deze steekproef H0 te verwerpen.
Vaak echter neemt men de gestandaardiseerde steekproeffractie, aangegeven met z, als
toetsingsgrootheid:
Se(p) is de standard error van p.
In de toetsingsgrootheid z is pi0 de waarde voor de populatiefractie zoals deze in de nulhypothese
staat en z is bij benadering standaard normaal verdeeld. In het voorbeeld geldt pi0 = 0,25.
In de gestandaardiseerde steekproeffractie wordt pi0 gebruikt omdat men ervan uitgaat dat de
nulhypothese waar is, totdat het tegendeel bewezen is.
Grote standard error -> weinig informatie aan je onderzoek. Als je het onderzoek herhaalt, kan je wel
eens een hele andere waarde vinden.
Kleine standard error -> bij herhaling van je onderzoek, vind je dezelfde waarde. In dit geval heb je in
één onderzoek veel informatie.
Standard error hangt af van n. Een steekproef met veel waarnemingen, bevat dus veel informatie.
Z -> Je kijkt naar de afstand tussen wat je vindt in je onderzoek en wat de nulhypothese zegt,
uitgedrukt in standard errors. Z is de afstand, met een plus- of minteken ervoor, tussen de gevonden
steekproeffractie p en pi0, de populatiefractie volgens de nulhypothese, uitgedrukt in het aantal
standaarderrors.
Stel men vindt de uitkomst z is 2, dan is de afstand tussen de gevonden steekproeffractie p en pi0 2
standaarderrors groot. Als de afstand tussen de gevonden steekproeffractie en pi0 groot is (groot
negatief of groot positief), dan is men geneigd om op grond van de steekproef de nulhypothese niet
meer de geloven. In dat geval verwerpt men de nulhypothese.
,Als het verschil tussen de gevonden steekproeffractie p en pi0 klein is, dan is de uitkomst van de
steekproef redelijk in overeenstemming met de nulhypothese. In dit geval zal men de nulhypothese
niet verwerpen.
De toetsingsgrootheid hangt dus af van de hypothesen en van wat er gemeten wordt in de
steekproef.
Bovenstaande toetsingsgrootheid (met z) geldt als men 0-1 data heeft en als de hypothesen over
populatiefracties gaan. Van de 1445 honden in de steekproef hebben er 319 tandproblemen hetgeen
neerkomt op een uitkomst van de steekproeffractie van 0,22.
De afstand tussen hetgeen er in de steekproef is gevonden en de nulhypothese is hier dus 2,75
standaard error groot.
Als de nulhypothese waar is, is z ongeveer gelijk aan 0.
Z -> normaal verdeeld met gemiddeld ongeveer 0, als de nulhypothese waar is.
Stap 4: de p-waarde
Wanneer verwerpen we de nulhypothese?
Om daar wat over te kunnen zeggen, bekijken we de situatie zoals die onder H0 geldt. Dus we
bekijken de situatie waarin de fractie honden met tandproblemen gelijk aan 0,25 is. In dit geval
verwachten we een steekproeffractie in de buurt van 0,25 te vinden. Oftewel, de uitkomst van z zou
in de buurt van de nul moeten liggen.
Verder weten we dat z bij benadering de standaard normale verdeling heeft. Dus als we een heleboel
z-waarden zouden hebben en daar een histogram van zouden maken, dan is dat histogram
symmetrisch om nul. Deze normale verdeling wordt gebruikt op de p-waarde uit te rekenen.
Als de nulhypothese waar is, dan zal z ongeveer gelijk zijn aan nul omdat de steekproeffractie dan
ongeveer gelijk zal zijn aan de populatiefractie H0.
Dus de vraag luidt: hoe groot is de kans dat we een z-waarde vinden, zoals de gevonden of een
extremere, als we een z-waarde in de buurt van nul verwachten? Deze kans noemt men de eenzijdige
p-waarde. Als we de eenzijdige p-waarde met 2 vermenigvuldigen dan vinden we de tweezijdige p-
waarde. Dus: De p-waarde is de kans op de uitkomst van de toetsingsgrootheid of een extremere
uitkomst als de nulhypothese waar is.
Kleine p-waarde -> iets gevonden dat onwaarschijnlijk is onder de nulhypothese.
Grote p-waarde -> iets gevonden wat heel aannemelijk is onder de nulhypothese.
Als de eenzijdige of tweezijdige p-waarde klein is, dan is de gevonden waarde voor z onwaarschijnlijk
onder de aanname dat de nulhypothese waar is. Men noemt de tweezijdige kans klein als deze
kleiner is dan een van te voren vastgestelde kans alpha. Deze kans noemt men de
onbetrouwbaarheid van de toets. Vaak stelt men deze op 0,05.
, -> nulhypothese verwerpen.
Wanneer men een tweezijdige p-waarde vindt die kleiner dan de onbetrouwbaarheid alpha is, dan
redeneert men als volgt: De kans op een dergelijke uitkomst van z onder de nulhypothese is klein,
kleiner dan alpha. In dit geval kan men beter zeggen dat de nulhypothese niet waar is. Deze uitspraak
kan natuurlijk fout zijn, namelijk in het geval dat er een onwaarschijnlijke gebeurtenis heeft
plaatsgevonden. In dit geval verwerpt men de nulhypothese ten onrechte. Echter, de kans hierop is
kleiner of gelijk aan de onbetrouwbaarheid van de toets.
De afstand tussen wat men vindt in de steekproef (de uitkomst van p) en de nulhypothese (pi0)
uitgedrukt in standaard error, is te groot als de tweezijdige kans op deze afstand (of een extremere
afstand), kleiner is dan de onbetrouwbaarheid alpha. Is dit het geval, dan zegt men dat de
uitkomsten van het onderzoek niet in overeenstemming zijn met de nulhypothese.
Stap 5: Conclusie
Stap 6: Betrouwbaarheidsinterval
Om te weten wat de aannemelijke waarden voor de populatiefractie volgens dit onderzoek zijn, kan
men betrouwbaarheidsinterval uitrekenen: wat zijn aannemelijke waarden voor de populatiefractie
pi?
De waarden voor pi zijn aannemelijk, dat wanneer ze in H0 stonden, niet verworpen zouden worden
met een onbetrouwbaarheid van 0,05 dus met een betrouwbaarheid van 0,95.
Met de standaard normale verdeling kunnen we bepalen dat 95% van z ligt tussen -1,96 en 1,96.
Ofwel de kans op een z-waarde waarvoor geldt -1,96 < z < 1,96 is 0,95. Invullen wat z is geeft:
met een kans van 0,95.
Nu gaan we die formule veranderen totdat tussen de ongelijkheidstekens alleen nog pi staat. Dan
krijgen we: .
