MECHANICA VAN
MATERIALEN, VLOEISTOFFEN
EN CONSTRUCTIES
DEEL 2
Ingenieurswetenschappen: Architectuur (2Ba)
Ingenieurswetenschappen (2Ba)
Zarah Van Schoor
VUB | 2018
,Inhoud
Torsie .................................................................................................................................................................... 34
Enkelvoudige buiging ............................................................................................................................................ 38
Dwarskracht .......................................................................................................................................................... 44
Knik van kolommen .............................................................................................................................................. 47
Mechanica van constructies ................................................................................................................................. 51
Draagsystemen ..................................................................................................................................................... 53
Vakwerken ............................................................................................................................................................ 60
Kabels en bogen .................................................................................................................................................... 61
Bruggenbouw........................................................................................................................................................ 61
Vloeistoffen........................................................................................................................................................... 63
33
,Torsie
Inleiding
Beschouw een cilinder in een sterk vervormbaar materiaal (rubber).
Torsiemoment
• Cirkelvorm blijft behouden
• Roosterlijnen in de lengterichting worden
vervormd tot spiralen die de cirkels
allemaal onder dezelfde hoek snijden
• Dwarsdoorsneden aan de uiteinden van de
as blijven vlak en de radiale lijnen blijven
recht maar ondergaan een kleine rotatie.
Gevolg:
• Bij een kleine rotatiehoek blijven de lengte en de diameter van de as ongewijzigd
Vervorming van een cilinder tegenover een torsiebeweging
Aas aan 1 zijde ingeklemd, aan andere uiteinde torsiebelasting aanbrengen
à onvervormde vlak vervormt zoals getoond in de figuur
De radiale lijn op een afstand 𝑥 van het vaste uiteinde ondergaat een rotatie
over een hoek 𝜙(𝑥) (torsiehoek).
De torsiehoek varieert lineair in functie van x.
Isoleren een klein element dat zich op een radiale
afstand 𝜌 van de hartlijn bevindt
Rotatie achterzijde 𝜙(𝑥)
Rotatie voorzijde 𝜙(𝑥) + ∆𝜙
Verschil tussen deze rotaties ∆𝜙
Dit verschil veroorzaakt in het element een
hoekvervorming.
Hoekvervorming berekenen:
Oorspronkelijk: 𝐶𝐴 ⊥ 𝐴𝐵
Na aanbrengen van torsiebelasting is deze hoek 𝜃′
Afschuifrek:
𝜋
𝛾= − lim 𝜃′
2 !→# %&'() !#
*→# %&'() *#
𝑑𝜙
𝐵𝐷 = 𝜌𝑑𝜙 = 𝛾𝑑𝑥 → 𝛾 = 𝜌
𝑑𝑥
+,
→ +-
= 𝑐𝑡𝑒 over dwarsdoorsnede
à afschuifhoek varieert lineair met de afstand tot het
centrum van de as waar ze nul is en wordt maximaal op
de rand 𝑐
𝑑𝜙 𝛾 𝛾.&- 𝜌
= = → 𝛾 = < = 𝛾.&-
𝑑𝑥 𝜌 𝑐 𝑐
34
, Torsieformule
à relatie tussen inwendige torsie en schuifspanningsverdeling op de dwarsdoorsnede
Veronderstellen een lineair elastisch materiaalgedrag à Wet van Hooke is geldig
𝜏 = 𝐺𝛾 à lineair verloop van afschuivingvervorming langs elke radiale lijn in een
dwarsdoorsnede
𝜏
𝛾=
𝐺
𝜏.&-
𝛾.&- =
𝐺
𝜌 𝜏 𝜌 𝜏.&- 𝜌
𝛾 = < = 𝛾.&- → = < = → 𝜏 = < = 𝜏.&-
𝑐 𝐺 𝑐 𝐺 𝑐
Elk element met een oppervlakte 𝑑𝐴 op een afstand 𝜌 ondergaat een schuifkracht 𝑑𝐹 = 𝜏𝑑𝐴
Wrijvingsmoment (kracht x verplaatsing) veroorzaakt door kracht 𝑑𝐹: 𝑑𝑇 = 𝜌𝑑𝐹 = 𝜌𝜏𝑑𝐴
Voor de totale doorsnede:
𝜌 𝜏.&- 𝜏.&-
𝑇 = B 𝜌𝜏𝑑𝐴 = B 𝜌 < = 𝜏.&- 𝑑𝐴 = B 𝜌/ 𝑑𝐴 = 𝐽
# # 𝑐 𝑐 # 𝑐
• 𝐽 à Polair traagheidsmoment [𝐽] = 𝑚𝑚0 of 𝑚0
à Geometrische eigenschap van de cirkelvormige oppervlakte
à Altijd positief
𝑇𝑐
→ 𝜏.&- =
𝐽
Voor willekeurige afstand van centrum:
𝑇𝜌
→𝜏=
𝐽
è Geldig voor circulaire staaf, homogeen en lineair elastisch materiaal
Wederkerigheid van de schuifspanning
Door dit principe veroorzaakt het inwendig torsiemoment 𝑇 niet alleen
een lineaire verdeling van de schuifspanning langs elke radiale lijn in
het vlak van de dwarsdoorsnede, maar ook moet er een bijhorende
schuifspanningverdeling in een axiaal vlak ontstaan.
Houten assen zullen door deze axiale verdeling
van de schuifspanningen splijten doordat de
weerstand tegen afschuiving evenwijdig aan de
vezels veel lager is dan deze loodrecht op de
vezels.
à Hout is anisotroop
35
MATERIALEN, VLOEISTOFFEN
EN CONSTRUCTIES
DEEL 2
Ingenieurswetenschappen: Architectuur (2Ba)
Ingenieurswetenschappen (2Ba)
Zarah Van Schoor
VUB | 2018
,Inhoud
Torsie .................................................................................................................................................................... 34
Enkelvoudige buiging ............................................................................................................................................ 38
Dwarskracht .......................................................................................................................................................... 44
Knik van kolommen .............................................................................................................................................. 47
Mechanica van constructies ................................................................................................................................. 51
Draagsystemen ..................................................................................................................................................... 53
Vakwerken ............................................................................................................................................................ 60
Kabels en bogen .................................................................................................................................................... 61
Bruggenbouw........................................................................................................................................................ 61
Vloeistoffen........................................................................................................................................................... 63
33
,Torsie
Inleiding
Beschouw een cilinder in een sterk vervormbaar materiaal (rubber).
Torsiemoment
• Cirkelvorm blijft behouden
• Roosterlijnen in de lengterichting worden
vervormd tot spiralen die de cirkels
allemaal onder dezelfde hoek snijden
• Dwarsdoorsneden aan de uiteinden van de
as blijven vlak en de radiale lijnen blijven
recht maar ondergaan een kleine rotatie.
Gevolg:
• Bij een kleine rotatiehoek blijven de lengte en de diameter van de as ongewijzigd
Vervorming van een cilinder tegenover een torsiebeweging
Aas aan 1 zijde ingeklemd, aan andere uiteinde torsiebelasting aanbrengen
à onvervormde vlak vervormt zoals getoond in de figuur
De radiale lijn op een afstand 𝑥 van het vaste uiteinde ondergaat een rotatie
over een hoek 𝜙(𝑥) (torsiehoek).
De torsiehoek varieert lineair in functie van x.
Isoleren een klein element dat zich op een radiale
afstand 𝜌 van de hartlijn bevindt
Rotatie achterzijde 𝜙(𝑥)
Rotatie voorzijde 𝜙(𝑥) + ∆𝜙
Verschil tussen deze rotaties ∆𝜙
Dit verschil veroorzaakt in het element een
hoekvervorming.
Hoekvervorming berekenen:
Oorspronkelijk: 𝐶𝐴 ⊥ 𝐴𝐵
Na aanbrengen van torsiebelasting is deze hoek 𝜃′
Afschuifrek:
𝜋
𝛾= − lim 𝜃′
2 !→# %&'() !#
*→# %&'() *#
𝑑𝜙
𝐵𝐷 = 𝜌𝑑𝜙 = 𝛾𝑑𝑥 → 𝛾 = 𝜌
𝑑𝑥
+,
→ +-
= 𝑐𝑡𝑒 over dwarsdoorsnede
à afschuifhoek varieert lineair met de afstand tot het
centrum van de as waar ze nul is en wordt maximaal op
de rand 𝑐
𝑑𝜙 𝛾 𝛾.&- 𝜌
= = → 𝛾 = < = 𝛾.&-
𝑑𝑥 𝜌 𝑐 𝑐
34
, Torsieformule
à relatie tussen inwendige torsie en schuifspanningsverdeling op de dwarsdoorsnede
Veronderstellen een lineair elastisch materiaalgedrag à Wet van Hooke is geldig
𝜏 = 𝐺𝛾 à lineair verloop van afschuivingvervorming langs elke radiale lijn in een
dwarsdoorsnede
𝜏
𝛾=
𝐺
𝜏.&-
𝛾.&- =
𝐺
𝜌 𝜏 𝜌 𝜏.&- 𝜌
𝛾 = < = 𝛾.&- → = < = → 𝜏 = < = 𝜏.&-
𝑐 𝐺 𝑐 𝐺 𝑐
Elk element met een oppervlakte 𝑑𝐴 op een afstand 𝜌 ondergaat een schuifkracht 𝑑𝐹 = 𝜏𝑑𝐴
Wrijvingsmoment (kracht x verplaatsing) veroorzaakt door kracht 𝑑𝐹: 𝑑𝑇 = 𝜌𝑑𝐹 = 𝜌𝜏𝑑𝐴
Voor de totale doorsnede:
𝜌 𝜏.&- 𝜏.&-
𝑇 = B 𝜌𝜏𝑑𝐴 = B 𝜌 < = 𝜏.&- 𝑑𝐴 = B 𝜌/ 𝑑𝐴 = 𝐽
# # 𝑐 𝑐 # 𝑐
• 𝐽 à Polair traagheidsmoment [𝐽] = 𝑚𝑚0 of 𝑚0
à Geometrische eigenschap van de cirkelvormige oppervlakte
à Altijd positief
𝑇𝑐
→ 𝜏.&- =
𝐽
Voor willekeurige afstand van centrum:
𝑇𝜌
→𝜏=
𝐽
è Geldig voor circulaire staaf, homogeen en lineair elastisch materiaal
Wederkerigheid van de schuifspanning
Door dit principe veroorzaakt het inwendig torsiemoment 𝑇 niet alleen
een lineaire verdeling van de schuifspanning langs elke radiale lijn in
het vlak van de dwarsdoorsnede, maar ook moet er een bijhorende
schuifspanningverdeling in een axiaal vlak ontstaan.
Houten assen zullen door deze axiale verdeling
van de schuifspanningen splijten doordat de
weerstand tegen afschuiving evenwijdig aan de
vezels veel lager is dan deze loodrecht op de
vezels.
à Hout is anisotroop
35
