Kansberekening
STATISTIEK II
AW
2023-2024
,1. INHOUDSOPGAVE
1. Inhoudsopgave ............................................................................................................................................ 1
0. BESCHRIJVENDE ⇿ INFERENTIËLE STATISTIEK ............................................................................................... 4
0.1 Steekproef geeft info over populatie .................................................................................................... 4
0.2 verzamelingen en combinatieleer ......................................................................................................... 4
0.2.1 Unie en doorsnede ...................................................................................................................................................... 4
0.2.2 Speciale situatie .......................................................................................................................................................... 4
0.2.3 Het verschil ................................................................................................................................................................. 4
0.2.4 Het compliment .......................................................................................................................................................... 5
0.2.5 Partitie ......................................................................................................................................................................... 5
0.3 Combinatieleer .................................................................................................................................... 5
0.3.1 Permutaties ................................................................................................................................................................. 5
0.3.2 Variaties ...................................................................................................................................................................... 5
0.3.3 Combinaties ................................................................................................................................................................ 6
0.4 Samenvattend ..................................................................................................................................... 6
0.4.1 Overzicht ..................................................................................................................................................................... 6
4. KANSREKENING ........................................................................................................................................... 7
4.1 Begrippen bij kansrekening .................................................................................................................. 7
4.2 Kansmodellen ...................................................................................................................................... 7
4.2.1 Kansmodel ‘Dobbelstenen 1’ ...................................................................................................................................... 7
4.2.2 Kansmodel “dobbelstenen 2” ..................................................................................................................................... 8
4.2.3 Toevalsproces “aantal ogen geworpen met 2 dobbels” ............................................................................................. 8
4.2.4 Dobbelsteen als model voor beoordelingen ............................................................................................................... 8
4.3 Wetten van de kansrekening ................................................................................................................ 8
4.3.1 Definitie van kans ........................................................................................................................................................ 8
4.3.2 Algemene optelregels ................................................................................................................................................. 9
4.3.3 Basisregels voor kansen ............................................................................................................................................ 10
4.3.4 Voorwaardelijke kansen ............................................................................................................................................ 10
4.3.5 Algemene productregels ........................................................................................................................................... 11
4.3.6 Stochastische onafhankelijkheid ............................................................................................................................... 12
4.3.7 Regels voor kansrekening ......................................................................................................................................... 13
4.3.8 Regel van Bayes......................................................................................................................................................... 15
4.4 Stochastische variabelen (toeval variabelen) (zelfstudie integralen) .................................................... 16
4.4.1 Stochastische variabele (toevalsvariabelen) ............................................................................................................. 16
4.4.2 Discrete stochastische variabelen ............................................................................................................................. 16
4.4.3 Continue stochastische variabelen ........................................................................................................................... 19
4.4.4 Normaalverdeling als kansverdelingen ..................................................................................................................... 20
4.5 Verwachting en variantie van stochastische variabelen ....................................................................... 20
4.5.1 Verwachting van een discrete stochastische variabele ............................................................................................ 20
4.5.2 Verwachting van een continue stochastische variabele (rekenregels integralen).................................................... 22
4.5.3 Variantie van een stochastische variabele ................................................................................................................ 23
4.5.4 Samenvattend Discrete en stochastische variabele.................................................................................................. 26
5. HOOFDSTUK 5: STEEKPROEVENVERDELINGEN............................................................................................. 27
5.1 Parameters en karakteristieke waarden ............................................................................................. 27
5.1.1 SteekproeVENverdelingen ........................................................................................................................................ 27
5.1.2 Theoretische steekproevenverdeling........................................................................................................................ 27
5.1.3 Empirische steekproevenverdeling (sampling distribution) ..................................................................................... 28
5.1.4 Trekking met teruglegging ........................................................................................................................................ 28
5.1.5 Trekking ZONDER teruglegging ................................................................................................................................. 28
5.2 Steekproevenverdelingen voor aantallen en proporties ...................................................................... 29
5.2.1 Binomiale verdelingen van steekproefaantallen ...................................................................................................... 29
5.2.2 Binomiale situatie schematisch ................................................................................................................................. 30
1
, 5.2.3 Binomiale kans .......................................................................................................................................................... 30
5.2.4 Binomiale verdeling in steekproeven in steekpreoven uit een “eindige” populatie ................................................ 31
5.2.5 Binomiale kansen bepalen ........................................................................................................................................ 32
5.2.6 Verwachting en standaarddeviatie van een binomiaal verdeling ............................................................................. 32
5.2.7 Steekproevenverdeling van steekproeffracties (% successen) ................................................................................. 33
5.2.8 Benadering van aantallen en fracties met normaalverdeling ................................................................................... 33
5.2.9 Normaalverdeling als benadering voor aantallen en proporties .............................................................................. 35
5.3 Steekproevenverdelingen van het steekproefgemiddelde ................................................................... 38
5.3.1 Verwachting en Standaard Deviatie van een steekproefgemiddelde ....................................................................... 38
5.3.2 Steekproevenverdeling van een steekproefgemiddelde .......................................................................................... 38
5.3.3 Centrale limietstelling ............................................................................................................................................... 39
6. HOOFDSTUK 6: INLEIDING TOT INFERENTIE ................................................................................................. 42
6.1 BETROUWBAARHEIDSchatten ............................................................................................................ 43
6.1.1 Voorwaarden voor inferenties over een gemiddelde (opzoeken ander handboek) ................................................. 43
6.1.2 Statistisch schatten ................................................................................................................................................... 43
6.1.3 Puntschatting ............................................................................................................................................................ 43
6.1.4 Betrouwbaarheidsinterval (BI) .................................................................................................................................. 48
6.1.5 Niveau C betrouwbaarheidsinterval voor µ (level c confidence interval for µ) ........................................................ 48
6.1.6 Rol v/d steekproefgrootte ......................................................................................................................................... 50
6.1.7 Samengevat: Populatieverdeling, steekproevenverdeling en betrouwbaarheidsinterval ........................................ 52
6.2 SIGNIFICANTIETOETSEN ..................................................................................................................... 53
6.2.1 Redenering bij significantietoetsen........................................................................................................................... 53
6.2.2 Hypothesen formuleren ............................................................................................................................................ 53
6.2.3 Toetsingsgrootheid (Test Statistic)............................................................................................................................ 54
6.2.4 Overschrijdingskans (p-waarde)................................................................................................................................ 54
6.2.5 Statistische significantie ............................................................................................................................................ 55
6.2.6 Toetsen voor een populatiegemiddelde µ0 ............................................................................................................... 56
6.2.7 Tweezijdige significantietoetsen en aanvaardingsintervallen .................................................................................. 58
6.3 Gebruik en misbruik van toetsen ........................................................................................................ 58
6.3.1 Gevaren met betrekking tot significantietoetsen ..................................................................................................... 58
6.3.2 Voorzichtig met significantie toetsen ....................................................................................................................... 59
7. Werkcolleges statistiek .............................................................................................................................. 60
7.1 Zelfstudie: Combinatieleer voorkennis ............................................................................................... 60
7.1.1 Variaties .................................................................................................................................................................... 60
7.1.2 Permutaties ............................................................................................................................................................... 60
7.1.3 Combinaties .............................................................................................................................................................. 60
7.2 WEEK 23: SOMREGEL EN BASISREGEL VOOR KANSEN .......................................................................... 62
7.2.1 Volgorde van bewerkingen ....................................................................................................................................... 62
7.2.2 Kansen: algemene definitie ....................................................................................................................................... 62
7.3 zelfstudie: Somregel & basisregels voor kansen .................................................................................. 62
7.3.1 Unie en doorsnede .................................................................................................................................................... 62
7.3.2 Disjuncte en niet-disjuncte verzamelingen ............................................................................................................... 62
7.4 Week 25: Voorwaardelijke kans, productregel en stochastische onafhankelijkheid .............................. 63
7.4.1 Voorwaardelijke kans ................................................................................................................................................ 63
7.4.2 Productregel voor 2 gebeurtenissen ......................................................................................................................... 63
7.4.3 Stochastische onafhankelijke bij twee gebeurtenissen ............................................................................................ 63
7.5 Week 26: Bayes en kansbomen .......................................................................................................... 64
7.5.1 De regel van Bayes .................................................................................................................................................... 64
7.5.2 Kansbomen bij stochastisch ONAFHANKELIJKE gebeurtenissen ............................................................................... 64
7.5.3 Kansbomen bij stochastisch afhankelijke gebeurtenissen ........................................................................................ 65
7.6 Week 28: Discrete stochastieken ........................................................................................................ 66
7.6.1 Voorbeeld.................................................................................................................................................................. 66
7.6.2 Regels voor verwachtingen ....................................................................................................................................... 66
7.6.3 Variantie van een discrete stochastiek ..................................................................................................................... 66
2
,7.7 Zelfstudie: Afgeleiden en integralen ................................................................................................... 68
7.7.1 Afgeleide van een functie ......................................................................................................................................... 68
7.7.2 Reken regels afgeleiden ............................................................................................................................................ 68
7.7.3 Integralen .................................................................................................................................................................. 68
7.7.4 Rekenregels integralen ............................................................................................................................................. 69
7.7.5 Bepaalde integralen .................................................................................................................................................. 69
7.8 Week 31: Continue stochastiek .......................................................................................................... 70
7.8.1 Continue stochastiek ................................................................................................................................................. 70
7.8.2 Variantie van een continue stochastiek .................................................................................................................... 71
7.8.3 Regels voor varianties ............................................................................................................................................... 72
7.9 Week 32: Binomiale verdeling en normaalverdeling bij binomiale verdelingen van aantallen ............... 73
7.9.1 Binomiale verdelingen: inleidende oefening ............................................................................................................ 73
7.9.2 Binomiaalverdeling van steekproefaantallen ........................................................................................................... 74
7.9.3 Normaalbenadering bij binomiale verdeling van aantallen ...................................................................................... 75
7.10 Week 33: Normaalverdeling: binomiale verdelingen van proporties & centrale limietstelling............... 76
7.10.1 Binomiale verdelingen van proporties. ................................................................................................................ 76
7.10.2 Centrale limietstelling .......................................................................................................................................... 76
7.11 Week 34: betrouwbaarheidsintervallen-Z-test .................................................................................... 78
7.11.1 Algemeen: inferentiemethoden ........................................................................................................................... 78
7.11.2 Betrouwbaarheidsinterval .................................................................................................................................... 78
7.11.3 Z-test .................................................................................................................................................................... 79
3
, 0. BESCHRIJVENDE ⇿ INFERENTIËLE STATISTIEK
Deductieve of Beschrijvende Statistiek:
• Doel = globale patronen en kenmerken ontdekken ahv
• kengetallen = karakteristieke waarden = beschrijvende maten Statistiek l
(gemiddelde, standaardafwijking, correlatiecoëfficiënt, etc.) MBS
• figuren (histogram, spreidingsdiagram, …)
Inductieve of Inferentiële statistiek:
• Verklarende statistiek, vergelijkt onderzoeksgegevens met wat
mogelijk is door TOEVAL, gebaseerd op kansrekening Statistiek ll
• Op basis van een beperkt aantal gegevens wordt getracht om algemene KIS
uitspraken te formuleren over de gehele populatie.
0.1 STEEKPROEF GEEFT INFO OVER POPULATIE
We vertrekken vanuit een populatie, waaruit een steekproef getrokken
wordt. Inductie (inductieve- en / of inferentiële statistiek) is het einddoel
van statistiek.
Statistische Vragen
De vraag die vaak gesteld wordt tijdens statistiek 2 is: ‘Hoe groot is de kans
dat in een toevallige steekproef van 10 studenten 1BA, zoveel meisjes zitten,
indien in de populatie de verdeling 50/50 is?’
Het doel is om situaties die we met onderzoek kunnen bekijken, te
vergelijken met toeval.
0.2 VERZAMELINGEN EN COMBINATIELEER
Verzameling:
Een verzameling A (een verzameling wordt voorgesteld met een hoofdletter) is een
groepering van n elementen a1, a2, … (elementen met een kleine letter).
• Notatie: A= (a1, a2, … an)
Deelverzameling: Opmerking:
Een verzameling B is een • Elke verzameling is een deelverzameling van zichzelf.
deelverzameling van A die elementen • De lege verzameling is een deelverzameling van elke verzameling:
a3 en an bevat ∅
• Notatie: B A
0.2.1 Unie en doorsnede
Er kunnen verzamelingen samengenomen worden, er wordt gekeken naar
alle objecten die minstens in 1 van de 2 verzamelingen zitten (=de unie)
(De kans op A en/of B= ofwel A, ofwel B, ofwel beide)
of we kunnen verzamelingen van elkaar aftrekken, de overlapping gaan
bepalen (=doorsnede).
(De kans op “A en B”)
0.2.2 Speciale situatie
Als de doorsnede A en B leeg is. D = A∩B = ∅
Dan bestaan de unie van A en B C = A∪B
Uit 2 delen:
0.2.3 Het verschil
De verzameling A wordt genomen en alles wat in verzameling B zit, wordt weggenomen
waardoor de doorsnede weg gaat uit A.
4
,0.2.4 Het compliment
F = niet (A)
= ~A of ¬A of A
Complement van een deelverzameling
Het complement van een deelverzameling B in A is (A \ B) (alles wat niet in het gele ellips
valt).
Voorbeeld: de dagen van de week
A zijn de werkdagen {werkdagen}
B zijn de weekenddagen {weekenddagen}
C zijn de weekdagen {weekdagen} (volledige verzameling).
D {dagen geschreven met 8 letters}
0.2.5 Partitie
Er zijn géén twee van de deelverzamelingen die
elkaar overlappen (de doorsnedes moeten leeg zijn). Uiteindelijk moet de volledige
oppervlakte v/d verzameling benut worden. De twee aan twee mogen geen overlap hebben, ze moeten disjunct zijn
(belangrijk bij een partitie). Als ze allemaal samen genomen worden, moet de volledige verzameling bekeken
worden.
• Het moet exhaustief zijn, uitputtend zijn, alle mogelijkheden moeten voorzien zijn.
0.3 COMBINATIELEER
Combinatieleer: ‘op hoeveel verschillende manieren kan je bepaalde dingen met elkaar combineren.’ Er zijn
verschillende situaties die beschreven kunnen worden, die becijferd moeten worden. Enkele belangrijke begrippen:
• Hoeveel codes van 4 cijfers kan men maken (herhalen mag) met 10 cijfers: 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 10000
• Permutaties: # volgorden (van ganse verzameling) met 10 cijfers (0-9), hoeveel codes van 10 verschillende cijfers
kan men maken? 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
• Variaties: # geordende deelverzamelingen. Hoeveel getallen van 3 verschillende cijfers. 10 x 9 x 8
• Combinaties: # deelverzamelingen met de 10 cijfers (0-9), hoeveel deelverzamelingen van 3 verschillende cijfers
kan men maken? (10 x 9 x 8) / (3 x 2)
0.3.1 Permutaties
Permutaties: het aantal volgorden van n verschillende objecten
(er wordt gekeken naar een verzameling en van die
verzamelingen worden alle mogelijke volgorden opgeschreven).
Het aantal permutaties van een verzameling van n elementen =
n! = n x (n-1) x (n-2) x … x 1
0.3.2 Variaties
Variaties is het aantal geordende deelverzamelingen. Het aantal geordende
deelverzamelingen van r elementen uit een verzameling n elementen, waarbij de
volgorde belangrijk is.
N x (n-1) x … x (n-r+1)
5
,Op hoeveel manieren kan men 2 kleuren uit 4 kiezen en ordenen?
Hoeveel verschillende geordende deelverzamelingen heeft A (rood, groen, blauw)
• #0 (lege verzameling)
• #1 (rood) (groen) (blauw)
• #2 (rood, groen) (rood, blauw) (groen, blauw) (groen, rood) (blauw, rood) (blauw,
groen)
• #3 (rood, groen, blauw) (rood, blauw, groen) (groen, rood, blauw) (groen, blauw, rood) (blauw, rood, groen)
(blauw, groen rood)
0.3.3 Combinaties
Het aantal combinaties van r elementen uit en verzameling van n elementen (waarbij de volgorde onbelangrijk is,
#deelverzamelingen).
#niet-geordende deelverzamelingen
Voorbeeld 1: 5 kiezen uit 8: alle volgorden van 8 objecten:8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x
1
• De volgrode v/d gekozen objecten: 5 x 4 x 3 x 2 x 1
• De volgorde niet-gekozen objecten: 3 x 2 x 1
Voorbeeld 2: Hoeveel verschillende (niet geordende)
deelverzamelingen heeft A (rood, groen, blauw)
• #0 (lege verzameling)
• #1 (rood) (groen) (blauw)
• #2 (rood, groen) (rood, blauw) (groen, blauw)
• #3 (rood, groen, blauw)
Enkele bijzondere gevallen:
0.4 SAMENVATTEND
Totaal aantal volgorde van alle n elementen = permutaties = n! = n x (n-1) x (n-2) x …. X1
Aantal geordende groepjes van r elementen gekozen uit n = variaties
Aantal groepjes van r elementen gekozen uit n = combinaties
0.4.1 Overzicht
n>r n=r
Volgorde belangrijk Variatie Permutatie
Volgorde niet belangrijk Combinatie triviaal
De Faculteit (!) van een natuurlijk getal= het product van dat getal en alle kleinere natuurlijke getallen (behalve 0)
0!=1
Toepassing:
6
,4. KANSREKENING
• Kansmodellen Hoofdstuk 4:
• Voorwaardelijke kans 4.1. Toeval (Randomness)
• Regel van Bayes 4.2. Kansmodellen
• Stochastische variabelen 4.3. Stochastische Variabelen (Random Variables)
4.4 Verwachting en Variantie van stochastische variabelen
4.1 BEGRIPPEN BIJ KANSREKENING 4.5. Wetten van kansrekening
1. toevalsverschijnsel= Een fenomeen is toevallig indien de individuele gebeurtenissen (outcomes) onzeker zijn,
terwijl de uitkomsten op lange termijn wel regelmatig verdeeld zijn.
• Ondanks deze onzekerheid vertoont een toevalsverschijnsel over vele herhalingen een regelmatige verdeling
van uitkomsten. Dit betekent dat als we het experiment vele malen herhalen, de uitkomsten een voorspelbaar
patroon vertonen.
2. De kans van een uitkomst van een toeval verschijnsel is de proportie (%) van het aantal keer dat die uitkomst
zou voorkomen bij een zeer groot aantal herhalingen.
Over toeval
De uitkomst van het opgooien van een muntstuk is toevallig. Maar de uitkomst over vele herhalingen
hiervan is wel voorspelbaar, voor zover de pogingen onderling onafhankelijk zijn van elkaar (dwz dat het
resultaat van een nieuwe poging niet wordt beïnvloed door de uitkomst bij vorige poging.
4.2 KANSMODELLEN
Een kansmodel omvat een lijst van mogelijke uitkomsten en de waarschijnlijkheid (= kans) van elke mogelijke
uitkomst. Bij gelijke kansen (alle uitkomsten even waarschijnlijk) is de kans op
een uitkomst gelijk aan:
Uitkomstenruimte (Sample space*) S van een toeval verschijnsel is de verzameling van alle mogelijke uitkomsten
Gebeurtenis (event) = een uitkomst, of verzameling van uitkomsten van een toeval verschijnsel
Kansmodel is een beschrijving van toeval verschijnsel bestaande uit een uitkomstenruimte S en de
waarschijnlijkheid van elke uitkomst
*Sample space verwijst naar een aselecte steekproeftrekking waar elke uitkomst een steekproef is en S de verzameling van
alle mogelijke steekproeven.
4.2.1 Kansmodel ‘Dobbelstenen 1’
voorbeeld: Geef een kansmodel voor het
toevalsproces.
‘2 eerlijke dobbelstenen werpen (een oranje en
een blauwe). de verschillende mogelijke
manieren om de twee dobbelstenen te gooien. Er
zijn 36 mogelijke combinaties van de twee
dobbelstenen.
7
,4.2.2 Kansmodel “dobbelstenen 2”
Voorbeeld : geef een kansmodel voor het toevalsproces “totaal aantal ogen geworpen met 2 eerlijke dobbelst.”
In totaal 5 ogen, kan op verschillende manieren
gegooid worden (een 1 en een 4, een 3 en een
2, een 2 en een 3…). Er zijn 4 manieren om 5 te
gooien (4 kansen op 36).
De uitkomstenruimte S omvat 11
gebeurtenissen (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 en
12) MAAR sommige gebeurtenissen kunnen op
meerdere manieren ontstaan zodat de kansen
voor verschillende gebeurtenissen verschillen.
Er is 1 kans op 6 om 36 te gooien terwijl je maar
1 kans op 36 hebt om een 2 te gooien.
4.2.3 Toevalsproces “aantal ogen geworpen met 2 dobbels”
4.2.4 Dobbelsteen als model voor beoordelingen
Ik vind dat bewakers op de campus een
wapen zouden mogen dragen
• Indien er een vraag is met 6 antwoordalternatieven. Het random beantwoorden van dergelijke attitudevraag op
een 6- punten beoordelingsschaal door n deelnemers komt overeen met het n keer gooien van een dobbelsteen
en heeft dezelfde uitkomstenruimte.
• De (som)score van iemand die alle vragen van een bepaalde Likertschaal bestaande uit k dergelijke items
beantwoordt, kan worden gemodelleerd als ‘totaal aantal ogen geworpen met k dobbelstenen’.
4.3 WETTEN VAN DE KANSREKENING
4.3.1. Definitie van kans
4.3.2. Algemene optelregels
4.3.3. Basisregels voor kansen
4.3.4. Voorwaardelijke kans
4.3.5. Algemene productregels
4.3.6. Onafhankelijkheid
4.3.7. Regels voor kansrekening
4.3.8. Regel van Bayes
4.3.1 Definitie van kans
Kansen drukken de waarschijnlijkheid uit van uitkomsten of gebeurtenissen waarvan het resultaat nog niet
vastgeligt.
Bijv. At random een persoon in de ruimte selecteren. Iedereen heeft evenveel kans geselecteerd te worden.
De uitkomsternverzameling (Ω) zijn alle personen in de ruimte. Op deze ruimte kunnen we gebeurtenissen
definiëren die (verzameling van) uitkomsten zijn.
• A= de geselecteerde persoon heeft bruin haar
• B= de geselcteerde persoon heeft blauwe ogen.
8
, 4.3.1.1 Klassieke definitie van kans
Er zijn twee mogelijkheden om naar kansen te kijken:
• Simulatie vs. Theoretische Benadering: Kansen
kunnen worden benaderd door simulatie of
theoretische analyse.
Evenwichtige Uitkomsten: Bij evenwichtige uitkomsten is de kans op elke uitkomst gelijk.
Foute toepassing: Kans om een val van 200m hoogte te overleven:
A={overleven}
S={overleven ; dood}
4.3.1.2 Frequentiële definitie van kans
= Gebaseerd op Herhaalde Experimenten: De kans wordt bepaald door het aantal keren dat een gebeurtenis
optreedt in herhaalde experimenten.
Limietbenadering: Kans wordt berekend door het aantal optredens te delen door het totale
aantal experimenten bij oneindig herhaalde experimenten.
4.3.1.3 Venndiagrammen voor kansen
Representatie van Uitkomstenruimte (s): Uitkomstenruimte wordt vaak weergegeven als een rechthoek met
overlappende gebieden die verschillende gebeurtenissen vertegenwoordigen.
Belang van Overlappingen: Overlappingen vereisen zorgvuldige tellingen om dubbele tellingen te vermijden.
Bijv. De doorsnede: indien twee elementen overlappen, zitten hier van beide al elementen in vervat en loopt dit het
risico om dubbel opgenomen te worden.
2 DISJUNCTE (uitsluitend) gebeurtenissen 2 NIET-DISJUNCTE gebeurtenissen (gebeurtenis (A en
B) bestaat uit de gezamelijke uitkomsten:)
• Uitsluitende verzamelingen • Niet-uitsluitende verzamelingen
• De doorsnede is ledig (A⋂B • De doorsnede is niet ledig
≠ Ø) • 𝑃(A⋂B) > 0
• 𝑃(A⋂B) = 0
Somregel: Somregel:
𝑃(𝐴⋃𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) 𝑃(𝐴⋃𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴⋂𝐵)
4.3.2 Algemene optelregels
Optelregel voor Disjuncte gebeurtenissen
Als A, B en C disjuncte gebeurtenissen zijn in de zin dat ze geen
gemeenschappelijke uitkomsten hebben (lege doorsnede), dan geldt:
P (één of meerdere uitkomsten uit A, B, C)
= P(A) + P(B) + P(C)
Uitkomsten die dubbel worden get:eld door P(A)+P(B)
Optelregel voor de unie (vereniging) van 2 gebeurtenissen
voor 2 willekeurige gebeurtenissen A en B:
P(A of B) = P(A) + P(B) – P(A en B)
9
STATISTIEK II
AW
2023-2024
,1. INHOUDSOPGAVE
1. Inhoudsopgave ............................................................................................................................................ 1
0. BESCHRIJVENDE ⇿ INFERENTIËLE STATISTIEK ............................................................................................... 4
0.1 Steekproef geeft info over populatie .................................................................................................... 4
0.2 verzamelingen en combinatieleer ......................................................................................................... 4
0.2.1 Unie en doorsnede ...................................................................................................................................................... 4
0.2.2 Speciale situatie .......................................................................................................................................................... 4
0.2.3 Het verschil ................................................................................................................................................................. 4
0.2.4 Het compliment .......................................................................................................................................................... 5
0.2.5 Partitie ......................................................................................................................................................................... 5
0.3 Combinatieleer .................................................................................................................................... 5
0.3.1 Permutaties ................................................................................................................................................................. 5
0.3.2 Variaties ...................................................................................................................................................................... 5
0.3.3 Combinaties ................................................................................................................................................................ 6
0.4 Samenvattend ..................................................................................................................................... 6
0.4.1 Overzicht ..................................................................................................................................................................... 6
4. KANSREKENING ........................................................................................................................................... 7
4.1 Begrippen bij kansrekening .................................................................................................................. 7
4.2 Kansmodellen ...................................................................................................................................... 7
4.2.1 Kansmodel ‘Dobbelstenen 1’ ...................................................................................................................................... 7
4.2.2 Kansmodel “dobbelstenen 2” ..................................................................................................................................... 8
4.2.3 Toevalsproces “aantal ogen geworpen met 2 dobbels” ............................................................................................. 8
4.2.4 Dobbelsteen als model voor beoordelingen ............................................................................................................... 8
4.3 Wetten van de kansrekening ................................................................................................................ 8
4.3.1 Definitie van kans ........................................................................................................................................................ 8
4.3.2 Algemene optelregels ................................................................................................................................................. 9
4.3.3 Basisregels voor kansen ............................................................................................................................................ 10
4.3.4 Voorwaardelijke kansen ............................................................................................................................................ 10
4.3.5 Algemene productregels ........................................................................................................................................... 11
4.3.6 Stochastische onafhankelijkheid ............................................................................................................................... 12
4.3.7 Regels voor kansrekening ......................................................................................................................................... 13
4.3.8 Regel van Bayes......................................................................................................................................................... 15
4.4 Stochastische variabelen (toeval variabelen) (zelfstudie integralen) .................................................... 16
4.4.1 Stochastische variabele (toevalsvariabelen) ............................................................................................................. 16
4.4.2 Discrete stochastische variabelen ............................................................................................................................. 16
4.4.3 Continue stochastische variabelen ........................................................................................................................... 19
4.4.4 Normaalverdeling als kansverdelingen ..................................................................................................................... 20
4.5 Verwachting en variantie van stochastische variabelen ....................................................................... 20
4.5.1 Verwachting van een discrete stochastische variabele ............................................................................................ 20
4.5.2 Verwachting van een continue stochastische variabele (rekenregels integralen).................................................... 22
4.5.3 Variantie van een stochastische variabele ................................................................................................................ 23
4.5.4 Samenvattend Discrete en stochastische variabele.................................................................................................. 26
5. HOOFDSTUK 5: STEEKPROEVENVERDELINGEN............................................................................................. 27
5.1 Parameters en karakteristieke waarden ............................................................................................. 27
5.1.1 SteekproeVENverdelingen ........................................................................................................................................ 27
5.1.2 Theoretische steekproevenverdeling........................................................................................................................ 27
5.1.3 Empirische steekproevenverdeling (sampling distribution) ..................................................................................... 28
5.1.4 Trekking met teruglegging ........................................................................................................................................ 28
5.1.5 Trekking ZONDER teruglegging ................................................................................................................................. 28
5.2 Steekproevenverdelingen voor aantallen en proporties ...................................................................... 29
5.2.1 Binomiale verdelingen van steekproefaantallen ...................................................................................................... 29
5.2.2 Binomiale situatie schematisch ................................................................................................................................. 30
1
, 5.2.3 Binomiale kans .......................................................................................................................................................... 30
5.2.4 Binomiale verdeling in steekproeven in steekpreoven uit een “eindige” populatie ................................................ 31
5.2.5 Binomiale kansen bepalen ........................................................................................................................................ 32
5.2.6 Verwachting en standaarddeviatie van een binomiaal verdeling ............................................................................. 32
5.2.7 Steekproevenverdeling van steekproeffracties (% successen) ................................................................................. 33
5.2.8 Benadering van aantallen en fracties met normaalverdeling ................................................................................... 33
5.2.9 Normaalverdeling als benadering voor aantallen en proporties .............................................................................. 35
5.3 Steekproevenverdelingen van het steekproefgemiddelde ................................................................... 38
5.3.1 Verwachting en Standaard Deviatie van een steekproefgemiddelde ....................................................................... 38
5.3.2 Steekproevenverdeling van een steekproefgemiddelde .......................................................................................... 38
5.3.3 Centrale limietstelling ............................................................................................................................................... 39
6. HOOFDSTUK 6: INLEIDING TOT INFERENTIE ................................................................................................. 42
6.1 BETROUWBAARHEIDSchatten ............................................................................................................ 43
6.1.1 Voorwaarden voor inferenties over een gemiddelde (opzoeken ander handboek) ................................................. 43
6.1.2 Statistisch schatten ................................................................................................................................................... 43
6.1.3 Puntschatting ............................................................................................................................................................ 43
6.1.4 Betrouwbaarheidsinterval (BI) .................................................................................................................................. 48
6.1.5 Niveau C betrouwbaarheidsinterval voor µ (level c confidence interval for µ) ........................................................ 48
6.1.6 Rol v/d steekproefgrootte ......................................................................................................................................... 50
6.1.7 Samengevat: Populatieverdeling, steekproevenverdeling en betrouwbaarheidsinterval ........................................ 52
6.2 SIGNIFICANTIETOETSEN ..................................................................................................................... 53
6.2.1 Redenering bij significantietoetsen........................................................................................................................... 53
6.2.2 Hypothesen formuleren ............................................................................................................................................ 53
6.2.3 Toetsingsgrootheid (Test Statistic)............................................................................................................................ 54
6.2.4 Overschrijdingskans (p-waarde)................................................................................................................................ 54
6.2.5 Statistische significantie ............................................................................................................................................ 55
6.2.6 Toetsen voor een populatiegemiddelde µ0 ............................................................................................................... 56
6.2.7 Tweezijdige significantietoetsen en aanvaardingsintervallen .................................................................................. 58
6.3 Gebruik en misbruik van toetsen ........................................................................................................ 58
6.3.1 Gevaren met betrekking tot significantietoetsen ..................................................................................................... 58
6.3.2 Voorzichtig met significantie toetsen ....................................................................................................................... 59
7. Werkcolleges statistiek .............................................................................................................................. 60
7.1 Zelfstudie: Combinatieleer voorkennis ............................................................................................... 60
7.1.1 Variaties .................................................................................................................................................................... 60
7.1.2 Permutaties ............................................................................................................................................................... 60
7.1.3 Combinaties .............................................................................................................................................................. 60
7.2 WEEK 23: SOMREGEL EN BASISREGEL VOOR KANSEN .......................................................................... 62
7.2.1 Volgorde van bewerkingen ....................................................................................................................................... 62
7.2.2 Kansen: algemene definitie ....................................................................................................................................... 62
7.3 zelfstudie: Somregel & basisregels voor kansen .................................................................................. 62
7.3.1 Unie en doorsnede .................................................................................................................................................... 62
7.3.2 Disjuncte en niet-disjuncte verzamelingen ............................................................................................................... 62
7.4 Week 25: Voorwaardelijke kans, productregel en stochastische onafhankelijkheid .............................. 63
7.4.1 Voorwaardelijke kans ................................................................................................................................................ 63
7.4.2 Productregel voor 2 gebeurtenissen ......................................................................................................................... 63
7.4.3 Stochastische onafhankelijke bij twee gebeurtenissen ............................................................................................ 63
7.5 Week 26: Bayes en kansbomen .......................................................................................................... 64
7.5.1 De regel van Bayes .................................................................................................................................................... 64
7.5.2 Kansbomen bij stochastisch ONAFHANKELIJKE gebeurtenissen ............................................................................... 64
7.5.3 Kansbomen bij stochastisch afhankelijke gebeurtenissen ........................................................................................ 65
7.6 Week 28: Discrete stochastieken ........................................................................................................ 66
7.6.1 Voorbeeld.................................................................................................................................................................. 66
7.6.2 Regels voor verwachtingen ....................................................................................................................................... 66
7.6.3 Variantie van een discrete stochastiek ..................................................................................................................... 66
2
,7.7 Zelfstudie: Afgeleiden en integralen ................................................................................................... 68
7.7.1 Afgeleide van een functie ......................................................................................................................................... 68
7.7.2 Reken regels afgeleiden ............................................................................................................................................ 68
7.7.3 Integralen .................................................................................................................................................................. 68
7.7.4 Rekenregels integralen ............................................................................................................................................. 69
7.7.5 Bepaalde integralen .................................................................................................................................................. 69
7.8 Week 31: Continue stochastiek .......................................................................................................... 70
7.8.1 Continue stochastiek ................................................................................................................................................. 70
7.8.2 Variantie van een continue stochastiek .................................................................................................................... 71
7.8.3 Regels voor varianties ............................................................................................................................................... 72
7.9 Week 32: Binomiale verdeling en normaalverdeling bij binomiale verdelingen van aantallen ............... 73
7.9.1 Binomiale verdelingen: inleidende oefening ............................................................................................................ 73
7.9.2 Binomiaalverdeling van steekproefaantallen ........................................................................................................... 74
7.9.3 Normaalbenadering bij binomiale verdeling van aantallen ...................................................................................... 75
7.10 Week 33: Normaalverdeling: binomiale verdelingen van proporties & centrale limietstelling............... 76
7.10.1 Binomiale verdelingen van proporties. ................................................................................................................ 76
7.10.2 Centrale limietstelling .......................................................................................................................................... 76
7.11 Week 34: betrouwbaarheidsintervallen-Z-test .................................................................................... 78
7.11.1 Algemeen: inferentiemethoden ........................................................................................................................... 78
7.11.2 Betrouwbaarheidsinterval .................................................................................................................................... 78
7.11.3 Z-test .................................................................................................................................................................... 79
3
, 0. BESCHRIJVENDE ⇿ INFERENTIËLE STATISTIEK
Deductieve of Beschrijvende Statistiek:
• Doel = globale patronen en kenmerken ontdekken ahv
• kengetallen = karakteristieke waarden = beschrijvende maten Statistiek l
(gemiddelde, standaardafwijking, correlatiecoëfficiënt, etc.) MBS
• figuren (histogram, spreidingsdiagram, …)
Inductieve of Inferentiële statistiek:
• Verklarende statistiek, vergelijkt onderzoeksgegevens met wat
mogelijk is door TOEVAL, gebaseerd op kansrekening Statistiek ll
• Op basis van een beperkt aantal gegevens wordt getracht om algemene KIS
uitspraken te formuleren over de gehele populatie.
0.1 STEEKPROEF GEEFT INFO OVER POPULATIE
We vertrekken vanuit een populatie, waaruit een steekproef getrokken
wordt. Inductie (inductieve- en / of inferentiële statistiek) is het einddoel
van statistiek.
Statistische Vragen
De vraag die vaak gesteld wordt tijdens statistiek 2 is: ‘Hoe groot is de kans
dat in een toevallige steekproef van 10 studenten 1BA, zoveel meisjes zitten,
indien in de populatie de verdeling 50/50 is?’
Het doel is om situaties die we met onderzoek kunnen bekijken, te
vergelijken met toeval.
0.2 VERZAMELINGEN EN COMBINATIELEER
Verzameling:
Een verzameling A (een verzameling wordt voorgesteld met een hoofdletter) is een
groepering van n elementen a1, a2, … (elementen met een kleine letter).
• Notatie: A= (a1, a2, … an)
Deelverzameling: Opmerking:
Een verzameling B is een • Elke verzameling is een deelverzameling van zichzelf.
deelverzameling van A die elementen • De lege verzameling is een deelverzameling van elke verzameling:
a3 en an bevat ∅
• Notatie: B A
0.2.1 Unie en doorsnede
Er kunnen verzamelingen samengenomen worden, er wordt gekeken naar
alle objecten die minstens in 1 van de 2 verzamelingen zitten (=de unie)
(De kans op A en/of B= ofwel A, ofwel B, ofwel beide)
of we kunnen verzamelingen van elkaar aftrekken, de overlapping gaan
bepalen (=doorsnede).
(De kans op “A en B”)
0.2.2 Speciale situatie
Als de doorsnede A en B leeg is. D = A∩B = ∅
Dan bestaan de unie van A en B C = A∪B
Uit 2 delen:
0.2.3 Het verschil
De verzameling A wordt genomen en alles wat in verzameling B zit, wordt weggenomen
waardoor de doorsnede weg gaat uit A.
4
,0.2.4 Het compliment
F = niet (A)
= ~A of ¬A of A
Complement van een deelverzameling
Het complement van een deelverzameling B in A is (A \ B) (alles wat niet in het gele ellips
valt).
Voorbeeld: de dagen van de week
A zijn de werkdagen {werkdagen}
B zijn de weekenddagen {weekenddagen}
C zijn de weekdagen {weekdagen} (volledige verzameling).
D {dagen geschreven met 8 letters}
0.2.5 Partitie
Er zijn géén twee van de deelverzamelingen die
elkaar overlappen (de doorsnedes moeten leeg zijn). Uiteindelijk moet de volledige
oppervlakte v/d verzameling benut worden. De twee aan twee mogen geen overlap hebben, ze moeten disjunct zijn
(belangrijk bij een partitie). Als ze allemaal samen genomen worden, moet de volledige verzameling bekeken
worden.
• Het moet exhaustief zijn, uitputtend zijn, alle mogelijkheden moeten voorzien zijn.
0.3 COMBINATIELEER
Combinatieleer: ‘op hoeveel verschillende manieren kan je bepaalde dingen met elkaar combineren.’ Er zijn
verschillende situaties die beschreven kunnen worden, die becijferd moeten worden. Enkele belangrijke begrippen:
• Hoeveel codes van 4 cijfers kan men maken (herhalen mag) met 10 cijfers: 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 10000
• Permutaties: # volgorden (van ganse verzameling) met 10 cijfers (0-9), hoeveel codes van 10 verschillende cijfers
kan men maken? 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
• Variaties: # geordende deelverzamelingen. Hoeveel getallen van 3 verschillende cijfers. 10 x 9 x 8
• Combinaties: # deelverzamelingen met de 10 cijfers (0-9), hoeveel deelverzamelingen van 3 verschillende cijfers
kan men maken? (10 x 9 x 8) / (3 x 2)
0.3.1 Permutaties
Permutaties: het aantal volgorden van n verschillende objecten
(er wordt gekeken naar een verzameling en van die
verzamelingen worden alle mogelijke volgorden opgeschreven).
Het aantal permutaties van een verzameling van n elementen =
n! = n x (n-1) x (n-2) x … x 1
0.3.2 Variaties
Variaties is het aantal geordende deelverzamelingen. Het aantal geordende
deelverzamelingen van r elementen uit een verzameling n elementen, waarbij de
volgorde belangrijk is.
N x (n-1) x … x (n-r+1)
5
,Op hoeveel manieren kan men 2 kleuren uit 4 kiezen en ordenen?
Hoeveel verschillende geordende deelverzamelingen heeft A (rood, groen, blauw)
• #0 (lege verzameling)
• #1 (rood) (groen) (blauw)
• #2 (rood, groen) (rood, blauw) (groen, blauw) (groen, rood) (blauw, rood) (blauw,
groen)
• #3 (rood, groen, blauw) (rood, blauw, groen) (groen, rood, blauw) (groen, blauw, rood) (blauw, rood, groen)
(blauw, groen rood)
0.3.3 Combinaties
Het aantal combinaties van r elementen uit en verzameling van n elementen (waarbij de volgorde onbelangrijk is,
#deelverzamelingen).
#niet-geordende deelverzamelingen
Voorbeeld 1: 5 kiezen uit 8: alle volgorden van 8 objecten:8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x
1
• De volgrode v/d gekozen objecten: 5 x 4 x 3 x 2 x 1
• De volgorde niet-gekozen objecten: 3 x 2 x 1
Voorbeeld 2: Hoeveel verschillende (niet geordende)
deelverzamelingen heeft A (rood, groen, blauw)
• #0 (lege verzameling)
• #1 (rood) (groen) (blauw)
• #2 (rood, groen) (rood, blauw) (groen, blauw)
• #3 (rood, groen, blauw)
Enkele bijzondere gevallen:
0.4 SAMENVATTEND
Totaal aantal volgorde van alle n elementen = permutaties = n! = n x (n-1) x (n-2) x …. X1
Aantal geordende groepjes van r elementen gekozen uit n = variaties
Aantal groepjes van r elementen gekozen uit n = combinaties
0.4.1 Overzicht
n>r n=r
Volgorde belangrijk Variatie Permutatie
Volgorde niet belangrijk Combinatie triviaal
De Faculteit (!) van een natuurlijk getal= het product van dat getal en alle kleinere natuurlijke getallen (behalve 0)
0!=1
Toepassing:
6
,4. KANSREKENING
• Kansmodellen Hoofdstuk 4:
• Voorwaardelijke kans 4.1. Toeval (Randomness)
• Regel van Bayes 4.2. Kansmodellen
• Stochastische variabelen 4.3. Stochastische Variabelen (Random Variables)
4.4 Verwachting en Variantie van stochastische variabelen
4.1 BEGRIPPEN BIJ KANSREKENING 4.5. Wetten van kansrekening
1. toevalsverschijnsel= Een fenomeen is toevallig indien de individuele gebeurtenissen (outcomes) onzeker zijn,
terwijl de uitkomsten op lange termijn wel regelmatig verdeeld zijn.
• Ondanks deze onzekerheid vertoont een toevalsverschijnsel over vele herhalingen een regelmatige verdeling
van uitkomsten. Dit betekent dat als we het experiment vele malen herhalen, de uitkomsten een voorspelbaar
patroon vertonen.
2. De kans van een uitkomst van een toeval verschijnsel is de proportie (%) van het aantal keer dat die uitkomst
zou voorkomen bij een zeer groot aantal herhalingen.
Over toeval
De uitkomst van het opgooien van een muntstuk is toevallig. Maar de uitkomst over vele herhalingen
hiervan is wel voorspelbaar, voor zover de pogingen onderling onafhankelijk zijn van elkaar (dwz dat het
resultaat van een nieuwe poging niet wordt beïnvloed door de uitkomst bij vorige poging.
4.2 KANSMODELLEN
Een kansmodel omvat een lijst van mogelijke uitkomsten en de waarschijnlijkheid (= kans) van elke mogelijke
uitkomst. Bij gelijke kansen (alle uitkomsten even waarschijnlijk) is de kans op
een uitkomst gelijk aan:
Uitkomstenruimte (Sample space*) S van een toeval verschijnsel is de verzameling van alle mogelijke uitkomsten
Gebeurtenis (event) = een uitkomst, of verzameling van uitkomsten van een toeval verschijnsel
Kansmodel is een beschrijving van toeval verschijnsel bestaande uit een uitkomstenruimte S en de
waarschijnlijkheid van elke uitkomst
*Sample space verwijst naar een aselecte steekproeftrekking waar elke uitkomst een steekproef is en S de verzameling van
alle mogelijke steekproeven.
4.2.1 Kansmodel ‘Dobbelstenen 1’
voorbeeld: Geef een kansmodel voor het
toevalsproces.
‘2 eerlijke dobbelstenen werpen (een oranje en
een blauwe). de verschillende mogelijke
manieren om de twee dobbelstenen te gooien. Er
zijn 36 mogelijke combinaties van de twee
dobbelstenen.
7
,4.2.2 Kansmodel “dobbelstenen 2”
Voorbeeld : geef een kansmodel voor het toevalsproces “totaal aantal ogen geworpen met 2 eerlijke dobbelst.”
In totaal 5 ogen, kan op verschillende manieren
gegooid worden (een 1 en een 4, een 3 en een
2, een 2 en een 3…). Er zijn 4 manieren om 5 te
gooien (4 kansen op 36).
De uitkomstenruimte S omvat 11
gebeurtenissen (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 en
12) MAAR sommige gebeurtenissen kunnen op
meerdere manieren ontstaan zodat de kansen
voor verschillende gebeurtenissen verschillen.
Er is 1 kans op 6 om 36 te gooien terwijl je maar
1 kans op 36 hebt om een 2 te gooien.
4.2.3 Toevalsproces “aantal ogen geworpen met 2 dobbels”
4.2.4 Dobbelsteen als model voor beoordelingen
Ik vind dat bewakers op de campus een
wapen zouden mogen dragen
• Indien er een vraag is met 6 antwoordalternatieven. Het random beantwoorden van dergelijke attitudevraag op
een 6- punten beoordelingsschaal door n deelnemers komt overeen met het n keer gooien van een dobbelsteen
en heeft dezelfde uitkomstenruimte.
• De (som)score van iemand die alle vragen van een bepaalde Likertschaal bestaande uit k dergelijke items
beantwoordt, kan worden gemodelleerd als ‘totaal aantal ogen geworpen met k dobbelstenen’.
4.3 WETTEN VAN DE KANSREKENING
4.3.1. Definitie van kans
4.3.2. Algemene optelregels
4.3.3. Basisregels voor kansen
4.3.4. Voorwaardelijke kans
4.3.5. Algemene productregels
4.3.6. Onafhankelijkheid
4.3.7. Regels voor kansrekening
4.3.8. Regel van Bayes
4.3.1 Definitie van kans
Kansen drukken de waarschijnlijkheid uit van uitkomsten of gebeurtenissen waarvan het resultaat nog niet
vastgeligt.
Bijv. At random een persoon in de ruimte selecteren. Iedereen heeft evenveel kans geselecteerd te worden.
De uitkomsternverzameling (Ω) zijn alle personen in de ruimte. Op deze ruimte kunnen we gebeurtenissen
definiëren die (verzameling van) uitkomsten zijn.
• A= de geselecteerde persoon heeft bruin haar
• B= de geselcteerde persoon heeft blauwe ogen.
8
, 4.3.1.1 Klassieke definitie van kans
Er zijn twee mogelijkheden om naar kansen te kijken:
• Simulatie vs. Theoretische Benadering: Kansen
kunnen worden benaderd door simulatie of
theoretische analyse.
Evenwichtige Uitkomsten: Bij evenwichtige uitkomsten is de kans op elke uitkomst gelijk.
Foute toepassing: Kans om een val van 200m hoogte te overleven:
A={overleven}
S={overleven ; dood}
4.3.1.2 Frequentiële definitie van kans
= Gebaseerd op Herhaalde Experimenten: De kans wordt bepaald door het aantal keren dat een gebeurtenis
optreedt in herhaalde experimenten.
Limietbenadering: Kans wordt berekend door het aantal optredens te delen door het totale
aantal experimenten bij oneindig herhaalde experimenten.
4.3.1.3 Venndiagrammen voor kansen
Representatie van Uitkomstenruimte (s): Uitkomstenruimte wordt vaak weergegeven als een rechthoek met
overlappende gebieden die verschillende gebeurtenissen vertegenwoordigen.
Belang van Overlappingen: Overlappingen vereisen zorgvuldige tellingen om dubbele tellingen te vermijden.
Bijv. De doorsnede: indien twee elementen overlappen, zitten hier van beide al elementen in vervat en loopt dit het
risico om dubbel opgenomen te worden.
2 DISJUNCTE (uitsluitend) gebeurtenissen 2 NIET-DISJUNCTE gebeurtenissen (gebeurtenis (A en
B) bestaat uit de gezamelijke uitkomsten:)
• Uitsluitende verzamelingen • Niet-uitsluitende verzamelingen
• De doorsnede is ledig (A⋂B • De doorsnede is niet ledig
≠ Ø) • 𝑃(A⋂B) > 0
• 𝑃(A⋂B) = 0
Somregel: Somregel:
𝑃(𝐴⋃𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) 𝑃(𝐴⋃𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴⋂𝐵)
4.3.2 Algemene optelregels
Optelregel voor Disjuncte gebeurtenissen
Als A, B en C disjuncte gebeurtenissen zijn in de zin dat ze geen
gemeenschappelijke uitkomsten hebben (lege doorsnede), dan geldt:
P (één of meerdere uitkomsten uit A, B, C)
= P(A) + P(B) + P(C)
Uitkomsten die dubbel worden get:eld door P(A)+P(B)
Optelregel voor de unie (vereniging) van 2 gebeurtenissen
voor 2 willekeurige gebeurtenissen A en B:
P(A of B) = P(A) + P(B) – P(A en B)
9
