Samenvatting Statistiek 2 UGent

Samenvatting Statistiek II (A)


Statistiek II (A)
H1: Puntschatters
• Een schatter θˆ voor een populatieparameter θ is zuiver als E (θˆ) = θ , zoniet is het een
vertekende schatter. De maat van onzuiverheid = vertekening (bias) = B (θˆ) = E (θˆ) − θ
• Relatieve efficiëntie voor zuivere schatters
Var θˆ1   < 1 ⇒ θˆ1 efficiënter dan θˆ2

Var θˆ2   > 1 ⇒ θˆ2 efficiënter dan θˆ1

• MSE (Mean Squared Error)
2
MSE (θˆ) = E (θˆ − θ )2  = Var θˆ  + B (θˆ) 
→ relatieve efficiëntie onzuivere schatters
MSE θˆ1   < 1 ⇒ θˆ1 efficiënter dan θˆ2

MSE θˆ2   > 1 ⇒ θˆ2 efficiënter dan θˆ1

• Momentenschatter
Populatiemomenten µk : µk = E  X k 
1 n k
Steekproefmomenten µ̂k : µˆ k = ∑ X i
n i =1
• Meest aannemelijke schatter
L(θ ) = product van de respectieve kansdichtheden = f ( x1 ;θ ) ⋅ f ( x 2 ;θ ) ⋅⋅⋅ f ( x n ;θ )
→ Meest aannemelijke schatter θˆ = waarde voor θ die L(θ ) maximaliseert
ℓ (θ ) = ln ( L (θ ) )




1/18

,Samenvatting Statistiek II (A)


H2: Betrouwbaarheidsintervallen
1) BI voor populatiegemiddelde
• Normaal verdeeld en variantie gekend
 σ σ 
Tweezijdig: P  X − z1−α 2
µ
X + z1−α 2  = 1− α
 n n
→ 100(1-α)% BI
 σ σ  σ
 X − z1−α 2 ; X + z1−α 2  met breedte: 2 ⋅ z1−α 2
 n n n


X −µ   σ 
Eenzijdig: P 
z1−α  = P  µ  X − z1−α  = 1− α
σ n   n

→ 100(1-α)% BI
 σ 
 X − z1−α ; +∞ 
 n 


 X −µ  σ 
Of P  − z1−α
 = P  µ
X + z1−α  = 1− α
 σ n  n

→ 100(1-α)% BI
 σ 
 −∞; X + z1−α 
 n
• Normaal verdeeld en variantie ongekend
2

σ 2 schatten met S 2 =
1 n
(
∑ Xi − X
n − 1 i =1
)
X −µ
⇒ maar ∼ N (0,1), wel ∼ t n −1
S n

 X −µ 
P t n −1,α 2

t n −1,1−α 2  = 1 − α
 S n 
= −tn −1,1−α 2
→ 100(1-α)% BI
 S S   S   S 
 X − t n −1,1−α 2 ; X + t n −1,1−α 2   −∞; X + t n −1,1−α 2  of  X − t n −1,1−α 2 ; +∞ 
 n n  n  n 




2/18

, Samenvatting Statistiek II (A)


2) BI voor verschil in populatiegemiddelden
• Onafhankelijk, Normaal verdeeld en varianties gekend

(X 1 )
− X 2 − ( µ1 − µ2 )
∼ N (0,1)
σ 12 σ 22
+
n1 n2

→ 100(1-α)% BI
 σ2 σ2 σ2 σ2 
 X 1 − X 2 − z1−α 2 1 + 2 ; X 1 − X 2 + z1−α 2 1 + 2 
 n1 n2 n1 n2 

• Onafhankelijk, Normaal verdeeld en varianties ongekend maar gelijk

(X 1 )
− X 2 − ( µ1 − µ2 )
∼ t n1 + n2 −2 met S =
2 (n1 − 1)S12 + (n2 − 1)S22
n1 + n2 − 2
p
1 1
SP +
n1 n2

→ 100(1-α)% BI
 1 1 1 1
 X 1 − X 2 − t n1 + n2 − 2,1−α 2SP + ; X 1 − X 2 + t n1 + n2 − 2,1−α 2SP + 
 n1 n2 n1 n2 

• Onafhankelijk, Normaal verdeeld en varianties ongekend en verschillend
2
 S12 S22 
 + 
(X 1 )
− X 2 − ( µ1 − µ2 )
∼ tν met ν =  n1 n2  (Welch benadering)
( 1 1) + ( 2 2 )
2 2
S12 S22 S 2
n S 2
n
+
n1 n2 n1 − 1 n2 − 1
→ 100(1-α)% BI
 S12 S22 S12 S22 
 X 1 − X 2 − tν ,1−α 2 + ; X 1 − X 2 + tν ,1−α 2 + 
 n1 n2 n1 n2 

• Gepaarde waarnemingen, Normaal verdeeld
Nieuwe kansvariabele D = X 1 − X 2

Var [D ] = Var [ X 1 ] + Var [ X 2 ] − 2Cov [ X 1 , X 2 ] = σ 12 + σ 22 − 2σ 12

D − ( µ1 − µ2 )
⇒ ∼ t n −1
SD n




3/18