Copyright © 2019 Colin Hamilton
Samenvatting wiskunde integreren
Behandelde hoofdstukken: 13 deel A en 9 van deel B.
Auteur samenvatting: Colin Hamilton.
Plaats en datum: Rotterdam 10-07-2019.
Info:
Deze samenvatting is gebaseerd op de kennis uit onderstaande boeken. De informatie in deze
samenvatting kan zonder dit boek of met andere boeken gebruikt worden. In deze samenvatting zijn
hoofdstuk 13 van deel A en Hoofdstuk 9 van deel B behandeld.
Bronvermelding
Titel: Wiskunde voor hoger onderwijs Deel A en B
Druk: Deel A 2e druk
Deel B 8ste druk
Auteur: Sieb Kemme, Wim Groen, Thep van Pelt, Jacques Timmers, Gooitzen Zwanenburg,
C Caroline Koolen en Jan Walter
Uitgever: Noordhoff Uitgevers Groningen/Utrecht
ISBN (boek): Deel A 978-90-01-88808-4
Deel B 978-90-01-76440-1
, Copyright © 2019 Colin Hamilton
Inhoud
Introductie: ................................................................................................................................................... 3
H13. Integreren (DEEL A) .............................................................................................................................. 3
13.1 Oppervlakte....................................................................................................................................... 3
H9 Primitieveren (DEEL B) ............................................................................................................................. 4
9.1 Rekenregels en standaardintegralen .................................................................................................. 4
9.2 De substitutie methode ...................................................................................................................... 5
9.3 Partiële integratie .............................................................................................................................. 6
9.4 Gebroken functies 1 ............................................................................................................................ 7
Onthoud ........................................................................................................................................................ 8
, Copyright © 2019 Colin Hamilton
Introductie:
Integralen worden gebruikt voor het berekenen van totalen, zoals de totale oppervlakte onder een
grafiek, de totale verandering van een gegeven grootheid als voor elk moment de verandering per
tijdseenheid gegeven is of het berekenen van de massa van een voorwerp als de dichtheid op elk punt
gegeven is.
H13. Integreren (DEEL A)
13.1 Oppervlakte
• Primitieveren is het omgekeerde van de afgeleide (wat je doet bij differentiëren).
o Primitief wordt aangegeven met een hoofdletter.
▪ Voorbeeld: 𝐹 = ⋯
• Er zijn 3 soorten standaard primitieve functies namelijk:
1
o Wanneer 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛 dan is de primitieve 𝐹(𝑥) = 𝑛+1 𝑥 𝑛+1
▪ Je doet de macht +1
▪ En dan het getal voor de 𝑥 delen door de nieuwe macht.
1
▪ Voorbeeld: 𝑥 3 geeft 4 ∙ 𝑥 4
o Wanneer 𝑓(𝑥) = 𝑎 dan is de primitieve 𝐹(𝑥) = 𝑎 ∙ 𝑥 + 𝑐
▪ Voorbeeld: 𝑓(𝑥) = 10 wordt 𝐹(𝑥) = 10 ∙ 𝑥 + 𝑐
o Wanneer 𝑓(𝑥) = 0 dan is de primitieve 𝐹(𝑥) = 𝑐
▪ Voorbeeld: 𝑓(𝑥) = 1 wordt 𝐹(𝑥) = 𝑥
▪ Je kunt ook wel zeggen altijd +𝑐 NIET VERGETEN!
• Om van een primitieve functie naar een normale functie te gaan kan dit door te differentiëren.
• Om de oppervlakte onder een bepaald gebied in een grafiek uit te rekenen doe je het volgende:
o Het bepaalde integraal van functie 𝑓 op interval [𝑎, 𝑏] ziet er als volgt uit:
o Formule: 𝑓 = 10 − 𝑥 2
o Je wilt het oppervlakte tussen −2 ≤ 𝑥 ≤ 2 weten.
▪ Eerst de formule opstellen
2
• ∫−2(10 − 𝑥 2 )𝑑𝑥
• Je maakt hier gebruik van de standaard integraal
𝒃
• ∫𝒂 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
o Waar 𝑎 = begin van interval
o Waar 𝑏 = eind van interval
o Waar 𝑓(𝑥) de functie aangeeft
o Waar 𝑑𝑥 aangeeft dat je de integraal neemt van 𝑥
▪ Nu primitieveren
𝑥3
• 𝑑𝑥 = [10𝑥 − 3
+ 𝑐]
▪ Nu -2 en 2 invullen om de oppervlakte uit te kunnen rekenen
• Formule = (𝑑𝑥 𝑏) − (𝑑𝑥 𝑎)
• Geeft:
52 52 52 52 104
o 3
− (− 3
) = 3
+ 3 = 3
Samenvatting wiskunde integreren
Behandelde hoofdstukken: 13 deel A en 9 van deel B.
Auteur samenvatting: Colin Hamilton.
Plaats en datum: Rotterdam 10-07-2019.
Info:
Deze samenvatting is gebaseerd op de kennis uit onderstaande boeken. De informatie in deze
samenvatting kan zonder dit boek of met andere boeken gebruikt worden. In deze samenvatting zijn
hoofdstuk 13 van deel A en Hoofdstuk 9 van deel B behandeld.
Bronvermelding
Titel: Wiskunde voor hoger onderwijs Deel A en B
Druk: Deel A 2e druk
Deel B 8ste druk
Auteur: Sieb Kemme, Wim Groen, Thep van Pelt, Jacques Timmers, Gooitzen Zwanenburg,
C Caroline Koolen en Jan Walter
Uitgever: Noordhoff Uitgevers Groningen/Utrecht
ISBN (boek): Deel A 978-90-01-88808-4
Deel B 978-90-01-76440-1
, Copyright © 2019 Colin Hamilton
Inhoud
Introductie: ................................................................................................................................................... 3
H13. Integreren (DEEL A) .............................................................................................................................. 3
13.1 Oppervlakte....................................................................................................................................... 3
H9 Primitieveren (DEEL B) ............................................................................................................................. 4
9.1 Rekenregels en standaardintegralen .................................................................................................. 4
9.2 De substitutie methode ...................................................................................................................... 5
9.3 Partiële integratie .............................................................................................................................. 6
9.4 Gebroken functies 1 ............................................................................................................................ 7
Onthoud ........................................................................................................................................................ 8
, Copyright © 2019 Colin Hamilton
Introductie:
Integralen worden gebruikt voor het berekenen van totalen, zoals de totale oppervlakte onder een
grafiek, de totale verandering van een gegeven grootheid als voor elk moment de verandering per
tijdseenheid gegeven is of het berekenen van de massa van een voorwerp als de dichtheid op elk punt
gegeven is.
H13. Integreren (DEEL A)
13.1 Oppervlakte
• Primitieveren is het omgekeerde van de afgeleide (wat je doet bij differentiëren).
o Primitief wordt aangegeven met een hoofdletter.
▪ Voorbeeld: 𝐹 = ⋯
• Er zijn 3 soorten standaard primitieve functies namelijk:
1
o Wanneer 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛 dan is de primitieve 𝐹(𝑥) = 𝑛+1 𝑥 𝑛+1
▪ Je doet de macht +1
▪ En dan het getal voor de 𝑥 delen door de nieuwe macht.
1
▪ Voorbeeld: 𝑥 3 geeft 4 ∙ 𝑥 4
o Wanneer 𝑓(𝑥) = 𝑎 dan is de primitieve 𝐹(𝑥) = 𝑎 ∙ 𝑥 + 𝑐
▪ Voorbeeld: 𝑓(𝑥) = 10 wordt 𝐹(𝑥) = 10 ∙ 𝑥 + 𝑐
o Wanneer 𝑓(𝑥) = 0 dan is de primitieve 𝐹(𝑥) = 𝑐
▪ Voorbeeld: 𝑓(𝑥) = 1 wordt 𝐹(𝑥) = 𝑥
▪ Je kunt ook wel zeggen altijd +𝑐 NIET VERGETEN!
• Om van een primitieve functie naar een normale functie te gaan kan dit door te differentiëren.
• Om de oppervlakte onder een bepaald gebied in een grafiek uit te rekenen doe je het volgende:
o Het bepaalde integraal van functie 𝑓 op interval [𝑎, 𝑏] ziet er als volgt uit:
o Formule: 𝑓 = 10 − 𝑥 2
o Je wilt het oppervlakte tussen −2 ≤ 𝑥 ≤ 2 weten.
▪ Eerst de formule opstellen
2
• ∫−2(10 − 𝑥 2 )𝑑𝑥
• Je maakt hier gebruik van de standaard integraal
𝒃
• ∫𝒂 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
o Waar 𝑎 = begin van interval
o Waar 𝑏 = eind van interval
o Waar 𝑓(𝑥) de functie aangeeft
o Waar 𝑑𝑥 aangeeft dat je de integraal neemt van 𝑥
▪ Nu primitieveren
𝑥3
• 𝑑𝑥 = [10𝑥 − 3
+ 𝑐]
▪ Nu -2 en 2 invullen om de oppervlakte uit te kunnen rekenen
• Formule = (𝑑𝑥 𝑏) − (𝑑𝑥 𝑎)
• Geeft:
52 52 52 52 104
o 3
− (− 3
) = 3
+ 3 = 3
