Die natürlichen Zahlen werden über die Peano-Axiome definiert. Diese Axiome legen fest,
dass die Menge der natürlichen Zahlen mit der Zahl 00 beginnt und für jede natürliche Zahl
nn einen eindeutigen Nachfolger S(n)S(n) hat. Dieser Nachfolger ist ebenfalls eine
natürliche Zahl. Das Peano-Axiom gewährleistet, dass wir kontinuierlich zählen können, ohne
zu einem Punkt zurückzukehren, den wir bereits gezählt haben. Die Zahl 00 hat keinen
Vorgänger. Die Definition erlaubt es uns, mathematische Operationen auf den natürlichen
Zahlen auszuführen und ihre Größe zu vergleichen.
Satz 1.1.3 besagt, dass jede natürliche Zahl außer 0 einen eindeutigen Vorgänger hat. Dies
wird durch die Menge TT veranschaulicht, die alle natürlichen Zahlen außer 0 und ihre
Nachfolger enthält. Der Satz zeigt, dass jede natürliche Zahl, die nicht 0 ist, in dieser Menge
enthalten ist. Somit hat jede nicht-nulle natürliche Zahl einen Vorgänger.
Um sicherzustellen, dass keine natürliche Zahl ihr eigener Nachfolger ist, wird Satz 1.1.4
verwendet. Dieser besagt, dass für jede natürliche Zahl nn ihr Nachfolger S(n)S(n) ungleich
nn ist. Der Beweis zeigt, dass die Menge TT alle natürlichen Zahlen enthält, für die ihr
Nachfolger nicht sie selbst ist. Da TT die Menge aller natürlichen Zahlen ist, folgt daraus,
dass keine natürliche Zahl ihr eigener Nachfolger ist.
Mit diesen Sätzen haben wir die grundlegenden Eigenschaften der natürlichen Zahlen
festgestellt, die wir für das Zählen und die mathematische Manipulation benötigen. Im
nächsten Abschnitt werden wir untersuchen, wie wir natürliche Zahlen effizient darstellen
können.
Das Prinzip der vollständigen Induktion basiert auf Axiom (P5) und ermöglicht es uns,
Aussagen für alle natürlichen Zahlen zu zeigen. Es besagt, dass wenn eine Aussage für eine
bestimmte natürliche Zahl n0n0 gilt und die Gültigkeit der Aussage für eine beliebige
natürliche Zahl nn impliziert, dass sie auch für den Nachfolger S(n)S(n) gilt, dann gilt die
Aussage für alle natürlichen Zahlen ab n0n0.
Für die Beweise vieler Aussagen über natürliche Zahlen verwenden wir häufig das Prinzip der
vollständigen Induktion. Dabei verweisen wir oft nicht explizit auf Axiom (P5), sondern
zeigen die Gültigkeit der Aussage durch vollständige Induktion.
, Die vollständige Induktion ist ein mächtiges Werkzeug, um Aussagen über natürliche Zahlen
zu beweisen. Es ermöglicht uns, eine breite Palette von Aussagen und Formeln über
natürliche Zahlen zu zeigen. Um jedoch weiterführende Aussagen zu beweisen, benötigen wir
Rechenoperationen auf den natürlichen Zahlen, die wir im nächsten Abschnitt einführen
werden.
Zunächst setzen wir n⋅0=0n⋅0=0 und dann n⋅S(m)=n⋅m+nn⋅S(m)=n⋅m+n für alle
m,n∈Nm,n∈N. Diese Verknüpfung wird als Multiplikation bezeichnet, und wir verwenden
oft die Notation nmnm.
In Beispiel 1.4.4 betrachten wir n=2n=2 und m=3m=3. Um 2⋅32⋅3 zu berechnen,
verwenden wir die rekursive Definition: 2⋅3=2⋅S(2)=2⋅2+22⋅3=2⋅S(2)=2⋅2+2. Weiter
führen wir die Berechnung fort: 2⋅2=2⋅S(1)=2⋅1+22⋅2=2⋅S(1)=2⋅1+2 und
2⋅1=2⋅S(0)=2⋅0+22⋅1=2⋅S(0)=2⋅0+2. Gemäß der Definition ist 2⋅0=02⋅0=0, also
2⋅1=0+22⋅1=0+2, was 2⋅1=22⋅1=2 ergibt. Dann haben wir
2⋅2=2⋅1+2=2+2=42⋅2=2⋅1+2=2+2=4 und schließlich
2⋅3=2⋅2+2=4+2=62⋅3=2⋅2+2=4+2=6. Zusammenfassend bedeutet
2⋅3=2⋅2+2=2⋅1+2+2=2+2+22⋅3=2⋅2+2=2⋅1+2+2=2+2+2, was darauf hindeutet,
dass Multiplikation wiederholte Addition ist.
In Bezug auf die Bemerkung 1.4.5 können wir das Malzeichen ⋅⋅ weglassen, wenn
mindestens eine der Zahlen mm und nn eine Variable ist. Wenn beide Zahlen konkrete
Werte haben, wie n=2n=2 und m=3m=3, schreiben wir nicht 2323 für 2⋅32⋅3, da diese
Schreibweise bereits für die Dezimaldarstellung belegt ist.
Wir haben nun zwei der grundlegenden Rechenoperationen für natürliche Zahlen definiert. In
Kapitel 2 bzw. 3 werden wir weitere Rechenarten kennenlernen, die uns in andere
Zahlensysteme führen können. Nun werden wir uns mit bekannten Rechengesetzen vertraut
machen, wie der Kommutativität, die in diesem Zusammenhang nicht offensichtlich ist und
daher diskutiert werden muss.
dass die Menge der natürlichen Zahlen mit der Zahl 00 beginnt und für jede natürliche Zahl
nn einen eindeutigen Nachfolger S(n)S(n) hat. Dieser Nachfolger ist ebenfalls eine
natürliche Zahl. Das Peano-Axiom gewährleistet, dass wir kontinuierlich zählen können, ohne
zu einem Punkt zurückzukehren, den wir bereits gezählt haben. Die Zahl 00 hat keinen
Vorgänger. Die Definition erlaubt es uns, mathematische Operationen auf den natürlichen
Zahlen auszuführen und ihre Größe zu vergleichen.
Satz 1.1.3 besagt, dass jede natürliche Zahl außer 0 einen eindeutigen Vorgänger hat. Dies
wird durch die Menge TT veranschaulicht, die alle natürlichen Zahlen außer 0 und ihre
Nachfolger enthält. Der Satz zeigt, dass jede natürliche Zahl, die nicht 0 ist, in dieser Menge
enthalten ist. Somit hat jede nicht-nulle natürliche Zahl einen Vorgänger.
Um sicherzustellen, dass keine natürliche Zahl ihr eigener Nachfolger ist, wird Satz 1.1.4
verwendet. Dieser besagt, dass für jede natürliche Zahl nn ihr Nachfolger S(n)S(n) ungleich
nn ist. Der Beweis zeigt, dass die Menge TT alle natürlichen Zahlen enthält, für die ihr
Nachfolger nicht sie selbst ist. Da TT die Menge aller natürlichen Zahlen ist, folgt daraus,
dass keine natürliche Zahl ihr eigener Nachfolger ist.
Mit diesen Sätzen haben wir die grundlegenden Eigenschaften der natürlichen Zahlen
festgestellt, die wir für das Zählen und die mathematische Manipulation benötigen. Im
nächsten Abschnitt werden wir untersuchen, wie wir natürliche Zahlen effizient darstellen
können.
Das Prinzip der vollständigen Induktion basiert auf Axiom (P5) und ermöglicht es uns,
Aussagen für alle natürlichen Zahlen zu zeigen. Es besagt, dass wenn eine Aussage für eine
bestimmte natürliche Zahl n0n0 gilt und die Gültigkeit der Aussage für eine beliebige
natürliche Zahl nn impliziert, dass sie auch für den Nachfolger S(n)S(n) gilt, dann gilt die
Aussage für alle natürlichen Zahlen ab n0n0.
Für die Beweise vieler Aussagen über natürliche Zahlen verwenden wir häufig das Prinzip der
vollständigen Induktion. Dabei verweisen wir oft nicht explizit auf Axiom (P5), sondern
zeigen die Gültigkeit der Aussage durch vollständige Induktion.
, Die vollständige Induktion ist ein mächtiges Werkzeug, um Aussagen über natürliche Zahlen
zu beweisen. Es ermöglicht uns, eine breite Palette von Aussagen und Formeln über
natürliche Zahlen zu zeigen. Um jedoch weiterführende Aussagen zu beweisen, benötigen wir
Rechenoperationen auf den natürlichen Zahlen, die wir im nächsten Abschnitt einführen
werden.
Zunächst setzen wir n⋅0=0n⋅0=0 und dann n⋅S(m)=n⋅m+nn⋅S(m)=n⋅m+n für alle
m,n∈Nm,n∈N. Diese Verknüpfung wird als Multiplikation bezeichnet, und wir verwenden
oft die Notation nmnm.
In Beispiel 1.4.4 betrachten wir n=2n=2 und m=3m=3. Um 2⋅32⋅3 zu berechnen,
verwenden wir die rekursive Definition: 2⋅3=2⋅S(2)=2⋅2+22⋅3=2⋅S(2)=2⋅2+2. Weiter
führen wir die Berechnung fort: 2⋅2=2⋅S(1)=2⋅1+22⋅2=2⋅S(1)=2⋅1+2 und
2⋅1=2⋅S(0)=2⋅0+22⋅1=2⋅S(0)=2⋅0+2. Gemäß der Definition ist 2⋅0=02⋅0=0, also
2⋅1=0+22⋅1=0+2, was 2⋅1=22⋅1=2 ergibt. Dann haben wir
2⋅2=2⋅1+2=2+2=42⋅2=2⋅1+2=2+2=4 und schließlich
2⋅3=2⋅2+2=4+2=62⋅3=2⋅2+2=4+2=6. Zusammenfassend bedeutet
2⋅3=2⋅2+2=2⋅1+2+2=2+2+22⋅3=2⋅2+2=2⋅1+2+2=2+2+2, was darauf hindeutet,
dass Multiplikation wiederholte Addition ist.
In Bezug auf die Bemerkung 1.4.5 können wir das Malzeichen ⋅⋅ weglassen, wenn
mindestens eine der Zahlen mm und nn eine Variable ist. Wenn beide Zahlen konkrete
Werte haben, wie n=2n=2 und m=3m=3, schreiben wir nicht 2323 für 2⋅32⋅3, da diese
Schreibweise bereits für die Dezimaldarstellung belegt ist.
Wir haben nun zwei der grundlegenden Rechenoperationen für natürliche Zahlen definiert. In
Kapitel 2 bzw. 3 werden wir weitere Rechenarten kennenlernen, die uns in andere
Zahlensysteme führen können. Nun werden wir uns mit bekannten Rechengesetzen vertraut
machen, wie der Kommutativität, die in diesem Zusammenhang nicht offensichtlich ist und
daher diskutiert werden muss.
