Hoofdstuk 19
Vectoranalyse
Alles komt samen in dit hoofdstuk
Laatste soort functie: vectorveld: meerdere inputs, meerdere outputs = 𝐹⃗ (x,y,..)
Lijnintegralen over scalair veld
Scalair veld = waar we altijd mee gewerkt hebben vectorveld
Zullen beide andere integralen hebben
Lijnintegraal over een scalair veld
= om oppervlak onder een oppervlak te berekenen tussen C en C geprojecteerd op f
▪ Geparameteriseerd door de booglengte s met f(ci) de hoogte gegeven door de oppervlakte
▪ De lijnintegraal langsheen C van f (oppervlak)
▪ Moest de kromme C gesloten zijn gebruiken we een kringintegraal ∮;
Manier om de lijnintegraal te evalueren:
▪ Kromme C = 𝒓 ⃗⃗(𝒕) = (𝒈(𝒕), 𝒉(𝒕)) → dus kromme parameteriseren en in f invullen
▪ ds = ‖𝒓
⃗⃗′ (𝒕)‖𝒅𝒕
Bereken de oppervlakte onder f(x,y) en boven C
Parameteriseer C in 𝑟⃗(𝑡) = (𝑔(𝑡), ℎ(𝑡))
o Kies bv voor C: y = x² g(t) = x = t en h(t) = y = t² → 𝑟⃗(𝑡) = (t, t²)
o Beperking ook meerekenen + belangrijk voor hoe de kromme doorlopen moet worden
Bereken de snelheidsfunctie 𝑟⃗′(𝑡)
Invullen in bovenstaande formule f(g(t),h(t)) = f geëvalueerd langs het pad C op f dat erop
geprojecteerd wordt met x = g(t) en y = h(t)
!!opletten voor de grenzen, er wordt naar t geïntegreerd: dt, dus grenzen in functie van t, is afhankelijk
van de parameterisering dus afvragen wat waren de grenzen in x (of y) en x = ___
Indien bij parameterisatie + en – uitgekomen → integraal opsplitsen
Als de kromme C een knikpunt vertoond zal je twee parameterisaties nodig hebben: C = C1 en C2
Zorgt ervoor dat de kromme niet glad is → niet afleidbaar daar
Integratie interval in stukken opdelen
De parabool en rechte apart parameteriseren 𝒓 ⃗⃗(𝒕) + integralen opstellen
Massamiddelpunt van een dunne draad via lijnintegraal
, f(s) vervangen door dichtheidsfunctie
Vectorvelden
= kent aan elk punt in de ruimte een vector toe: meerdere inputs (x,y,…) en meerdere outputs: component
functies M en N
In elk punt van het vlak krijg je een vector Volgende zaken niet door elkaar slaan
▪ f(x) een variabele
▪ f(x,y) 2 of meerdere variabelen
▪ ⃗⃗(𝒕)
𝒓 vectorfunctie
Wordt gebruikt in weerbericht en stroming van rivier ▪ ⃗𝑭⃗(𝒙) Vectorveld met n-tal inputs
Geeft vector in punt: richting en grootte ▪ ⃗𝑭⃗(𝒙, 𝒚) Vectorveld in het vlak (2 inputs)
Del-operator
⃗∇⃗ = de nabla met een pijl boven = vector van de partieel afgeleiden
▪ Scalaire vermenigvuldiging met kleine f (meerdere inputs, 1 output)
o Gradiënt = steilste weg omhoog = vector van de partieel afgeleiden
▪ Scalair product met vectorveld
o Divergentie van het vectorveld = div𝑭 ⃗⃗
= maat voor de samendrukbaarheid van het vectorveld
o Kan kijken of er bv in een punt van rivier meer water toekomt dan weggaat (doos erover zetten)
▪ Positief = meer weg dan toekomt = bronnetje, explosie
▪ Negatief = meer komt toe dan weggaat = zinkgat
▪ 0 = evenveel in als uit
▪ Vectoriëel product met vectorveld
o ⃗⃗ = curl𝑭
Rotatie van het vectorveld = rot𝑭 ⃗⃗
= snelheid waarmee het vectorveld van richting veranderd
o Kan het voorstellen door bv in een rivier een schoepenwiel te plaatsen in een punt
▪ Positief = tegenwijzerzin
▪ Negatief = wijzerzin
Vectoranalyse
Alles komt samen in dit hoofdstuk
Laatste soort functie: vectorveld: meerdere inputs, meerdere outputs = 𝐹⃗ (x,y,..)
Lijnintegralen over scalair veld
Scalair veld = waar we altijd mee gewerkt hebben vectorveld
Zullen beide andere integralen hebben
Lijnintegraal over een scalair veld
= om oppervlak onder een oppervlak te berekenen tussen C en C geprojecteerd op f
▪ Geparameteriseerd door de booglengte s met f(ci) de hoogte gegeven door de oppervlakte
▪ De lijnintegraal langsheen C van f (oppervlak)
▪ Moest de kromme C gesloten zijn gebruiken we een kringintegraal ∮;
Manier om de lijnintegraal te evalueren:
▪ Kromme C = 𝒓 ⃗⃗(𝒕) = (𝒈(𝒕), 𝒉(𝒕)) → dus kromme parameteriseren en in f invullen
▪ ds = ‖𝒓
⃗⃗′ (𝒕)‖𝒅𝒕
Bereken de oppervlakte onder f(x,y) en boven C
Parameteriseer C in 𝑟⃗(𝑡) = (𝑔(𝑡), ℎ(𝑡))
o Kies bv voor C: y = x² g(t) = x = t en h(t) = y = t² → 𝑟⃗(𝑡) = (t, t²)
o Beperking ook meerekenen + belangrijk voor hoe de kromme doorlopen moet worden
Bereken de snelheidsfunctie 𝑟⃗′(𝑡)
Invullen in bovenstaande formule f(g(t),h(t)) = f geëvalueerd langs het pad C op f dat erop
geprojecteerd wordt met x = g(t) en y = h(t)
!!opletten voor de grenzen, er wordt naar t geïntegreerd: dt, dus grenzen in functie van t, is afhankelijk
van de parameterisering dus afvragen wat waren de grenzen in x (of y) en x = ___
Indien bij parameterisatie + en – uitgekomen → integraal opsplitsen
Als de kromme C een knikpunt vertoond zal je twee parameterisaties nodig hebben: C = C1 en C2
Zorgt ervoor dat de kromme niet glad is → niet afleidbaar daar
Integratie interval in stukken opdelen
De parabool en rechte apart parameteriseren 𝒓 ⃗⃗(𝒕) + integralen opstellen
Massamiddelpunt van een dunne draad via lijnintegraal
, f(s) vervangen door dichtheidsfunctie
Vectorvelden
= kent aan elk punt in de ruimte een vector toe: meerdere inputs (x,y,…) en meerdere outputs: component
functies M en N
In elk punt van het vlak krijg je een vector Volgende zaken niet door elkaar slaan
▪ f(x) een variabele
▪ f(x,y) 2 of meerdere variabelen
▪ ⃗⃗(𝒕)
𝒓 vectorfunctie
Wordt gebruikt in weerbericht en stroming van rivier ▪ ⃗𝑭⃗(𝒙) Vectorveld met n-tal inputs
Geeft vector in punt: richting en grootte ▪ ⃗𝑭⃗(𝒙, 𝒚) Vectorveld in het vlak (2 inputs)
Del-operator
⃗∇⃗ = de nabla met een pijl boven = vector van de partieel afgeleiden
▪ Scalaire vermenigvuldiging met kleine f (meerdere inputs, 1 output)
o Gradiënt = steilste weg omhoog = vector van de partieel afgeleiden
▪ Scalair product met vectorveld
o Divergentie van het vectorveld = div𝑭 ⃗⃗
= maat voor de samendrukbaarheid van het vectorveld
o Kan kijken of er bv in een punt van rivier meer water toekomt dan weggaat (doos erover zetten)
▪ Positief = meer weg dan toekomt = bronnetje, explosie
▪ Negatief = meer komt toe dan weggaat = zinkgat
▪ 0 = evenveel in als uit
▪ Vectoriëel product met vectorveld
o ⃗⃗ = curl𝑭
Rotatie van het vectorveld = rot𝑭 ⃗⃗
= snelheid waarmee het vectorveld van richting veranderd
o Kan het voorstellen door bv in een rivier een schoepenwiel te plaatsen in een punt
▪ Positief = tegenwijzerzin
▪ Negatief = wijzerzin
