Wiskunde 1
1. Visie op wiskundeonderwijs
Hoe het rekenonderwijs nu georganiseerd wordt, hangt samen met de visie op goed
rekenonderwijs
Verandering opvattingen wiskundeonderwijs in de loop der jaren?
Tot de jaren 60 van 20ste eeuw: praktische rekenvaardigheden, rekenregels van buiten leren
en inoefenen
Jaren 70-80: “moderne wiskunde”, verzamelingen, logica,…
Sinds 1998: realistische visie op reken- en wiskundeonderwijs
Kenmerken realistische visie
Wiskundeonderwijs = creëren van situaties waarin lln. gestimuleerd worden om zelf kennis
en wiskundige vaardigheden te ontdekken
Realistische probleemsituaties
Wiskundelessen worden ingekleed door middel van realistische situaties:
o Echte, dagelijkse situaties
o Fantasie
Voordelen:
o betrokkenheid verhogen, aansluiten bij hun leefwereld en bij wat ze al kennen
o Ervaren van bruikbaarheid in dagelijks leven -> transfer -> motivatie
o Inzicht bevorderen: er moet antwoord gegeven op een probleemstelling, leren rekening
houden met de complexiteit van de probleemsituaties
Zelfontdekkend
Zelfontdekkend leren:
lln. stimuleren om eigen kennis te ontwikkelen en eigen oplossingswijze te zoeken
Interactief onderwijs
Om lln. te ondersteunen bij het zelf opbouwen en ontdekken van wiskundige inzichten is interactief
onderwijs noodzakelijk
Interactie leerkracht - leerling
Interactie leerlingen onderling -> Ideeën uitwisselen met elkaar (zie voorbeelden)
Eigen ideeën verwoorden en verantwoorden
Zelfgestuurd en zelfgereguleerd leren
Eigen kennis opbouwen houdt een risico in: eigen kennisontwikkeling kan verkeerd of weinig
efficiënt zijn
we moeten lln. leren reflecteren (hun eigen leren sturen): kritisch nadenken over
uitkomst of oplossingsmethode
Eindtermen en leerplannen wiskunde
Eindtermen
Opgelegd door de Vlaamse Overheid
Geven aan waar elke school bij elk kind minimaal moet naar streven
,"Eindtermen zijn minimumdoelen die de overheid noodzakelijk en bereikbaar acht voor een bepaalde
leerlingengroep. Met minimumdoelen wordt bedoeld: enerzijds een minimum aan kennis, inzicht en
vaardigheden die alle leerlingen van de leerlingengroep verwerven tijdens het leerproces en
anderzijds een minimum aan attitudes die de school nastreeft bij de leerlingen."
De eindtermen wiskunde geven dus aan welke minimumdoelstellingen voor de kinderen haalbaar en
noodzakelijk zijn
5 domeinen bij wiskunde:
Getallen: eindtermen over getalbegrip én over de 4 hoofdbewerkingen
Meten
Meetkunde
Strategieën en probleemoplossende vaardigheden
Attitudes: kritisch staan tegenover cijfermateriaal, reflectie
Leerplannen wiskunde
Opgesteld door de verschillende onderwijsnetten in Vlaanderen: GO!, KOV, OVSG
In een leerplan moeten minstens de eindtermen worden opgenomen.
Elk onderwijsnet kan doelen toevoegen vanuit het eigen opvoedingsproject of vanuit de visie
op een vak
Veel gedetailleerder en concreter dan de eindtermen
Leerdoelen meestal per lj. <-> eindtermen bereikt einde zesde lj.
2. CSA-model en didacti sche materialen
CSA - model
Bij de aanbreng van een nieuw begrip in de wiskunde wordt steeds dezelfde opbouw gevolgd. We
onderscheiden 3 fasen in de opbouw: Concreet – Schematisch en Abstract
Belangrijke basisregels:
Elke fase moet voorbereiden op een volgende fase
Bij moeilijkheden stapje terug gaan
Concrete of materiële fase
Handelen met manipuleerbaar materiaal
Zoveel mogelijk verschillend materiaal
Eerst zeer uitvoerig, later: verkorte werkwijze
Aandachtspunten:
Eerst materiaal verkennen o.w.v. "spelen"
Verwoorden door de leerlingen is heel belangrijk
o LK. Kan de denkwijze van de ll. Volgen
o Ll. Is zich meer bewust van zijn handelen, zo loskomen van het materiaal
Werkblaadjes horen hier niet thuis
Opletten voor overbeklemtonen van de materiële handeling als doel op zich
Laatste stadium in deze fase: perceptief handelen: een deel van het materiaal wordt gelegd,
de rest wordt er bij "gedacht"
Let op voor volgende fouten:
o Te vlug overstappen naar de volgende fase
o Te weinig verschillende materialen
Schematische fase of voorstellingsfase
Verinnerlijken van de handelingen
= handelen met materiaal wordt weggelaten
, Leerling doet geen dingen meer met materiaal maar zegt wat hij doet en wordt ondersteunt
door tekeningen, foto's schema's
Verkorting: luidop zeggen -> stil voor zichzelf zeggen met steeds meer tussenstappen
verinnerlijkt
Schema's (de hoeveelheid moet zichtbaar blijven) en werkbladen
Opmerkingen:
o Indien nodig teruggrijpen naar materiaal
o Niet te vlug verkorten: ll. Voelt zelf aan of hij klaar is voor de volgende stap
o Belangrijke fase want verbinding tss beginfase en gewenste eindgedrag (geen doel
op zich)
(Vb; kastanjes/auto's)
Abstracte of mentale fase
De materiële handelingen zijn verinnerlijkt
Oplossen van een oefening wordt een denkactiviteit waarbij geheugen en inzicht een
belangrijke rol spelen
Bewerkingen en tussenstappen mogen genoteerd worden of worden mentaal gemaakt
Knelpunten:
o ≠ 'indrillen'
o Te weinig variatie -> bewerkingen in diverse vormen aanbieden -> het geleerde
flexibel in verschillende situaties gebruiken
o Te vlug vooruit -> voldoende kansen geven voor inoefening
Didactische materialen
Materialen waarmee gemanipuleerd kan worden in de concrete fase
Concrete materialen uit de leefwereld
o Alles uit de leefwereld van het kind
o Belangrijk voor de link van wiskunde met het dagelijks leven
o Voldoende variatie
Concrete gestructeerde materialen
o Speciaal ontworpen om mee te leren rekenen
o Er zit een bepaalde structuur in
(zie voorbeelden)
Voorbeelden
Gestructureerd materiaal in de concrete fase
MAB-materiaal
o Blokjes (eenheden), staafjes(tientallen), plakken(honderdtallen), kubus(duizendtal)
Rekenkralen
Breukstokken
lusabacus
Didactische materialen in de schematische fase
Afbeeldingen van materialen uit de leefwereld van de lln.
Ook gestructureerde materialen in schematische vorm: magnetisch MAB materiaal, kaartjes
met getalbeelden, tekeningen van breuken
Didactissche materialen in de abstracte fase
, Vooral oefeningen in werkboekjes of werkblaadjes
Ook bij sommige spelletjes
(vb; malle getallen)
Twee voorbeelden van gestructureerd materiaal
MAB-materiaal: Multibasis Arithmetic
Blocs: blokjes, staafjes, plakken, kubus.
Inzicht krijgen in grote getallen en hun bewerkingen:
Getallen leggen
Hoeveelheden vergelijken vb. 21 en 18
Bewerkingen uitvoeren
Inwisselen vb 17 + 5, 450 - 80
Kwadratische getalbeelden van Lay
Getalbeelden vormen de basis voor het werken met kleine hoeveelheden in het eerste
leerjaar
Kleine hoeveelheden kunnen op verschillende manieren schematisch afgebeeld worden (vb
dobbelsteenpatroon)
In heel wat scholen werden de kwadratische getalbeelden gebruikt
Soms worden ze in een structuur van 10 aangeboden
C: blokjes/ eieren
S: bolletjes, splitshuisjes
A: denken aan getalbeelden, mentaal voorstellen
In de overgang van de schematische naar de abstracte fase kunnen flitskaarten gebruikt worden.
3. Getalbegrip
Getalsystemen in de Oudheid
Egyptenaren (ca. 3000-300 v. Chr.)
Geen symbool voor nul
Romeinen (ca. 500 v. Chr tot 1300 n. Chr.)
Romeinse cijfers Waarde
I 1
V 5
1. Visie op wiskundeonderwijs
Hoe het rekenonderwijs nu georganiseerd wordt, hangt samen met de visie op goed
rekenonderwijs
Verandering opvattingen wiskundeonderwijs in de loop der jaren?
Tot de jaren 60 van 20ste eeuw: praktische rekenvaardigheden, rekenregels van buiten leren
en inoefenen
Jaren 70-80: “moderne wiskunde”, verzamelingen, logica,…
Sinds 1998: realistische visie op reken- en wiskundeonderwijs
Kenmerken realistische visie
Wiskundeonderwijs = creëren van situaties waarin lln. gestimuleerd worden om zelf kennis
en wiskundige vaardigheden te ontdekken
Realistische probleemsituaties
Wiskundelessen worden ingekleed door middel van realistische situaties:
o Echte, dagelijkse situaties
o Fantasie
Voordelen:
o betrokkenheid verhogen, aansluiten bij hun leefwereld en bij wat ze al kennen
o Ervaren van bruikbaarheid in dagelijks leven -> transfer -> motivatie
o Inzicht bevorderen: er moet antwoord gegeven op een probleemstelling, leren rekening
houden met de complexiteit van de probleemsituaties
Zelfontdekkend
Zelfontdekkend leren:
lln. stimuleren om eigen kennis te ontwikkelen en eigen oplossingswijze te zoeken
Interactief onderwijs
Om lln. te ondersteunen bij het zelf opbouwen en ontdekken van wiskundige inzichten is interactief
onderwijs noodzakelijk
Interactie leerkracht - leerling
Interactie leerlingen onderling -> Ideeën uitwisselen met elkaar (zie voorbeelden)
Eigen ideeën verwoorden en verantwoorden
Zelfgestuurd en zelfgereguleerd leren
Eigen kennis opbouwen houdt een risico in: eigen kennisontwikkeling kan verkeerd of weinig
efficiënt zijn
we moeten lln. leren reflecteren (hun eigen leren sturen): kritisch nadenken over
uitkomst of oplossingsmethode
Eindtermen en leerplannen wiskunde
Eindtermen
Opgelegd door de Vlaamse Overheid
Geven aan waar elke school bij elk kind minimaal moet naar streven
,"Eindtermen zijn minimumdoelen die de overheid noodzakelijk en bereikbaar acht voor een bepaalde
leerlingengroep. Met minimumdoelen wordt bedoeld: enerzijds een minimum aan kennis, inzicht en
vaardigheden die alle leerlingen van de leerlingengroep verwerven tijdens het leerproces en
anderzijds een minimum aan attitudes die de school nastreeft bij de leerlingen."
De eindtermen wiskunde geven dus aan welke minimumdoelstellingen voor de kinderen haalbaar en
noodzakelijk zijn
5 domeinen bij wiskunde:
Getallen: eindtermen over getalbegrip én over de 4 hoofdbewerkingen
Meten
Meetkunde
Strategieën en probleemoplossende vaardigheden
Attitudes: kritisch staan tegenover cijfermateriaal, reflectie
Leerplannen wiskunde
Opgesteld door de verschillende onderwijsnetten in Vlaanderen: GO!, KOV, OVSG
In een leerplan moeten minstens de eindtermen worden opgenomen.
Elk onderwijsnet kan doelen toevoegen vanuit het eigen opvoedingsproject of vanuit de visie
op een vak
Veel gedetailleerder en concreter dan de eindtermen
Leerdoelen meestal per lj. <-> eindtermen bereikt einde zesde lj.
2. CSA-model en didacti sche materialen
CSA - model
Bij de aanbreng van een nieuw begrip in de wiskunde wordt steeds dezelfde opbouw gevolgd. We
onderscheiden 3 fasen in de opbouw: Concreet – Schematisch en Abstract
Belangrijke basisregels:
Elke fase moet voorbereiden op een volgende fase
Bij moeilijkheden stapje terug gaan
Concrete of materiële fase
Handelen met manipuleerbaar materiaal
Zoveel mogelijk verschillend materiaal
Eerst zeer uitvoerig, later: verkorte werkwijze
Aandachtspunten:
Eerst materiaal verkennen o.w.v. "spelen"
Verwoorden door de leerlingen is heel belangrijk
o LK. Kan de denkwijze van de ll. Volgen
o Ll. Is zich meer bewust van zijn handelen, zo loskomen van het materiaal
Werkblaadjes horen hier niet thuis
Opletten voor overbeklemtonen van de materiële handeling als doel op zich
Laatste stadium in deze fase: perceptief handelen: een deel van het materiaal wordt gelegd,
de rest wordt er bij "gedacht"
Let op voor volgende fouten:
o Te vlug overstappen naar de volgende fase
o Te weinig verschillende materialen
Schematische fase of voorstellingsfase
Verinnerlijken van de handelingen
= handelen met materiaal wordt weggelaten
, Leerling doet geen dingen meer met materiaal maar zegt wat hij doet en wordt ondersteunt
door tekeningen, foto's schema's
Verkorting: luidop zeggen -> stil voor zichzelf zeggen met steeds meer tussenstappen
verinnerlijkt
Schema's (de hoeveelheid moet zichtbaar blijven) en werkbladen
Opmerkingen:
o Indien nodig teruggrijpen naar materiaal
o Niet te vlug verkorten: ll. Voelt zelf aan of hij klaar is voor de volgende stap
o Belangrijke fase want verbinding tss beginfase en gewenste eindgedrag (geen doel
op zich)
(Vb; kastanjes/auto's)
Abstracte of mentale fase
De materiële handelingen zijn verinnerlijkt
Oplossen van een oefening wordt een denkactiviteit waarbij geheugen en inzicht een
belangrijke rol spelen
Bewerkingen en tussenstappen mogen genoteerd worden of worden mentaal gemaakt
Knelpunten:
o ≠ 'indrillen'
o Te weinig variatie -> bewerkingen in diverse vormen aanbieden -> het geleerde
flexibel in verschillende situaties gebruiken
o Te vlug vooruit -> voldoende kansen geven voor inoefening
Didactische materialen
Materialen waarmee gemanipuleerd kan worden in de concrete fase
Concrete materialen uit de leefwereld
o Alles uit de leefwereld van het kind
o Belangrijk voor de link van wiskunde met het dagelijks leven
o Voldoende variatie
Concrete gestructeerde materialen
o Speciaal ontworpen om mee te leren rekenen
o Er zit een bepaalde structuur in
(zie voorbeelden)
Voorbeelden
Gestructureerd materiaal in de concrete fase
MAB-materiaal
o Blokjes (eenheden), staafjes(tientallen), plakken(honderdtallen), kubus(duizendtal)
Rekenkralen
Breukstokken
lusabacus
Didactische materialen in de schematische fase
Afbeeldingen van materialen uit de leefwereld van de lln.
Ook gestructureerde materialen in schematische vorm: magnetisch MAB materiaal, kaartjes
met getalbeelden, tekeningen van breuken
Didactissche materialen in de abstracte fase
, Vooral oefeningen in werkboekjes of werkblaadjes
Ook bij sommige spelletjes
(vb; malle getallen)
Twee voorbeelden van gestructureerd materiaal
MAB-materiaal: Multibasis Arithmetic
Blocs: blokjes, staafjes, plakken, kubus.
Inzicht krijgen in grote getallen en hun bewerkingen:
Getallen leggen
Hoeveelheden vergelijken vb. 21 en 18
Bewerkingen uitvoeren
Inwisselen vb 17 + 5, 450 - 80
Kwadratische getalbeelden van Lay
Getalbeelden vormen de basis voor het werken met kleine hoeveelheden in het eerste
leerjaar
Kleine hoeveelheden kunnen op verschillende manieren schematisch afgebeeld worden (vb
dobbelsteenpatroon)
In heel wat scholen werden de kwadratische getalbeelden gebruikt
Soms worden ze in een structuur van 10 aangeboden
C: blokjes/ eieren
S: bolletjes, splitshuisjes
A: denken aan getalbeelden, mentaal voorstellen
In de overgang van de schematische naar de abstracte fase kunnen flitskaarten gebruikt worden.
3. Getalbegrip
Getalsystemen in de Oudheid
Egyptenaren (ca. 3000-300 v. Chr.)
Geen symbool voor nul
Romeinen (ca. 500 v. Chr tot 1300 n. Chr.)
Romeinse cijfers Waarde
I 1
V 5
