Integralrechnung
Streifenmethode
= Flächenberechnungsverfahren
· Ziel: Unterteilung Flächen in vertikale Streifen Eigenschaften Rechtecke:
Untere Abschätzung: unter der Kurve liegende Rechtecke - alle haben die gleiche Breite auf der x-Achse
Obere Abschätzung: über der Kurve hinausragende Rechtecke - Höhe: f(x ); Anzahl x je nach Einteilung
O O
Einschachtelung A durch Rechtecksstreifen ist nicht genau
·
Untersumme U4 =
A =
Obersumme O4
~
Op :
Einteilung in vier Rechtecke
3 Cispiel f(x) =x Un n =
4
Intervallende-Intervallanfang
U = (2) = Breite H
Breite [ )
...
=
alle Höhen
4 ( (2) (i)
30 14
= A =
O 12
=
= + + +
64 64
.
für ein
genaueres Ergebnis mehr & kleinere Streifen verwenden
allgemeine Form :
Intervall (0 : 1] in n Streifen : Breiten
Gaußsche
1()" i .
A (2) "+...+ ( * ) (f
Uni Oct lt( .. -In
:
1 n2.
/Summenformel On =
E +
+
2n - 1
+
1 = 4 .
6 .
n(n + 1) .
(2n + 1)
n2n 1 1 1
=. M
-
n +
2n +
n n
=
.. n
·
M
ein Un =
ein /f ... Zu( lim On =
him (8 .... In
n => 00 n >
-
00 M > 00
-
n +> 00
=
5 .
1 .
1 .
2 = E =
1 .
1 .
2 =
Fazit :
5 =
A = - =
A = E
I
Flächeninhaltsfunktion:
Null-Ursprung a
1
f(x)
M n +
=
ax A(X) =
n + 1 ·
X
·
Schnittpunkt X-Achse immer :
Ao (0) =
0
f(x) AX) f(x) Beginn Ursprung kein C Unterschied
negativ
+
Ao(x)
ist die
Ableitung nicht
·
von :
;
: =
Flächeninhaltsflt :
~ Randfunktion A-E g Ao(X) Ex jx2 Ao(X)
Y Flächeninhaltsfkt Ao f(x ist ein A mit h
Beginn Ursprung
.
x =
· ·
=
.
.
Tax
f(x) = f f(x) 8x2 =
Fläche kein Ao(0)
beginnt bei X = 0 und endet bei X C da O
·
·
,
f(x) -
·
Fläche Ao(x) entspricht Funktionswert Ao(X) ·
Schnittpkt x-Achse immer
Ao(X)
I > X , x Abex =
f(x) bei 1010) ; Ao(0) =
0
X
Stammfunktion Stamm flit :
= Jede differenzierbare Fkt F unter der Bedingung: Fix) f(x) =
F(x) + C
· Es gibt zu jeder Funktion f beliebig viele Stammfunktionen
· Menge aller Stammfunktionen von f = unbestimmtes Integral von f
unbestimmt = Ergebnis ist wegen der Integrationskonstanten C nicht eindeutig bestimmt
Differenzial
S
~
symbolische Schreibweise : f(x) dx
integrieren
Integral Variable f(X) ableiten/ differenzieren
F(X)
2
f(x) =
2x + 1 Beispiele :
Integrationskonstante
F(x) =
5 x + X + CiceN ((2x + 1)dx =
5x + x + C
Ja da = a
, Rechenregeln für unbestimmte Integrale
Integrieren von Trigonometrischen Funktionen/e-Funktion
Unterschied Integrationskonstante
Anfangswertproblem
= C soll so gewählt werden, das
Stammfunktion F durch einen fest
vorgeschrieben Punkt geht
Streifenmethode
= Flächenberechnungsverfahren
· Ziel: Unterteilung Flächen in vertikale Streifen Eigenschaften Rechtecke:
Untere Abschätzung: unter der Kurve liegende Rechtecke - alle haben die gleiche Breite auf der x-Achse
Obere Abschätzung: über der Kurve hinausragende Rechtecke - Höhe: f(x ); Anzahl x je nach Einteilung
O O
Einschachtelung A durch Rechtecksstreifen ist nicht genau
·
Untersumme U4 =
A =
Obersumme O4
~
Op :
Einteilung in vier Rechtecke
3 Cispiel f(x) =x Un n =
4
Intervallende-Intervallanfang
U = (2) = Breite H
Breite [ )
...
=
alle Höhen
4 ( (2) (i)
30 14
= A =
O 12
=
= + + +
64 64
.
für ein
genaueres Ergebnis mehr & kleinere Streifen verwenden
allgemeine Form :
Intervall (0 : 1] in n Streifen : Breiten
Gaußsche
1()" i .
A (2) "+...+ ( * ) (f
Uni Oct lt( .. -In
:
1 n2.
/Summenformel On =
E +
+
2n - 1
+
1 = 4 .
6 .
n(n + 1) .
(2n + 1)
n2n 1 1 1
=. M
-
n +
2n +
n n
=
.. n
·
M
ein Un =
ein /f ... Zu( lim On =
him (8 .... In
n => 00 n >
-
00 M > 00
-
n +> 00
=
5 .
1 .
1 .
2 = E =
1 .
1 .
2 =
Fazit :
5 =
A = - =
A = E
I
Flächeninhaltsfunktion:
Null-Ursprung a
1
f(x)
M n +
=
ax A(X) =
n + 1 ·
X
·
Schnittpunkt X-Achse immer :
Ao (0) =
0
f(x) AX) f(x) Beginn Ursprung kein C Unterschied
negativ
+
Ao(x)
ist die
Ableitung nicht
·
von :
;
: =
Flächeninhaltsflt :
~ Randfunktion A-E g Ao(X) Ex jx2 Ao(X)
Y Flächeninhaltsfkt Ao f(x ist ein A mit h
Beginn Ursprung
.
x =
· ·
=
.
.
Tax
f(x) = f f(x) 8x2 =
Fläche kein Ao(0)
beginnt bei X = 0 und endet bei X C da O
·
·
,
f(x) -
·
Fläche Ao(x) entspricht Funktionswert Ao(X) ·
Schnittpkt x-Achse immer
Ao(X)
I > X , x Abex =
f(x) bei 1010) ; Ao(0) =
0
X
Stammfunktion Stamm flit :
= Jede differenzierbare Fkt F unter der Bedingung: Fix) f(x) =
F(x) + C
· Es gibt zu jeder Funktion f beliebig viele Stammfunktionen
· Menge aller Stammfunktionen von f = unbestimmtes Integral von f
unbestimmt = Ergebnis ist wegen der Integrationskonstanten C nicht eindeutig bestimmt
Differenzial
S
~
symbolische Schreibweise : f(x) dx
integrieren
Integral Variable f(X) ableiten/ differenzieren
F(X)
2
f(x) =
2x + 1 Beispiele :
Integrationskonstante
F(x) =
5 x + X + CiceN ((2x + 1)dx =
5x + x + C
Ja da = a
, Rechenregeln für unbestimmte Integrale
Integrieren von Trigonometrischen Funktionen/e-Funktion
Unterschied Integrationskonstante
Anfangswertproblem
= C soll so gewählt werden, das
Stammfunktion F durch einen fest
vorgeschrieben Punkt geht
