Pascal Cokart
Samenvatni goek(je) “Statstek in 20 stappen”
Juni 2018
Versie 2.5
Hoofdstuk 1 (Een eerste stap)
1. Populate: de totale verzamelini elementen waarop het onderzoek getrekkini heef.
2. Steekproef: een deel van de populate
3. Variagele: kenmerk van een element uit de populate
a. Kwanttateve variagele: uitkomst van de variagele wordt gepaald door een ietal.
i. Discrete kwanttateve variagele: heef een geperkt aantal moielijke
uitkomsten.
ii. Contnue kwanttateve variagele: heef (in theorie) oneindii veel
uitkomsten.
g. Kwalitateve variagele: aanduidinien anders dan ietallen, met dit soort variagele
kan niet zinvol worden ierekend.
4. Kwalificate: verschijninisvormen van een gepaalde variagele
Meetniveaus:
1. Nominaal meetniveau: uitkomsten heggen ieen loiische, vaste voliorde.
2. Ordinaal meetniveau: uitkomsten heggen een loiische vaste, voliorde (nominaal +
voliorde).
3. Interval meetniveau: uitkomsten heggen een loiische, vaste voliorde en het verschil tussen
de elementen heef een eenduidiie getekenis (ordinaal + getekenis).
4. Rato meetniveau: uitkomsten heggen een loiische, vaste voliorde en het verschil tussen de
elementen heef een eenduidiie getekenis. Daarnaast is er sprake van een natuurlijk
nulpunt (interval + nulpunt).
Eisen goede tabel:
Er moet een opschrif zijn
Er moet een kopreiel zijn
Klassen moeten zodanii worden iekozen dat ze in een loiische voliorde staan en dat alle
waarneminien een plek krijien.
Er moet een totaalreiel zijn
Waar moielijk moet er een gronvermeldini zijn
1
,Hoofdstuk 2 (Werken met grafeken)
Eisen goede grafek
Er moet een opschrif zijn
Er moet een kopreiel zijn
Er moet een gronvermeldini zijn
Lanis de Y- en X-as moet de eenheid vermeld worden en moet er aanieieven worden wat
de as weerieef.
Lanis de assen moeten op reielmatie plaatsen ietallen worden ieplaatst.
In het ieval van staafdiairam: deze moet gij 0 geiinnen (als dit niet kan iegruik je een
punten irafiek). Zori dat de hooiste waarde iets goven de hooist meetgare waarde komt.
Intervallen tussen de meetpunten gij een staafdiairam moeten ielijk zijn. Als dit niet kan
iegruik je een punten irafiek.
In het ieval van alle andere irafiekvormen: kies de kleinste waarde iets onder de kleinst
moielijk meetgare waarde en de irootst moielijke waarde iets goven de hooist meetgare
waarde.
Wanneer nodii dient er een leienda ieieven te worden (gij iegruik van kleuren en
derielijke).
Kwalitateve variagelen (nominale schaalverdelini) (zoals kleur) kunnen het geste worden
weerieieven met een staafdiairam of cirkeldiairam.
Een cirkeldiairam geiin je midden goven met de eerste sector.
Een eindstand variagele (31 decemger) zet je midden goven het jaar.
In een spreidinisdiairam ieef je irafisch de relate weer tussen twee kwanttateve variagelen.
Histogram
Kenmerken:
1. Y-as is altjd de frequentedichtheid (deze kriji je door de frequente te delen door de
fk
klassengreedte → ).
kb
2. Balken worden teien elkaar aan ieschoven.
3. De greedte van de galk wordt gepaald door de klassengreedte.
4. De hooite van de galk wordt gepaalde door frequentedichtheid.
Oppervlakte van de galk wordt dus gepaalde door klassengreedte ∙ frequentedichtheid.
Bij een histoiram moet je opleten dat je de onderirens wel meetelt maar de govenirens niet. Als er
gijvoorgeeld staat 30 < 60, dan gevat de galk die hiergij hoort 30 tot 60 (loiisch want er staat <).
2
,Hoofdstuk 3 (Centrummaten en spreidingsmaten)
Centrummaten
Gemiddelde
Gemiddelde gerekenen we door
∑ Xi
x́=
n
Waar x́ het iemiddelde is, ∑ X i de som van alle variagelen is en n het aantal waarnemen is (dus niet
de som van het aantal waarneminien).
Modus
De modus is de waarde die het vaakst in een populate of steekproef voorkomt. De uitkomst die het
vaakste voorkomt heef de hooiste frequente.
De mediaan
De mediaan is de middelste waarde. Om de mediaan te vinden moet je de variagelen sorteren van
hooi naar laai. Hierom moeten de variagelen minimaal een ordinale schaal heggen en kun je dus
alleen de mediaan gerekenen van kwanttateve variagelen.
Bij een even aantal waarneminien doe je het voliende: de helf van het ietal nemen en de
waarnemini die daarna komt daargij op tellen en deel dit vervoliens door twee.
(10+11) 21
Voorgeeld: mediaan van 20 = = = 10.5
2 2
Spreidingsmaten
Variatiebreedte/range/spreidingsbreedte
Dit is de greedte van de spreidini. Dit is hooiste waarde minus de laaiste waarde.
Afwijking/deviaties
Soms is het handii om te kijken hoeverre uitkomsten afwijken van het iemiddelde. Dit kunnen we
als volit gerekenen:
d i= X i−x ̅̅
Variantie
De variante is eiienlijk het kwadraat van de iemiddelde afwijkini van het iemiddelde (kwadraat
zodat we neiateve waarden kwijtraken).
Dit gerekenen we met de voliende formule:
2
∑ ( X i−x́ )2
σ =
n−1
Waarin:
σ 2 = het kwadraat van de standaardafwijkini is
∑ ( X i−x́ )2 = de som van het aantal waarneminien minus het iemiddelde in het kwadraat.
n−1 = het aantal waarneminien (dus niet de som van het aantal waarneminien) -1
Standaarddeviatie
3
,Met de wetenschap dat de variante eiienlijk de standaarddeviate in het kwadraat is, is het tamelijk
eenvoudii de standaarddeviate te gerekenen:
σ =√ σ 2
Stappenplan om σ te gerekenen:
1. Bereken het iemiddelde
2. Bereken de deviates en kwadrateer deze
3. Tel (sommeer) alle iekwadrateerde deviates
4. Deel de som van de iekwadrateerde deviates door het aantal waarneminien -1.
5. Neem de wortel van het quotint van govenstaande delini.
Enkele opmerkinien:
Bij een σ van 0 zit er ieen variate in de ietallenreeks. In dat ietal zijn alle ievonden
ietallen ielijk aan het iemiddelde.
De uitkomst van σ hanit af van de iegruikte eenheden. Soms is het daarom handii om de
iegruikte eenheden ielijk te trekken door σ te delen door de agsolute waarde (stappen tot
nul) van het iemiddelde. Je krijit dan de variatecoifciint, uitiedrukt als VC. Dit kan met
de voliende formule:
σ
VC =
¿ x́∨¿ ¿
4
,Hoofdstuk 4 (Maatstaven voor frequentieverdelingen)
Centrummaten gegroepeerde gegevens
Gemiddelde
Het iemiddelde van ieiroepeerde ieievens gerekenen we door de frequente f k te
vermeniivuldiien met klassenmidden m k en vervoliens de som te delen door de som van het aantal
waarneminien:
∑ mk ∙ f k
x́=
∑f k
Waarin:
m k = het midden van de klasse
f k = de frequente
∑ f k = de som van alle frequentes
Modale klasse
Bij ieiroepeerde iegruik je naast de term modus, ook de term modale klasse. Deze vind je door de
waarneminien te delen door de klassengreedte. Je vindt dan de frequentedichtheid. Vervoliens kijk
je welke klasse de meeste waarneminien heef, dit is dan de modale klasse. Het klassenmidden is
dan de modus.
De mediaan
De mediaan is de middelste waarnemini. Deze vinden we door eerst de mediale klasse te zoeken en
vervoliens daar de mediaan in te gepalen. Dit iegeurt met de voliende formule:
b
x me =L+ ( r−0.5 ) ∙
f
Waarin:
L = onderwaarde mediale klasse
r = het iezochte raninummer ginnen deze klasse (welke waarneminien er noi overglijven nadat je
het aantal waarneminien van de vooriaande klassen er af ietrokken hegt, hier neem je vervoliens
het iemiddelde van)
b = greedte mediale klasse
f = aantal waarneminien ginnen de mediale klasse
Spreidingsmaten bij gegroepeerde gegevens
De wijze van gereken van de variante en de standaarddeviate komt sterk overeen met die van losse
ieievens. Het eniie verschil is dat we hier rekenini moeten houden met het midden van de klassen.
De gerekenini iegeurt met de voliende formule:
√( )
2
∑ f k ( mi − x́ )
σ=
∑ f k −1
Waarin:
f k = de frequente
m i = het midden van de klasse
5
,∑ f k = de som van alle frequentes
Hoofdstuk 8 (De normale verdeling)
Een variagele die wordt gepaald door het toeval heet een kansvariagele.
De gekendste contnue variagele (zie H1) is de normaal verdeelde variagele. De irafiek voor de
functe die daar gij hoort ziet er altjd als volit uit:
Waar μ staat voor het midden en σ voor de standaarddeviate.
De gekendste vorm is de standaardnormale verdelini. Hiervoor ieldt:
μ=0
σ =1
Tagel kun je vinden achter in het goek.
De waarden in de irafiek kun je omzeten naar een percentaie door ze maal 100 te doen.
Tevens ieldt dat de x-as in totaal 1 is (100%).
Als je waarden iegruikt waarvoor ieldt dat het midden ( μ) ielijk is aan 0 en waarvoor ieldt dat de
standaarddeviate (σ ) ielijk is aan 1, kun je de tagel zonder proglemen iegruiken.
Je zeit dan simpelwei (gijvoorgeeld):
P(z >1.53)
Het is nu eenvoudiiwei .03 opzoeken in de kolom/rij comginate van 1.5 in govenstaande tagel. Dit
ieef z=0.0630
Voor P( z <1.53) ieldt iets anders:
Eiienlijk staat hier:
P ( 1−0.0630 ) =0.9370
Je rekent hier uit hoe iroot de kans is dat je onder 1.53 uitkomt. Omdat de iehele lijn 1 (de kans dat
je eriens uitkomt is 1, 100%) is en de kans om goven 1.53 uit te komen weten we.
Om dus het stuk daartussen te gerekenen trekken we de kans 1.53 van 1 af. Dit is geter te geirijpen
als we het in percentaies weerieven:
6
,100 %−6.3 %=93.7 %
De kans om onder de 1.53 uit te komen is dus 93.7%.
Waarden voor μ en σ anders
Zijn μ en σ echter verschillend, dan moet je deze eerst omrekenen. Dit iegeurt met de voliende
formule:
g−μ
z=
σ
Waarin:
g = de waarde waarvoor je de kans wilt gerekenen
μ = het midden
σ = de standaarddeviate
Als je de kans weet maar de g waarde niet weet kun je dit oplossen door de voliende verielijkini op
g−μ
te lossen: z=
σ
z=10
μ = 15
σ =8
ieef:
g−15
10=
8
80=g−15
−g=−95
g=95
Gemiddelde van groepjes waarnemingen
Vaak worden er irote aantallen waarneminien iedaan voor dezelfde variagele. Hiervoor gerekenen
we het iemiddelde. Het iemiddelde van een aantal onzekere uitkomsten is echter zelf een onzekere
irootheid. Hiervoor moeten we dus de standaarddeviate gerekenen:
σ1
σ 2=
√n
Je gerekent nu de z waarde met govenstaande σ 2.
Hoofdstuk 15 (Associatie)
Toont het vergand tussen variagelen met een nominale schaal.
Maatstaaf van Yule
Associate gerekenen we met de maatstaaf van Yule (“Yules Q”):
A ∙ D−B∙ C
Q=
A ∙ D+B ∙ C
Je vindt A, B, C en D door de kolommen in een 2x2 kruistagel door te A en B van links naar rechts
voor de govenste waarden en C en D te nemen van links naar rechts voor de onderste waarden.
De waarde die hier uitkomt liit altjd tussen de -1 en +1. Hiervoor ieldt dat -1 een perfect neiatef
vergand en +1 een perfect positef vergand toont tussen de variagelen.
Relatief risico
Het relateve risico reken je uit door eerst de relateve frequente uit te rekenen:
7
, a c
voor de ene helf en voor de andere helf van de tagel.
a+b c+ d
Vervoliens kriji je het relateve risico (aanieven met RR) door govenstaande quotinten te delen
met de hooiste waarde in de teller.
H16 (De regressielijn)
Een reiressielijn toont de verganden tussen variagelen met gehulp van een lijn.
Belanirijk om rekenini mee te houden tjdens de gerekenini van de lijn is dat ieldt:
X = oorzaak (de onafankelijke variagele)
Y = ievoli (de afankelijke variagele)
We gerekenen de lijn met de standaardvorm van een lineaire verielijkini in ons achterhoofd:
y=a+bx +c (Y =α + βX + ϵ)
Een lineair vergand van de variagele Y met één verklarende variagele wordt enkelvoudii lineair
reiressiemodel ienoemd. Deze term ieef aan dat we maar één verklarende variagele voor X
heggen.
8
,Net als dat je gij een lineaire verielijkini een irafiek tekent op gasis van een klein aantal ieievens,
doe je dat ook met een reiressielijn. Daarvoor iegruiken we de voliende formules:
n ∑ X i Y i −∑ X i ∙∑Y i
b=
n ∑ X 2i −( ∑ X i )2
a= ý−bx ̅̅
Vervoliens glijf ielden (er is ieen c ):
y=a+bx
Wanneer je een voorspellini wilt doen voor een gepaalde variagele vul je die in voor x . Dit ieef je
als volit weer:
y c =a+bx
Het is minder handii om een reiressielijn te gerekenen over een variagele die guiten het gerekende
iegied liit (de steekproef).
Hoofdstuk 17 (Correlatie)
Het vergand aantonen tussen kwanttateve variagelen.
Berekenen van kwadranten
1. Bereken het punt ( x́ , ý ). Dit heet het zwaartepunt. Dit zou je kunnen geschouwen als het
midden van de puntenwolk.
2. Verdeel de irafiek in vier delen door vanuit punt ( x́ , ý ) een horizontale en vertcale lijn te
tekenen. Dit worden de vier kwadranten ienoemd. Teien de klok in, geiinnend rechtsgoven
tel je vier kwadranten.
3. Als er ieen of weinii vergand (“correlate”) tussen de variagelen is, dan hoort het in elk vlak
onieveer even druk te zijn.
De correlatiecoëfciënt
9
, Er is een manier om de correlate tussen variagelen aan te ieven met een ietal. Dit noemen we de
correlatecoifciint en ieven we aan met r . Hiervoor iegruiken we de voliende formule:
∑ X i Y i−n ∙ x́ ∙ ý
r=
√ ∑ X −n ( x́ ) √ ∑ Y −n ( ý )
2
i
2 2
i
2
De uitkomst van r is altjd een ietal tussen de -1 en +1. Bij -1 spreken we van een perfect neiateve
lineaire relate, gij +1 van een perfect positeve lineaire relate. Wanneer r ielijk is aan 0 is er ieen
relate.
Aandachtspunten
Eenheden spelen ieen rol, zolani de verhoudini maar hetzelfde is.
Voorgeeld:
80 8
= =0.08
1000 100
Bovenstaande is exact identek aan elkaar, de verhoudini is ielijk.
Zoals al ienoemd iaat correlate over kwanttateve variagelen. Variagelen met een nominale schaal
zijn dus per definite uitiesloten. Het liefst maken we iegruik van een ratoschaal maar een
intervalschaal volstaat ook.
Een krom vergand kan correlate aantonen hoewel dat soms op het eerste iezicht niet zo lijkt.
Eneriievergruik is hier een mooi voorgeeld van.
H19 (Voorspellen tijdreeksen)
Met het voortschrijdende iemiddelde (aanieieven met VG) kun je patronen in een reeks ietallen
progeren te herkennen door de schommelinien te matien. Dit gerekenen we met de voliende
formule:
∑Yi
VG Ym=
k
Waarin:
k = de iroepsiroote
VG Ym = VG is het voortschrijdend iemiddelde, Y m = het midden van Y i. Voor een even aantal
waarneminien komt daar dus een iegroken ietal te staan. Wil je dit niet dan moet je het midden
van twee VG’s gerekenen:
10
Samenvatni goek(je) “Statstek in 20 stappen”
Juni 2018
Versie 2.5
Hoofdstuk 1 (Een eerste stap)
1. Populate: de totale verzamelini elementen waarop het onderzoek getrekkini heef.
2. Steekproef: een deel van de populate
3. Variagele: kenmerk van een element uit de populate
a. Kwanttateve variagele: uitkomst van de variagele wordt gepaald door een ietal.
i. Discrete kwanttateve variagele: heef een geperkt aantal moielijke
uitkomsten.
ii. Contnue kwanttateve variagele: heef (in theorie) oneindii veel
uitkomsten.
g. Kwalitateve variagele: aanduidinien anders dan ietallen, met dit soort variagele
kan niet zinvol worden ierekend.
4. Kwalificate: verschijninisvormen van een gepaalde variagele
Meetniveaus:
1. Nominaal meetniveau: uitkomsten heggen ieen loiische, vaste voliorde.
2. Ordinaal meetniveau: uitkomsten heggen een loiische vaste, voliorde (nominaal +
voliorde).
3. Interval meetniveau: uitkomsten heggen een loiische, vaste voliorde en het verschil tussen
de elementen heef een eenduidiie getekenis (ordinaal + getekenis).
4. Rato meetniveau: uitkomsten heggen een loiische, vaste voliorde en het verschil tussen de
elementen heef een eenduidiie getekenis. Daarnaast is er sprake van een natuurlijk
nulpunt (interval + nulpunt).
Eisen goede tabel:
Er moet een opschrif zijn
Er moet een kopreiel zijn
Klassen moeten zodanii worden iekozen dat ze in een loiische voliorde staan en dat alle
waarneminien een plek krijien.
Er moet een totaalreiel zijn
Waar moielijk moet er een gronvermeldini zijn
1
,Hoofdstuk 2 (Werken met grafeken)
Eisen goede grafek
Er moet een opschrif zijn
Er moet een kopreiel zijn
Er moet een gronvermeldini zijn
Lanis de Y- en X-as moet de eenheid vermeld worden en moet er aanieieven worden wat
de as weerieef.
Lanis de assen moeten op reielmatie plaatsen ietallen worden ieplaatst.
In het ieval van staafdiairam: deze moet gij 0 geiinnen (als dit niet kan iegruik je een
punten irafiek). Zori dat de hooiste waarde iets goven de hooist meetgare waarde komt.
Intervallen tussen de meetpunten gij een staafdiairam moeten ielijk zijn. Als dit niet kan
iegruik je een punten irafiek.
In het ieval van alle andere irafiekvormen: kies de kleinste waarde iets onder de kleinst
moielijk meetgare waarde en de irootst moielijke waarde iets goven de hooist meetgare
waarde.
Wanneer nodii dient er een leienda ieieven te worden (gij iegruik van kleuren en
derielijke).
Kwalitateve variagelen (nominale schaalverdelini) (zoals kleur) kunnen het geste worden
weerieieven met een staafdiairam of cirkeldiairam.
Een cirkeldiairam geiin je midden goven met de eerste sector.
Een eindstand variagele (31 decemger) zet je midden goven het jaar.
In een spreidinisdiairam ieef je irafisch de relate weer tussen twee kwanttateve variagelen.
Histogram
Kenmerken:
1. Y-as is altjd de frequentedichtheid (deze kriji je door de frequente te delen door de
fk
klassengreedte → ).
kb
2. Balken worden teien elkaar aan ieschoven.
3. De greedte van de galk wordt gepaald door de klassengreedte.
4. De hooite van de galk wordt gepaalde door frequentedichtheid.
Oppervlakte van de galk wordt dus gepaalde door klassengreedte ∙ frequentedichtheid.
Bij een histoiram moet je opleten dat je de onderirens wel meetelt maar de govenirens niet. Als er
gijvoorgeeld staat 30 < 60, dan gevat de galk die hiergij hoort 30 tot 60 (loiisch want er staat <).
2
,Hoofdstuk 3 (Centrummaten en spreidingsmaten)
Centrummaten
Gemiddelde
Gemiddelde gerekenen we door
∑ Xi
x́=
n
Waar x́ het iemiddelde is, ∑ X i de som van alle variagelen is en n het aantal waarnemen is (dus niet
de som van het aantal waarneminien).
Modus
De modus is de waarde die het vaakst in een populate of steekproef voorkomt. De uitkomst die het
vaakste voorkomt heef de hooiste frequente.
De mediaan
De mediaan is de middelste waarde. Om de mediaan te vinden moet je de variagelen sorteren van
hooi naar laai. Hierom moeten de variagelen minimaal een ordinale schaal heggen en kun je dus
alleen de mediaan gerekenen van kwanttateve variagelen.
Bij een even aantal waarneminien doe je het voliende: de helf van het ietal nemen en de
waarnemini die daarna komt daargij op tellen en deel dit vervoliens door twee.
(10+11) 21
Voorgeeld: mediaan van 20 = = = 10.5
2 2
Spreidingsmaten
Variatiebreedte/range/spreidingsbreedte
Dit is de greedte van de spreidini. Dit is hooiste waarde minus de laaiste waarde.
Afwijking/deviaties
Soms is het handii om te kijken hoeverre uitkomsten afwijken van het iemiddelde. Dit kunnen we
als volit gerekenen:
d i= X i−x ̅̅
Variantie
De variante is eiienlijk het kwadraat van de iemiddelde afwijkini van het iemiddelde (kwadraat
zodat we neiateve waarden kwijtraken).
Dit gerekenen we met de voliende formule:
2
∑ ( X i−x́ )2
σ =
n−1
Waarin:
σ 2 = het kwadraat van de standaardafwijkini is
∑ ( X i−x́ )2 = de som van het aantal waarneminien minus het iemiddelde in het kwadraat.
n−1 = het aantal waarneminien (dus niet de som van het aantal waarneminien) -1
Standaarddeviatie
3
,Met de wetenschap dat de variante eiienlijk de standaarddeviate in het kwadraat is, is het tamelijk
eenvoudii de standaarddeviate te gerekenen:
σ =√ σ 2
Stappenplan om σ te gerekenen:
1. Bereken het iemiddelde
2. Bereken de deviates en kwadrateer deze
3. Tel (sommeer) alle iekwadrateerde deviates
4. Deel de som van de iekwadrateerde deviates door het aantal waarneminien -1.
5. Neem de wortel van het quotint van govenstaande delini.
Enkele opmerkinien:
Bij een σ van 0 zit er ieen variate in de ietallenreeks. In dat ietal zijn alle ievonden
ietallen ielijk aan het iemiddelde.
De uitkomst van σ hanit af van de iegruikte eenheden. Soms is het daarom handii om de
iegruikte eenheden ielijk te trekken door σ te delen door de agsolute waarde (stappen tot
nul) van het iemiddelde. Je krijit dan de variatecoifciint, uitiedrukt als VC. Dit kan met
de voliende formule:
σ
VC =
¿ x́∨¿ ¿
4
,Hoofdstuk 4 (Maatstaven voor frequentieverdelingen)
Centrummaten gegroepeerde gegevens
Gemiddelde
Het iemiddelde van ieiroepeerde ieievens gerekenen we door de frequente f k te
vermeniivuldiien met klassenmidden m k en vervoliens de som te delen door de som van het aantal
waarneminien:
∑ mk ∙ f k
x́=
∑f k
Waarin:
m k = het midden van de klasse
f k = de frequente
∑ f k = de som van alle frequentes
Modale klasse
Bij ieiroepeerde iegruik je naast de term modus, ook de term modale klasse. Deze vind je door de
waarneminien te delen door de klassengreedte. Je vindt dan de frequentedichtheid. Vervoliens kijk
je welke klasse de meeste waarneminien heef, dit is dan de modale klasse. Het klassenmidden is
dan de modus.
De mediaan
De mediaan is de middelste waarnemini. Deze vinden we door eerst de mediale klasse te zoeken en
vervoliens daar de mediaan in te gepalen. Dit iegeurt met de voliende formule:
b
x me =L+ ( r−0.5 ) ∙
f
Waarin:
L = onderwaarde mediale klasse
r = het iezochte raninummer ginnen deze klasse (welke waarneminien er noi overglijven nadat je
het aantal waarneminien van de vooriaande klassen er af ietrokken hegt, hier neem je vervoliens
het iemiddelde van)
b = greedte mediale klasse
f = aantal waarneminien ginnen de mediale klasse
Spreidingsmaten bij gegroepeerde gegevens
De wijze van gereken van de variante en de standaarddeviate komt sterk overeen met die van losse
ieievens. Het eniie verschil is dat we hier rekenini moeten houden met het midden van de klassen.
De gerekenini iegeurt met de voliende formule:
√( )
2
∑ f k ( mi − x́ )
σ=
∑ f k −1
Waarin:
f k = de frequente
m i = het midden van de klasse
5
,∑ f k = de som van alle frequentes
Hoofdstuk 8 (De normale verdeling)
Een variagele die wordt gepaald door het toeval heet een kansvariagele.
De gekendste contnue variagele (zie H1) is de normaal verdeelde variagele. De irafiek voor de
functe die daar gij hoort ziet er altjd als volit uit:
Waar μ staat voor het midden en σ voor de standaarddeviate.
De gekendste vorm is de standaardnormale verdelini. Hiervoor ieldt:
μ=0
σ =1
Tagel kun je vinden achter in het goek.
De waarden in de irafiek kun je omzeten naar een percentaie door ze maal 100 te doen.
Tevens ieldt dat de x-as in totaal 1 is (100%).
Als je waarden iegruikt waarvoor ieldt dat het midden ( μ) ielijk is aan 0 en waarvoor ieldt dat de
standaarddeviate (σ ) ielijk is aan 1, kun je de tagel zonder proglemen iegruiken.
Je zeit dan simpelwei (gijvoorgeeld):
P(z >1.53)
Het is nu eenvoudiiwei .03 opzoeken in de kolom/rij comginate van 1.5 in govenstaande tagel. Dit
ieef z=0.0630
Voor P( z <1.53) ieldt iets anders:
Eiienlijk staat hier:
P ( 1−0.0630 ) =0.9370
Je rekent hier uit hoe iroot de kans is dat je onder 1.53 uitkomt. Omdat de iehele lijn 1 (de kans dat
je eriens uitkomt is 1, 100%) is en de kans om goven 1.53 uit te komen weten we.
Om dus het stuk daartussen te gerekenen trekken we de kans 1.53 van 1 af. Dit is geter te geirijpen
als we het in percentaies weerieven:
6
,100 %−6.3 %=93.7 %
De kans om onder de 1.53 uit te komen is dus 93.7%.
Waarden voor μ en σ anders
Zijn μ en σ echter verschillend, dan moet je deze eerst omrekenen. Dit iegeurt met de voliende
formule:
g−μ
z=
σ
Waarin:
g = de waarde waarvoor je de kans wilt gerekenen
μ = het midden
σ = de standaarddeviate
Als je de kans weet maar de g waarde niet weet kun je dit oplossen door de voliende verielijkini op
g−μ
te lossen: z=
σ
z=10
μ = 15
σ =8
ieef:
g−15
10=
8
80=g−15
−g=−95
g=95
Gemiddelde van groepjes waarnemingen
Vaak worden er irote aantallen waarneminien iedaan voor dezelfde variagele. Hiervoor gerekenen
we het iemiddelde. Het iemiddelde van een aantal onzekere uitkomsten is echter zelf een onzekere
irootheid. Hiervoor moeten we dus de standaarddeviate gerekenen:
σ1
σ 2=
√n
Je gerekent nu de z waarde met govenstaande σ 2.
Hoofdstuk 15 (Associatie)
Toont het vergand tussen variagelen met een nominale schaal.
Maatstaaf van Yule
Associate gerekenen we met de maatstaaf van Yule (“Yules Q”):
A ∙ D−B∙ C
Q=
A ∙ D+B ∙ C
Je vindt A, B, C en D door de kolommen in een 2x2 kruistagel door te A en B van links naar rechts
voor de govenste waarden en C en D te nemen van links naar rechts voor de onderste waarden.
De waarde die hier uitkomt liit altjd tussen de -1 en +1. Hiervoor ieldt dat -1 een perfect neiatef
vergand en +1 een perfect positef vergand toont tussen de variagelen.
Relatief risico
Het relateve risico reken je uit door eerst de relateve frequente uit te rekenen:
7
, a c
voor de ene helf en voor de andere helf van de tagel.
a+b c+ d
Vervoliens kriji je het relateve risico (aanieven met RR) door govenstaande quotinten te delen
met de hooiste waarde in de teller.
H16 (De regressielijn)
Een reiressielijn toont de verganden tussen variagelen met gehulp van een lijn.
Belanirijk om rekenini mee te houden tjdens de gerekenini van de lijn is dat ieldt:
X = oorzaak (de onafankelijke variagele)
Y = ievoli (de afankelijke variagele)
We gerekenen de lijn met de standaardvorm van een lineaire verielijkini in ons achterhoofd:
y=a+bx +c (Y =α + βX + ϵ)
Een lineair vergand van de variagele Y met één verklarende variagele wordt enkelvoudii lineair
reiressiemodel ienoemd. Deze term ieef aan dat we maar één verklarende variagele voor X
heggen.
8
,Net als dat je gij een lineaire verielijkini een irafiek tekent op gasis van een klein aantal ieievens,
doe je dat ook met een reiressielijn. Daarvoor iegruiken we de voliende formules:
n ∑ X i Y i −∑ X i ∙∑Y i
b=
n ∑ X 2i −( ∑ X i )2
a= ý−bx ̅̅
Vervoliens glijf ielden (er is ieen c ):
y=a+bx
Wanneer je een voorspellini wilt doen voor een gepaalde variagele vul je die in voor x . Dit ieef je
als volit weer:
y c =a+bx
Het is minder handii om een reiressielijn te gerekenen over een variagele die guiten het gerekende
iegied liit (de steekproef).
Hoofdstuk 17 (Correlatie)
Het vergand aantonen tussen kwanttateve variagelen.
Berekenen van kwadranten
1. Bereken het punt ( x́ , ý ). Dit heet het zwaartepunt. Dit zou je kunnen geschouwen als het
midden van de puntenwolk.
2. Verdeel de irafiek in vier delen door vanuit punt ( x́ , ý ) een horizontale en vertcale lijn te
tekenen. Dit worden de vier kwadranten ienoemd. Teien de klok in, geiinnend rechtsgoven
tel je vier kwadranten.
3. Als er ieen of weinii vergand (“correlate”) tussen de variagelen is, dan hoort het in elk vlak
onieveer even druk te zijn.
De correlatiecoëfciënt
9
, Er is een manier om de correlate tussen variagelen aan te ieven met een ietal. Dit noemen we de
correlatecoifciint en ieven we aan met r . Hiervoor iegruiken we de voliende formule:
∑ X i Y i−n ∙ x́ ∙ ý
r=
√ ∑ X −n ( x́ ) √ ∑ Y −n ( ý )
2
i
2 2
i
2
De uitkomst van r is altjd een ietal tussen de -1 en +1. Bij -1 spreken we van een perfect neiateve
lineaire relate, gij +1 van een perfect positeve lineaire relate. Wanneer r ielijk is aan 0 is er ieen
relate.
Aandachtspunten
Eenheden spelen ieen rol, zolani de verhoudini maar hetzelfde is.
Voorgeeld:
80 8
= =0.08
1000 100
Bovenstaande is exact identek aan elkaar, de verhoudini is ielijk.
Zoals al ienoemd iaat correlate over kwanttateve variagelen. Variagelen met een nominale schaal
zijn dus per definite uitiesloten. Het liefst maken we iegruik van een ratoschaal maar een
intervalschaal volstaat ook.
Een krom vergand kan correlate aantonen hoewel dat soms op het eerste iezicht niet zo lijkt.
Eneriievergruik is hier een mooi voorgeeld van.
H19 (Voorspellen tijdreeksen)
Met het voortschrijdende iemiddelde (aanieieven met VG) kun je patronen in een reeks ietallen
progeren te herkennen door de schommelinien te matien. Dit gerekenen we met de voliende
formule:
∑Yi
VG Ym=
k
Waarin:
k = de iroepsiroote
VG Ym = VG is het voortschrijdend iemiddelde, Y m = het midden van Y i. Voor een even aantal
waarneminien komt daar dus een iegroken ietal te staan. Wil je dit niet dan moet je het midden
van twee VG’s gerekenen:
10
