Vakdidactiek Wiskunde:
(Les 1: 16/02 Didactische krachtlijnen gelinkt aan het algemeen didactisch model) openboek examen
dus notities nemen! -> Boek deel 1: inhoud, deel 2: didactiek.
Uitgangspunten wiskunde:
1) Focus op inzicht
2) Concreet naar abstract
3) Wiskundige activiteit
4) Relatie met leefwereld
5) Problemen oplossen
Terugkoppeling uitdagende leeromgeving: didactisch model: 9 didactische handvatten = 8
didactische krachtlijnen in wiskunde. Vanuit wiskundig perspectief ook kijken naar uitdagende
leeromgeving.
De 8 didactische krachtlijnen:
1) Betekenisvolle relaties:
Interesses! Bv. vraagstukken maken omtrent hun interesses zoals 1 playstation kost 100 euro maat ik
krijg 5% korting etc. Je moet het ook linken met hun leefwereld, dit geeft hun meer motivatie. llnen
moeten leren om rekenkundige probleemstelling uit het dagelijks leven om te zetten in een
rekenkundige formule. Verwiskundigen = llnen moeten het verband zien tussen het leergebied
wiskunde en de realiteit waaruit de wiskunde groeit en waarop ze van toepassing is. Een relatie met
de realiteit is nodig. Betrekken van de leefwereld, verhoogt de motivatie. Llnen leren hierdoor een
probleem analyseren door levensechte situaties te vertalen naar wiskundeproblemen. Door
betekenisvolle situaties aan te bieden, laat je je llnen het praktisch en maatschappelijk nut van
wiskunde ontdekken. Start je les vanuit een herkenbaar of reëel probleem (zoveel mgl afgestemd op
de leefwereld van de llnen.
2) Concreet – aanschouwelijk (schematisch) – abstract: (CSA- model)
Welke materialen ga je kiezen? Zeg iets over de opbouw van materiaalkeuze.
Concrete fase : Concreet= tastbare voorwerpen: het materiaal bestaat uit natura bv. eierendoos of
het materiaal staat in de plaats v een andere werkelijkheid; benadrukt het hoeveelheidsaspect. Bv 1
blokje = 1 bloem of het materiaal is gestructureerd rekenmateriaal; speciaal ontworpen om inzicht te
krijgen in specifieke leerinhouden en de verdelingen in eenheden is duidelijk zichtbaar. Bv MAB –
materiaal.
Schematische fase : Schematisch = tekeningen, schema’s, stappenplannen: ondersteunen het
denkproces en inzicht/ redeneringen verduidelijken en verhelderen. In de keuze van afbeelden is een
opbouw mgl: afbeeldingen van de werkelijkheid bv 10 noten tekenen of afbeeldingen die in de plaats
van staan van de werkelijkheid bv. 10 kruisjes = 10 auto’s of afbeeldingen van gestructureerd
rekenmateriaal bv. getekend MAB materiaal.
Abstracte fase: Abstract = zonder concreet materiaal – zonder schematische voorstelling: pas wnr
inzicht verworven is, wordt een concrete en schematische voorstelling overbodig. De abstracte
notatie al vermelden in de concrete en schematische fase. Niet wachten tot ze alle fases onder de
knie hebben. Uiteindelijke streefdoel: vlot te rekenen met getallen en symbolen en om het
getalbegrip te beheersen zonder te moeten terugvallen op schematische voorstellingen of op
concreet materiaal. Elke stap wordt eerst aangeleerd en ingeoefend: het correct interpreteren van
,een opgave, het omzetten naar een rekenhandeling, het uitrekenen ervan en het verkregen resultaat
als antwoord terugkoppelen naar de opgave.
Transfer v concreet en schematisch naar abstract bevorderen. Bv. eerst MAB materiaal en dan
overschakelen naar geestelijk, in de gedachten. !! concrete fase -> schematische fase -> abstracte
fase. Je stappen verwoorden is de lijm tussen de verschillende niveaus. Differentiëren en remediëren
is zeer belangrijk (ga na of ze het begrepen hebben door te vragen om de stappen te verwoorden).
Belangrijk dat de llnen als ze vastzitten teruggrijpen naar het vorige niveau, belangrijk dat ze zelf
handelen. Waarom gebruiken we het CSA model? Dit heeft alles te maken met de ontwikkeling van
het kind.
3) Handelingsniveau v Galperin:
Welke handelingen laat ik kinderen doen? Wat gaan de kinderen doen? We willen komen tot een
mentale handeling. Er zijn 5 fasen om handelijk inzichtelijk te verwerken (herkennen) :
1. Oriëntatie op de handeling = wat moet ik doen?
2. Materiele handeling = doen – spreken (vertellen wat ze doen) – tekenen:
llnen handelen met concreet materiaal en ze verwoorden onmiddellijk wat ze doen. Eerst handelen
met concreet materiaal daarna met schematisch materiaal = handelen op gematerialiseerd niveau =
het werken met afbeeldingen, modellen, schema’s waarin wiskundige kenm. Zijn weergegeven.
3. Perceptuele handeling = kijken – spreken:
De llnen handelen nu enkel via waarneming (de perceptie): de materialen of voorstellingen (concreet
of schematisch) gebruiken ze alleen om naar te kijken (kijkhandelingen).
4. Verbale handeling = spreken:
De lln zegt luidop hoe hij redeneert, maar zonder gebruik te maken van concrete voorwerpen of
voorstellingen. Je vraagt dus aan de llnen om te verwoorden hoe ze de oefening opgelost hebben.
5. Mentale handeling = denken, handeling gebeurt mentaal: weinig sturing
4) Inzichtelijke aanpak:
Betekenis geven aan begrippen. Inzichtelijke aanpak = de llnen de betekenis van het begrip zelf en
alle deelhandelingen in de redenering begrijpen. Wnr ze snappen wat ze doen, krijgen ze ook meer
vertrouwen in hun eigen redeneringsvermogen. Begrippen kaderen in de leerlijn, om zo de nodige
voorkennis te activeren en zo vind dit nieuwe gegeven direct een plaatsje in het geleerde (=
integratie). Regelmatig herhalen en visueel voorstellen helpt om de transfer te bevorderen. Je les
moet inzichtelijk opgebouwd zijn: voorzie een goede opbouw in de keuze (CSA en
handelingsniveaus).
5) Belang van concreet wiskundig verwoorden:
Vakterminologie! Begrippen juist gebruiken, niet denken dat woordenschat te moeilijk is. Deze moet
naar je llnen toe consequent en correct zijn. Wnr je vaste verwoordingen systematisch hanteert ->
hulp zijn oplossingsmethode te verwerven bij het automatiseren. Bv. maalbegrip: 3 groepjes van 6, 3
keer 6, 3 maal 6 en dan 3 x 6. De oorsprong of analyse van een woord kan tot begrip leiden bv.
procent. Geleidelijk aan moeten ze overschakelen van spreektaal naar vaktaal.
6) Automatiseren – memoriseren:
Paraat kennen van rekenfeiten (bv. tafels), spontaan kunnen toepassen van rekenmethoden en
formules. -> ze moeten deze automatiseren = dan begrijp je de logica erachter Memoriseren=
vanbuiten geleerd. !! Leerlijn voor het automatiseren:
, - Bereken eerst de te kennen oefeningen op een inzichtelijke manier, maak gebruik van
materiaal en schema’s, verwoord de denkstappen, noteer tussenstappen.
- Maak veel oefeningen, zodat ze dit steeds sneller en sneller kunnen. Bij problemen ->
teruggaan naar de inzichtelijke berekening. Varieer in werkvormen om ze de motivatie hoog
te houden. Hou een balans tussen oefenen op snelheid en op juistheid.
- Regelmatig te oefenen en door de snelheid op te drijven worden de berekeningen
geautomatiseerd en zijn de antwoorden paraat gekend (bv. tafels)
7) Inductief werken
Ontdekken van patronen en wetmatigheden. Inductief werken = werk je van het bijzondere naar het
algemene. Je vertrekt vanuit concrete voorbeelden. -> deze onderzoeken en analyseren met de llnen
zodat ze patronen en wetmatigheden ontdekken en formuleren. En dan van daaruit een algemeen
begrip, een algemene regel of principe omschrijven. En die dan toepassen in verschillende nieuwe
contexten. De keuze van de voorbeelden is heel belangrijk!! Alle variaties die binnen de regel horen
en gekend moeten zijn, komen aan bod. Deductief werken = vertrek je van de regel en ga je hierop
oefeningen maken. -> op de foutieve manier de basis gelegd! Bij het zelf opbouwen kunnen ze vanuit
het ene inzicht naar het andere inzicht gaan. Bouw op een inductieve manier leerinhouden op!
8) Gebruik v verhoudingstabellen:
Schematische voorstellingswijze, nuttig om dingen te vergelijken. Gebruik: wnr je de hoeveelheid in
een grootheid vergelijkt met de hoeveelheid in een andere grootheid, en je daarmee wilt rekenen.
Deze grootheden kunnen dezelfde zijn, maar ook verschillend. Didactische aandachtspunten!: 1)
benoem de grootheden en de eenheden in de tabel. Zo blijf je bewust van de betekenis van de
verhoudingen die letterlijk per kolom in de tabel af te lezen zijn. 2) Zet ze ook altijd in een aparte
kolom of rij. Waar je de eenheden benoemt hangt af v de situatie: bij omzetting is het wenselijk om
de eenheden bij het maatgetal te noteren. Bij geen omzettingen kun je de eenheid bij de grootheid
noteren. 3) Noteer de herleiding in de tabel, om zo het rekenwerk te vergemakkelijken. 4)
chronologie is van belang, een toe- en afname impliceert altijd een eerdere situatie met een huidige
waartussen iets is gebeurd. Bij percentages is al een verhouding dus niet zo noteren in tabel. Noteer
het als uitwerking. Bv. 30% korting is 30 euro korting per 100 euro -> dus 3 euro per 10 euro. 5) het
werkt heel inzichtelijk als de llnen zelf de tabellen kunnen opbouwen. Geleidelijkheidsprincipe = eerst
tabellen geven waarbij de titels al vooraf zijn ingevuld, daarna geef je ze enkel een blanco kader en
achteraf moeten ze zelf een tabel opstellen.
(Les 1: 16/02 Didactische krachtlijnen gelinkt aan het algemeen didactisch model) openboek examen
dus notities nemen! -> Boek deel 1: inhoud, deel 2: didactiek.
Uitgangspunten wiskunde:
1) Focus op inzicht
2) Concreet naar abstract
3) Wiskundige activiteit
4) Relatie met leefwereld
5) Problemen oplossen
Terugkoppeling uitdagende leeromgeving: didactisch model: 9 didactische handvatten = 8
didactische krachtlijnen in wiskunde. Vanuit wiskundig perspectief ook kijken naar uitdagende
leeromgeving.
De 8 didactische krachtlijnen:
1) Betekenisvolle relaties:
Interesses! Bv. vraagstukken maken omtrent hun interesses zoals 1 playstation kost 100 euro maat ik
krijg 5% korting etc. Je moet het ook linken met hun leefwereld, dit geeft hun meer motivatie. llnen
moeten leren om rekenkundige probleemstelling uit het dagelijks leven om te zetten in een
rekenkundige formule. Verwiskundigen = llnen moeten het verband zien tussen het leergebied
wiskunde en de realiteit waaruit de wiskunde groeit en waarop ze van toepassing is. Een relatie met
de realiteit is nodig. Betrekken van de leefwereld, verhoogt de motivatie. Llnen leren hierdoor een
probleem analyseren door levensechte situaties te vertalen naar wiskundeproblemen. Door
betekenisvolle situaties aan te bieden, laat je je llnen het praktisch en maatschappelijk nut van
wiskunde ontdekken. Start je les vanuit een herkenbaar of reëel probleem (zoveel mgl afgestemd op
de leefwereld van de llnen.
2) Concreet – aanschouwelijk (schematisch) – abstract: (CSA- model)
Welke materialen ga je kiezen? Zeg iets over de opbouw van materiaalkeuze.
Concrete fase : Concreet= tastbare voorwerpen: het materiaal bestaat uit natura bv. eierendoos of
het materiaal staat in de plaats v een andere werkelijkheid; benadrukt het hoeveelheidsaspect. Bv 1
blokje = 1 bloem of het materiaal is gestructureerd rekenmateriaal; speciaal ontworpen om inzicht te
krijgen in specifieke leerinhouden en de verdelingen in eenheden is duidelijk zichtbaar. Bv MAB –
materiaal.
Schematische fase : Schematisch = tekeningen, schema’s, stappenplannen: ondersteunen het
denkproces en inzicht/ redeneringen verduidelijken en verhelderen. In de keuze van afbeelden is een
opbouw mgl: afbeeldingen van de werkelijkheid bv 10 noten tekenen of afbeeldingen die in de plaats
van staan van de werkelijkheid bv. 10 kruisjes = 10 auto’s of afbeeldingen van gestructureerd
rekenmateriaal bv. getekend MAB materiaal.
Abstracte fase: Abstract = zonder concreet materiaal – zonder schematische voorstelling: pas wnr
inzicht verworven is, wordt een concrete en schematische voorstelling overbodig. De abstracte
notatie al vermelden in de concrete en schematische fase. Niet wachten tot ze alle fases onder de
knie hebben. Uiteindelijke streefdoel: vlot te rekenen met getallen en symbolen en om het
getalbegrip te beheersen zonder te moeten terugvallen op schematische voorstellingen of op
concreet materiaal. Elke stap wordt eerst aangeleerd en ingeoefend: het correct interpreteren van
,een opgave, het omzetten naar een rekenhandeling, het uitrekenen ervan en het verkregen resultaat
als antwoord terugkoppelen naar de opgave.
Transfer v concreet en schematisch naar abstract bevorderen. Bv. eerst MAB materiaal en dan
overschakelen naar geestelijk, in de gedachten. !! concrete fase -> schematische fase -> abstracte
fase. Je stappen verwoorden is de lijm tussen de verschillende niveaus. Differentiëren en remediëren
is zeer belangrijk (ga na of ze het begrepen hebben door te vragen om de stappen te verwoorden).
Belangrijk dat de llnen als ze vastzitten teruggrijpen naar het vorige niveau, belangrijk dat ze zelf
handelen. Waarom gebruiken we het CSA model? Dit heeft alles te maken met de ontwikkeling van
het kind.
3) Handelingsniveau v Galperin:
Welke handelingen laat ik kinderen doen? Wat gaan de kinderen doen? We willen komen tot een
mentale handeling. Er zijn 5 fasen om handelijk inzichtelijk te verwerken (herkennen) :
1. Oriëntatie op de handeling = wat moet ik doen?
2. Materiele handeling = doen – spreken (vertellen wat ze doen) – tekenen:
llnen handelen met concreet materiaal en ze verwoorden onmiddellijk wat ze doen. Eerst handelen
met concreet materiaal daarna met schematisch materiaal = handelen op gematerialiseerd niveau =
het werken met afbeeldingen, modellen, schema’s waarin wiskundige kenm. Zijn weergegeven.
3. Perceptuele handeling = kijken – spreken:
De llnen handelen nu enkel via waarneming (de perceptie): de materialen of voorstellingen (concreet
of schematisch) gebruiken ze alleen om naar te kijken (kijkhandelingen).
4. Verbale handeling = spreken:
De lln zegt luidop hoe hij redeneert, maar zonder gebruik te maken van concrete voorwerpen of
voorstellingen. Je vraagt dus aan de llnen om te verwoorden hoe ze de oefening opgelost hebben.
5. Mentale handeling = denken, handeling gebeurt mentaal: weinig sturing
4) Inzichtelijke aanpak:
Betekenis geven aan begrippen. Inzichtelijke aanpak = de llnen de betekenis van het begrip zelf en
alle deelhandelingen in de redenering begrijpen. Wnr ze snappen wat ze doen, krijgen ze ook meer
vertrouwen in hun eigen redeneringsvermogen. Begrippen kaderen in de leerlijn, om zo de nodige
voorkennis te activeren en zo vind dit nieuwe gegeven direct een plaatsje in het geleerde (=
integratie). Regelmatig herhalen en visueel voorstellen helpt om de transfer te bevorderen. Je les
moet inzichtelijk opgebouwd zijn: voorzie een goede opbouw in de keuze (CSA en
handelingsniveaus).
5) Belang van concreet wiskundig verwoorden:
Vakterminologie! Begrippen juist gebruiken, niet denken dat woordenschat te moeilijk is. Deze moet
naar je llnen toe consequent en correct zijn. Wnr je vaste verwoordingen systematisch hanteert ->
hulp zijn oplossingsmethode te verwerven bij het automatiseren. Bv. maalbegrip: 3 groepjes van 6, 3
keer 6, 3 maal 6 en dan 3 x 6. De oorsprong of analyse van een woord kan tot begrip leiden bv.
procent. Geleidelijk aan moeten ze overschakelen van spreektaal naar vaktaal.
6) Automatiseren – memoriseren:
Paraat kennen van rekenfeiten (bv. tafels), spontaan kunnen toepassen van rekenmethoden en
formules. -> ze moeten deze automatiseren = dan begrijp je de logica erachter Memoriseren=
vanbuiten geleerd. !! Leerlijn voor het automatiseren:
, - Bereken eerst de te kennen oefeningen op een inzichtelijke manier, maak gebruik van
materiaal en schema’s, verwoord de denkstappen, noteer tussenstappen.
- Maak veel oefeningen, zodat ze dit steeds sneller en sneller kunnen. Bij problemen ->
teruggaan naar de inzichtelijke berekening. Varieer in werkvormen om ze de motivatie hoog
te houden. Hou een balans tussen oefenen op snelheid en op juistheid.
- Regelmatig te oefenen en door de snelheid op te drijven worden de berekeningen
geautomatiseerd en zijn de antwoorden paraat gekend (bv. tafels)
7) Inductief werken
Ontdekken van patronen en wetmatigheden. Inductief werken = werk je van het bijzondere naar het
algemene. Je vertrekt vanuit concrete voorbeelden. -> deze onderzoeken en analyseren met de llnen
zodat ze patronen en wetmatigheden ontdekken en formuleren. En dan van daaruit een algemeen
begrip, een algemene regel of principe omschrijven. En die dan toepassen in verschillende nieuwe
contexten. De keuze van de voorbeelden is heel belangrijk!! Alle variaties die binnen de regel horen
en gekend moeten zijn, komen aan bod. Deductief werken = vertrek je van de regel en ga je hierop
oefeningen maken. -> op de foutieve manier de basis gelegd! Bij het zelf opbouwen kunnen ze vanuit
het ene inzicht naar het andere inzicht gaan. Bouw op een inductieve manier leerinhouden op!
8) Gebruik v verhoudingstabellen:
Schematische voorstellingswijze, nuttig om dingen te vergelijken. Gebruik: wnr je de hoeveelheid in
een grootheid vergelijkt met de hoeveelheid in een andere grootheid, en je daarmee wilt rekenen.
Deze grootheden kunnen dezelfde zijn, maar ook verschillend. Didactische aandachtspunten!: 1)
benoem de grootheden en de eenheden in de tabel. Zo blijf je bewust van de betekenis van de
verhoudingen die letterlijk per kolom in de tabel af te lezen zijn. 2) Zet ze ook altijd in een aparte
kolom of rij. Waar je de eenheden benoemt hangt af v de situatie: bij omzetting is het wenselijk om
de eenheden bij het maatgetal te noteren. Bij geen omzettingen kun je de eenheid bij de grootheid
noteren. 3) Noteer de herleiding in de tabel, om zo het rekenwerk te vergemakkelijken. 4)
chronologie is van belang, een toe- en afname impliceert altijd een eerdere situatie met een huidige
waartussen iets is gebeurd. Bij percentages is al een verhouding dus niet zo noteren in tabel. Noteer
het als uitwerking. Bv. 30% korting is 30 euro korting per 100 euro -> dus 3 euro per 10 euro. 5) het
werkt heel inzichtelijk als de llnen zelf de tabellen kunnen opbouwen. Geleidelijkheidsprincipe = eerst
tabellen geven waarbij de titels al vooraf zijn ingevuld, daarna geef je ze enkel een blanco kader en
achteraf moeten ze zelf een tabel opstellen.
