Samenvatting Fysica I: Hoofdstuk 8: Behoud en Energie

Hoofdstuk 8: Behoud van Energie
Conservatieve kracht (1) = Een kracht die arbeid verricht op een voorwerp dat
van punt a naar punt b beweegt en waarvan de verrichte arbeid alleen
afhankelijk is van de begin- en eindpositie v/h voorwerp en niet v/d gevolgde
baan.
Opbouw om aan te tonen dat de zwaartekracht een conservatieve kracht is:

- Men kan de zwaartekracht beschrijven a.d.h.v. 𝐹⃗ = 𝑚𝑔⃗ en de door de
zwaartekracht verrichte arbeid a.d.h.v. 𝑊𝐺 = 𝐹𝑑 = 𝑚𝑔ℎ voor een voorwerp
dat verticaal over een afstand ℎ valt.
- Stel nu een voorwerp dat, i.p.v. verticaal omhoog of omlaag beweegt, een
willekeurig traject in het (x, y)-vlak aflegt. Het voorwerp start op hoogte 𝑦1
en eindigt op hoogte 𝑦2 , waarbij ℎ = 𝑦2 − 𝑦1.
- Aangezien de zwaartekracht op het voorwerp met een willekeurig traject
niet meer evenwijdig loopt met de verplaatsing is de netto verrichte arbeid
2 2
1
𝐹𝐺 ∙ 𝑑𝑙⃗ = ∫ 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝑙⃗.
nu 𝑊𝐺 = ∫ ⃗⃗⃗⃗⃗ 1
- We definiëren nu 𝜙 = 180° − 𝜃, dit is de hoek
tussen 𝑑𝑙⃗ en zijn verticale component. Nu geldt
dus dat 𝑐𝑜𝑠𝜃 = −𝑐𝑜𝑠𝜙 en dat 𝑑𝑦 = 𝑑𝑙𝑐𝑜𝑠𝜙.
- Door de ene in de andere te substitueren krijgt
men dat 𝑑𝑦 = −𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝑙.
- Dit substitueren we dan weer in onze formule voor
2 2
arbeid 𝑊𝐺 = ∫ 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝑙⃗ = − ∫ 𝑚𝑔𝑑𝑦.
1 1
- De oplossing van deze integraal geeft ons de oplossing voor de arbeid →
𝑊𝐺 = −𝑚𝑔(𝑦1 − 𝑦2 ) wat aantoont dat de zwaartekracht een conservatieve
kracht is omdat de verrichte arbeid alleen afhankelijk is van de begin- en
eindpositie v/h voorwerp en niet v/d gevolgde baan.
Conservatieve kracht (2) = Een kracht waarvan de netto verrichte arbeid op een
voorwerp dat een willekeurige gesloten baan beschrijft gelijk is aan nul.
Veel krachten, zoals wrijvings-, trek- en drukkrachten, zijn niet-conservatieve
krachten omdat de arbeid die ze verrichten, afhangt v/d gevolgde baan.
Potentiële energie = De energie die samenhangt met krachten die afhankelijk
zijn v/d positie of ordening van voorwerpen t.o.v. hun omgeving. Elke soort
potentiële energie hangt samen met een conservatieve kracht.
Opbouw v/d potentiële energie ten gevolge v/d zwaartekracht:
- Om een voorwerp met massa 𝑚 verticaal op te tillen en zonder versnelling
te verplaatsen over een hoogte ℎ is een verticaal omhoog gerichte kracht
nodig die ten minste gelijk is aan het gewicht, 𝑚𝑔. Er moet dus arbeid
worden verricht die gelijk is aan de uitwendige kracht die wordt
uitgeoefend → 𝐹𝑢𝑖𝑡𝑤 = 𝑚𝑔.

1

, - De verrichte arbeid is dan
𝐹𝑢𝑖𝑡𝑤 ∙ 𝑑⃗ = 𝑚𝑔ℎ𝑐𝑜𝑠0° = 𝑚𝑔ℎ = 𝑚𝑔(𝑦2 − 𝑦1 ).
𝑊𝑢𝑖𝑡𝑤 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(Cos0° omdat de uitwendig uitgeoefende kracht in dezelfde richting als de
verplaatsing loopt.)
- Het voorwerp ondervindt ook zwaartekracht, waarvoor de verrichte arbeid
𝐹𝑍 ∙ 𝑑⃗ = 𝑚𝑔ℎ𝑐𝑜𝑠180° = −𝑚𝑔ℎ = −𝑚𝑔(𝑦2 − 𝑦1 ).
gelijk is aan 𝑊𝑍 = ⃗⃗⃗⃗⃗
(Cos180° omdat de uitwendig uitgeoefende kracht in tegengestelde richting
als de verplaatsing loopt.)
- Stel dat we het voorwerp nu van op een hoogte ℎ zouden laten vallen. Uit
de bewegingswetten kunnen we zeggen dat het voorwerp een snelheid
heeft van 𝑣 2 = 𝑣02 + 2𝑎(𝑥 − 𝑥0 ) = 2𝑔ℎ na het vallen v/e hoogte ℎ.
- Substitueren we dit in de formule voor translationele kinetische energie
1 1
dan krijgen we dat 𝐾 = 2 𝑚𝑣 2 = 2 𝑚2𝑔ℎ = 𝑚𝑔ℎ. Valt dit voorwerp dus op
een paal dan kan deze arbeid op de paal verrichten met een grootte
1 1
𝑊𝑛𝑒𝑡 = ∆𝐾 = 2 𝑚𝑣22 − 2 𝑚𝑣12 = 𝑚𝑔ℎ − 0 = 𝑚ℎ𝑔.
- Op de hoogte ℎ heeft het voorwerp dus de mogelijkheid om een hoeveelheid
arbeid te verrichten gelijk aan 𝑚𝑔ℎ, we kunnen dus zeggen dat de
verrichte arbeid bij het optillen v/e voorwerp wordt opgeslagen als
potentiële energie v/d zwaartekracht.
- De verandering in de potentiële energie 𝑈 in het zwaartekrachtveld
wanneer een voorwerp v/e hoogte 𝑦1 naar 𝑦2 wordt verplaatst is gelijk aan
de verrichte arbeid die door de netto uitwendige kracht wordt verricht
zonder dat er sprake is v/e versnelling,
ofwel ∆𝑈 = 𝑈2 − 𝑈1 = 𝑊𝑢𝑖𝑡𝑤 = 𝑚𝑔(𝑦2 − 𝑦1 ).
- De verandering in de potentiële energie 𝑈 in het zwaartekrachtveld kan
ook worden gedefinieerd als min de arbeid die door de zwaartekracht zelf
in het proces werd verricht, ofwel ∆𝑈 = 𝑈2 − 𝑈1 = −𝑊𝑍 = 𝑚𝑔(𝑦2 − 𝑦1 ).
Opbouw v/d potentiële energie in het algemeen:
- De verandering v/d potentiële energie ten gevolge v/d zwaartekracht
2
𝐹𝑍 ∙ 𝑑𝑙⃗.
kunnen we schrijven als ∆𝑈 = −𝑊𝑍 = − ∫ ⃗⃗⃗⃗⃗
1
- In het algemeen definiëren we de verandering v/d potentiële energie die
gekoppeld is aan een bepaalde conservatieve kracht 𝐹⃗ als min de arbeid die
2
door die kracht wordt verricht, ofwel ∆𝑈 = 𝑈2 − 𝑈1 = − ∫ 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑙⃗ = −𝑊.
1

Opbouw v/d potentiële energie als gevolg v/e elastische vervorming:
- Veronderstel een eenvoudige schroefveer waarvan de massa zo klein is dat
we die kunnen verwaarlozen. Wanneer de veer wordt samengedrukt en
vervolgens wordt losgelaten, kan deze arbeid verrichten op bv. een bal.




2