I. De bouwstenen (1-99)
1. Wiskundige taal, notaties en bewijzen (1-19)
1.1 Wiskundig taalgebruik
/
1.2 Notaties uit de verzamelingenleer
Aantal objecten die een geheel vormen -> Verzameling
De objecten van een verzameling -> Elementen
Lege verzameling: ∅
Singleton: (Verz. met juist één element): bv, {17}
Deelverzamelingen: A ⊂B (kan ook: A= { x ∈ B | x voldoet aan…}
Bv: E is de verzameling van de even natuurlijke getallen en definiëren we als volgt:
E= { x ∈ N | er bestaat een n ∈ N zo dat x=2n}
Unie: verzameling van alle elementen van A of B: ⋃
Doorsnede: verzameling van alle elementen van A en B: ∩
Verschil: verzameling van alle elementen van A die niet tot B behoren: \
1.3 Begrippen en notaties uit de logica
Implicatie: “Als p dan q” : p ⇒ q
→ De uitspraak is waar zolang q waar is, behalve als beide p en q vals zijn (- - wordt +)
Equivalentie: “p als en slechts als q” : p ⇔ q
→ De uitspraak is enkel waar als p én q beide waar of vals zijn
Kwantoren:
- Existentiële kwantor: ∃ (Er bestaat één of minstens één)
- Universele kwantor: ∀ (Voor alle)
Kwantoren ontkennen:
- Existentiële kwantor ontkennen:
het is niet waar dat ∃x ∈ … : …=... → ∀x ∈ … : …≠...
- Universele kwantor ontkennen:
het is niet waar dat ∀x ∈ … : …=... → ∃x ∈ … : …≠...
,1.4 Bewijzen
Directe bewijzen:
- Voor alle … geldt … → aan de hand van (basis) eigenschappen chronologisch
bewijzen (Stappen moeten in bepaalde volgorde en er wordt verder gebouwd op de
vorige stap)
- Er bestaat een … waarvoor geldt … → aan de hand van een voorbeeld aantonen dat
de stelling klopt
Bewijzen door gevalsonderscheid:
De stelling bewijzen door de verschillende mogelijkheden van de stelling te bewijzen; bv:
Voor elk geheel getal n is n(n+1) even, geval 1: n is even, geval 2: n is oneven
Bewijzen door contrapositie:
De stelling (in vorm van p ⇒ q) bewijzen door te zeggen (niet q) ⇒ (niet p)
Bewijzen uit het ongerijmde:
De stelling bewijzen door aan te tonen dat het tegengestelde van de stelling niet mogelijk is,
we veronderstellen dan dat de stelling onwaar is en zo een contradictie bewijzen van die
veronderstelling (waarvan we al wisten dat ze foutief is)
Bewijzen door (volledige inductie)
Inductie is eigenlijk een verzameling van bewijstechnieken die de waarheid van een
stelling voor alle elementen van een verzameling aantonen door gebruik te maken
van de onderliggende structuur van de verzameling. Deze methode bestaat uit 3
stappen:
- Basisstap: We tonen dat de stelling geldt voor 𝑛 = 1 (n is een willekeurig
getal)
- Inductiestap: De inductie hypothese opstellen (namelijk dat de uitspraak
klopt voor 𝑛) dan bewijzen we dat de uitspraak ook geldt voor (𝑛 + 1), vaak
in dat bewijs een deel vervangen door wat geldt voor n
- Conclussiestap: Deze stap is eerder formeel en kan in bijna elk geval
geschreven worden als “Omdat de basisstap en de inductiestap bewezen zijn,
geldt de uitspraak voor alle (natuurlijke/gehele/rationale/…) getallen
,2. De Getallenverzamelingen (19-58)
2.1 De getallenverzamelingen 𝑁, 𝑍 en 𝑄
De natuurlijke getallen 𝑁: de verzameling waarmee men aantallen telt, 𝑁 = {1, 2, 3, 4, 5...}
De gehele getallen 𝑍: 𝑁 uitgebreid met negatieve getallen, 𝑍 = {..., − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3,...}
De rationale getallen 𝑄: de verzameling van de “breuken”,
𝑛
𝑄 = { 𝑚 | 𝑛 ∈ 𝑍, 𝑚 ∈ 𝑍\{0} }
● Eigenschappen van de optelling in Q
1. De optelling is associatief d.w.z. ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑄: (𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧)
2. 0 is het neutraal element voor de optelling, d.w.z. ∀𝑥 ∈ 𝑄: 𝑥 + 0 = 𝑥 = 0 + 𝑥
3. ∀𝑥 ∈ 𝑄, ∃𝑦 ∈ 𝑄: 𝑥 + 𝑦 = 0 = 𝑦 + 𝑥
4. De optelling is commutatief d.w.z. ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑄: 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥
● Eigenschappen van de vermenigvuldiging in Q
5. De vermenigvuldiging is associatief d.w.z. ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑄0: (𝑥. 𝑦). 𝑧 = 𝑥. (𝑦. 𝑧)
6. 1 is het neutraal element voor de vermenigvuldiging, d.w.z. ∀𝑥 ∈𝑄0: 𝑥. 1 = 𝑥 = 1. 𝑥
7. ∀𝑥 ∈ 𝑄0, ∃𝑦 ∈ 𝑄0𝑥. 𝑦 = 1 = 𝑦. 𝑥
8. De vermenigvuldiging is commutatief d.w.z. ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑄0: 𝑥. 𝑦 = 𝑦. 𝑥)
● Eigenschappen die de optelling met de vermenigvuldiging verbindt
9. De vermenigvuldiging is distributief t.o.v. de optelling d.w.z.
∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑄: 𝑥(𝑦 + 𝑧) = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧
● Eigenschappen die de bewerkingen verbinden met de orde
10. ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑄: 𝑥 ≤ 𝑦 ⇒ 𝑥 + 𝑧 ≤ 𝑦 + 𝑧
11. ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑄: (𝑥 ≤ 𝑦 𝑒𝑛 0 ≤ 𝑧) ⇒ 𝑥𝑧 ≤ 𝑦𝑧
Eigenschappen 1-11 tonen ons dat Q een geordend veld is en een dichte geordende
verzameling.
Minimum: kleinste element van een verzameling
Maximum: grootste element van een verzameling
, Majorant: de bovengrens van een verzameling
Minorant: de ondergrens van een verzameling
Infinum: grootste ondergrens
Supremum: kleinste bovengrens
2.2 De reële getallen 𝑅
De reële getallen R: de verzameling die de “ontbrekende suprema” toevoegt aan Q
Alle eigenschappen van Q zijn geldig (Q wordt dan uiteraard vervangen door R) met dan
nog een bijkomende twaalfde eigenschap:
12. 𝑅 heeft de supremum-eigenschap, d.w.z. Elke niet-lege naar boven begrensde
deelverzameling van 𝑅 heeft een supremum.
𝑛
𝑛 𝑛−𝑘 𝑘
Binomium van Newton: ∑ ( 𝑘 )𝑎 .𝑏 (Geen breuk, gewoon n en eronder k, kon niet anders noteren)
𝑘=0
𝑛 𝑛!
Waarin ( 𝑘 ) = 𝑘!(𝑛−𝑘)!
= (binomiaalcoëfficiënt) (Tweede is wel een breuk)
en 𝑚! = 1. 2. 3. ... . (𝑚 − 1)𝑚 𝑎𝑙𝑠 𝑚 ∈ 𝑁\{0} 𝑒𝑛 0! = 1
(Makkelijk op te lossen met trukje van Dumpy De Wit)
Absolute waarde in R: voor een reëel getal a definiëren we de absolute waarde als
|𝑎| = { 𝑎 𝑎𝑙𝑠 𝑎 ≥ 0,
{− 𝑎 𝑎𝑙𝑠 𝑎＜0.
De afstand in R: de afstand tussen x en y definiëren we als |𝑥 − 𝑦|.
Eerste (1,2) en tweede (3) driehoeksongelijkheid:
1. 𝑉𝑜𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 𝑖𝑠 |𝑎 + 𝑏| ≤ |𝑎| + |𝑏|.
2. 𝑉𝑜𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅 𝑖𝑠 |𝑥 − 𝑦| ≤ |𝑥 − 𝑧| + |𝑧 − 𝑦|.
3. 𝑉𝑜𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 𝑖𝑠 ||𝑎| − |𝑏|| ≤ |𝑎 − 𝑏|.
Een interval in R: een niet-lege deelverzameling waar elk element van R dat tussen twee
elementen van een gegeven interval liggen, tot dat interval behoren.
Open deelverzameling van R: we noemen A open als A leeg is of als er rond elk punt
𝑎 ∈ 𝐴 een open interval bestaat dat helemaal in A ligt: ]𝑎 − δ, 𝑎 + δ[ ⊆ 𝐴
Gesloten deelverzameling van R: 𝑅\𝐴 open is
Een halfopen interval is noch open noch gesloten: bv. [− 1, 5[
𝑛
2.3 De ruimte 𝑅
1. Wiskundige taal, notaties en bewijzen (1-19)
1.1 Wiskundig taalgebruik
/
1.2 Notaties uit de verzamelingenleer
Aantal objecten die een geheel vormen -> Verzameling
De objecten van een verzameling -> Elementen
Lege verzameling: ∅
Singleton: (Verz. met juist één element): bv, {17}
Deelverzamelingen: A ⊂B (kan ook: A= { x ∈ B | x voldoet aan…}
Bv: E is de verzameling van de even natuurlijke getallen en definiëren we als volgt:
E= { x ∈ N | er bestaat een n ∈ N zo dat x=2n}
Unie: verzameling van alle elementen van A of B: ⋃
Doorsnede: verzameling van alle elementen van A en B: ∩
Verschil: verzameling van alle elementen van A die niet tot B behoren: \
1.3 Begrippen en notaties uit de logica
Implicatie: “Als p dan q” : p ⇒ q
→ De uitspraak is waar zolang q waar is, behalve als beide p en q vals zijn (- - wordt +)
Equivalentie: “p als en slechts als q” : p ⇔ q
→ De uitspraak is enkel waar als p én q beide waar of vals zijn
Kwantoren:
- Existentiële kwantor: ∃ (Er bestaat één of minstens één)
- Universele kwantor: ∀ (Voor alle)
Kwantoren ontkennen:
- Existentiële kwantor ontkennen:
het is niet waar dat ∃x ∈ … : …=... → ∀x ∈ … : …≠...
- Universele kwantor ontkennen:
het is niet waar dat ∀x ∈ … : …=... → ∃x ∈ … : …≠...
,1.4 Bewijzen
Directe bewijzen:
- Voor alle … geldt … → aan de hand van (basis) eigenschappen chronologisch
bewijzen (Stappen moeten in bepaalde volgorde en er wordt verder gebouwd op de
vorige stap)
- Er bestaat een … waarvoor geldt … → aan de hand van een voorbeeld aantonen dat
de stelling klopt
Bewijzen door gevalsonderscheid:
De stelling bewijzen door de verschillende mogelijkheden van de stelling te bewijzen; bv:
Voor elk geheel getal n is n(n+1) even, geval 1: n is even, geval 2: n is oneven
Bewijzen door contrapositie:
De stelling (in vorm van p ⇒ q) bewijzen door te zeggen (niet q) ⇒ (niet p)
Bewijzen uit het ongerijmde:
De stelling bewijzen door aan te tonen dat het tegengestelde van de stelling niet mogelijk is,
we veronderstellen dan dat de stelling onwaar is en zo een contradictie bewijzen van die
veronderstelling (waarvan we al wisten dat ze foutief is)
Bewijzen door (volledige inductie)
Inductie is eigenlijk een verzameling van bewijstechnieken die de waarheid van een
stelling voor alle elementen van een verzameling aantonen door gebruik te maken
van de onderliggende structuur van de verzameling. Deze methode bestaat uit 3
stappen:
- Basisstap: We tonen dat de stelling geldt voor 𝑛 = 1 (n is een willekeurig
getal)
- Inductiestap: De inductie hypothese opstellen (namelijk dat de uitspraak
klopt voor 𝑛) dan bewijzen we dat de uitspraak ook geldt voor (𝑛 + 1), vaak
in dat bewijs een deel vervangen door wat geldt voor n
- Conclussiestap: Deze stap is eerder formeel en kan in bijna elk geval
geschreven worden als “Omdat de basisstap en de inductiestap bewezen zijn,
geldt de uitspraak voor alle (natuurlijke/gehele/rationale/…) getallen
,2. De Getallenverzamelingen (19-58)
2.1 De getallenverzamelingen 𝑁, 𝑍 en 𝑄
De natuurlijke getallen 𝑁: de verzameling waarmee men aantallen telt, 𝑁 = {1, 2, 3, 4, 5...}
De gehele getallen 𝑍: 𝑁 uitgebreid met negatieve getallen, 𝑍 = {..., − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3,...}
De rationale getallen 𝑄: de verzameling van de “breuken”,
𝑛
𝑄 = { 𝑚 | 𝑛 ∈ 𝑍, 𝑚 ∈ 𝑍\{0} }
● Eigenschappen van de optelling in Q
1. De optelling is associatief d.w.z. ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑄: (𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧)
2. 0 is het neutraal element voor de optelling, d.w.z. ∀𝑥 ∈ 𝑄: 𝑥 + 0 = 𝑥 = 0 + 𝑥
3. ∀𝑥 ∈ 𝑄, ∃𝑦 ∈ 𝑄: 𝑥 + 𝑦 = 0 = 𝑦 + 𝑥
4. De optelling is commutatief d.w.z. ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑄: 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥
● Eigenschappen van de vermenigvuldiging in Q
5. De vermenigvuldiging is associatief d.w.z. ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑄0: (𝑥. 𝑦). 𝑧 = 𝑥. (𝑦. 𝑧)
6. 1 is het neutraal element voor de vermenigvuldiging, d.w.z. ∀𝑥 ∈𝑄0: 𝑥. 1 = 𝑥 = 1. 𝑥
7. ∀𝑥 ∈ 𝑄0, ∃𝑦 ∈ 𝑄0𝑥. 𝑦 = 1 = 𝑦. 𝑥
8. De vermenigvuldiging is commutatief d.w.z. ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑄0: 𝑥. 𝑦 = 𝑦. 𝑥)
● Eigenschappen die de optelling met de vermenigvuldiging verbindt
9. De vermenigvuldiging is distributief t.o.v. de optelling d.w.z.
∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑄: 𝑥(𝑦 + 𝑧) = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧
● Eigenschappen die de bewerkingen verbinden met de orde
10. ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑄: 𝑥 ≤ 𝑦 ⇒ 𝑥 + 𝑧 ≤ 𝑦 + 𝑧
11. ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑄: (𝑥 ≤ 𝑦 𝑒𝑛 0 ≤ 𝑧) ⇒ 𝑥𝑧 ≤ 𝑦𝑧
Eigenschappen 1-11 tonen ons dat Q een geordend veld is en een dichte geordende
verzameling.
Minimum: kleinste element van een verzameling
Maximum: grootste element van een verzameling
, Majorant: de bovengrens van een verzameling
Minorant: de ondergrens van een verzameling
Infinum: grootste ondergrens
Supremum: kleinste bovengrens
2.2 De reële getallen 𝑅
De reële getallen R: de verzameling die de “ontbrekende suprema” toevoegt aan Q
Alle eigenschappen van Q zijn geldig (Q wordt dan uiteraard vervangen door R) met dan
nog een bijkomende twaalfde eigenschap:
12. 𝑅 heeft de supremum-eigenschap, d.w.z. Elke niet-lege naar boven begrensde
deelverzameling van 𝑅 heeft een supremum.
𝑛
𝑛 𝑛−𝑘 𝑘
Binomium van Newton: ∑ ( 𝑘 )𝑎 .𝑏 (Geen breuk, gewoon n en eronder k, kon niet anders noteren)
𝑘=0
𝑛 𝑛!
Waarin ( 𝑘 ) = 𝑘!(𝑛−𝑘)!
= (binomiaalcoëfficiënt) (Tweede is wel een breuk)
en 𝑚! = 1. 2. 3. ... . (𝑚 − 1)𝑚 𝑎𝑙𝑠 𝑚 ∈ 𝑁\{0} 𝑒𝑛 0! = 1
(Makkelijk op te lossen met trukje van Dumpy De Wit)
Absolute waarde in R: voor een reëel getal a definiëren we de absolute waarde als
|𝑎| = { 𝑎 𝑎𝑙𝑠 𝑎 ≥ 0,
{− 𝑎 𝑎𝑙𝑠 𝑎＜0.
De afstand in R: de afstand tussen x en y definiëren we als |𝑥 − 𝑦|.
Eerste (1,2) en tweede (3) driehoeksongelijkheid:
1. 𝑉𝑜𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 𝑖𝑠 |𝑎 + 𝑏| ≤ |𝑎| + |𝑏|.
2. 𝑉𝑜𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅 𝑖𝑠 |𝑥 − 𝑦| ≤ |𝑥 − 𝑧| + |𝑧 − 𝑦|.
3. 𝑉𝑜𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 𝑖𝑠 ||𝑎| − |𝑏|| ≤ |𝑎 − 𝑏|.
Een interval in R: een niet-lege deelverzameling waar elk element van R dat tussen twee
elementen van een gegeven interval liggen, tot dat interval behoren.
Open deelverzameling van R: we noemen A open als A leeg is of als er rond elk punt
𝑎 ∈ 𝐴 een open interval bestaat dat helemaal in A ligt: ]𝑎 − δ, 𝑎 + δ[ ⊆ 𝐴
Gesloten deelverzameling van R: 𝑅\𝐴 open is
Een halfopen interval is noch open noch gesloten: bv. [− 1, 5[
𝑛
2.3 De ruimte 𝑅
