Universität Ulm Prof. Dr. Dall’Acqua
Lukas Niebel
Abgabe und Besprechung: WS 22/23
17.11.22, 14:15 Uhr
O28 - H22 15 Punkte
Übungen zur Vorlesung Analysis I Blatt 4
1. Beweisen Sie die Gültigkeit der folgenden Summenformel für alle n ∈ N. (1)
n
! n2 (n + 1)2
k3 =
k=0
4
2. Es seien a ∈ R, a ∕= 0 und n, m ∈ Z. Zeigen Sie die Gültigkeit von (2)
an+m = an · am und (an )m = anm .
3. Es seien a, b ∈ N zwei natürliche Zahlen. Wir sagen a teilt b, falls eine weitere (1)
natürliche Zahl c ∈ N existiert, welche ac = b erfüllt.
Zeigen Sie, dass für alle n ∈ N die Zahl 17n − 13n stets durch 4 teilbar ist.
4. Schreiben Sie die folgenden Mengen als Vereinigung von Intervallen. Beweisen Sie (3)
ihre Behauptungen.
(i) A1 = {x ∈ R : 1 < x2 + 2x ≤ 4}
(ii) A2 = {x ∈ R : ||x + 1| − 2| ≤ x}.
(iii) A3 = {x ∈ R : |x + 2| > |x − 3|}.
5. Untersuchen Sie, ob folgende Teilmengen der reellen Zahlen nach oben oder nach (3)
unten beschränkt sind. Geben Sie, sofern existent, Infimum, Minimum, Maximum
und Supremum an. Beweisen Sie alle ihre Aussagen.
(i) M1 = {x ∈ R : x ≤ 0, x2 ≥ 2, x < 5}
1+(−1)n
(ii) M2 = { n+1
1
+ 2n
: n ∈ N}
(iii) M3 = {t + 1
t
: t ∈ (0, 4] ⊂ R}.
6. Beweisen oder Widerlegen Sie die folgenden Aussagen. (5)
1. Es gibt eine injektive Funktion f : Z → N.
2. Jede Abzählbare Teilmenge der reellen Zahlen besitzt entweder Supremum
oder Infimum.
3. Sei a ∈ R, derart, dass für alle ε > 0 schon |a − 5| < ε gilt, dann folgt a = 5.
√
4. Die Menge A = {( 5 + k)/2 : k ∈ N} ∪ N ist überabzählbar.
5. Ist p ∈ N so, dass p2 gerade ist, dann ist notwendigerweise p gerade.
Die Übungsblätter sowie aktuelle Informationen sind unter folgender Adresse verfügbar:
https://moodle.uni-ulm.de/course/view.php?id=31986
Lukas Niebel
Abgabe und Besprechung: WS 22/23
17.11.22, 14:15 Uhr
O28 - H22 15 Punkte
Übungen zur Vorlesung Analysis I Blatt 4
1. Beweisen Sie die Gültigkeit der folgenden Summenformel für alle n ∈ N. (1)
n
! n2 (n + 1)2
k3 =
k=0
4
2. Es seien a ∈ R, a ∕= 0 und n, m ∈ Z. Zeigen Sie die Gültigkeit von (2)
an+m = an · am und (an )m = anm .
3. Es seien a, b ∈ N zwei natürliche Zahlen. Wir sagen a teilt b, falls eine weitere (1)
natürliche Zahl c ∈ N existiert, welche ac = b erfüllt.
Zeigen Sie, dass für alle n ∈ N die Zahl 17n − 13n stets durch 4 teilbar ist.
4. Schreiben Sie die folgenden Mengen als Vereinigung von Intervallen. Beweisen Sie (3)
ihre Behauptungen.
(i) A1 = {x ∈ R : 1 < x2 + 2x ≤ 4}
(ii) A2 = {x ∈ R : ||x + 1| − 2| ≤ x}.
(iii) A3 = {x ∈ R : |x + 2| > |x − 3|}.
5. Untersuchen Sie, ob folgende Teilmengen der reellen Zahlen nach oben oder nach (3)
unten beschränkt sind. Geben Sie, sofern existent, Infimum, Minimum, Maximum
und Supremum an. Beweisen Sie alle ihre Aussagen.
(i) M1 = {x ∈ R : x ≤ 0, x2 ≥ 2, x < 5}
1+(−1)n
(ii) M2 = { n+1
1
+ 2n
: n ∈ N}
(iii) M3 = {t + 1
t
: t ∈ (0, 4] ⊂ R}.
6. Beweisen oder Widerlegen Sie die folgenden Aussagen. (5)
1. Es gibt eine injektive Funktion f : Z → N.
2. Jede Abzählbare Teilmenge der reellen Zahlen besitzt entweder Supremum
oder Infimum.
3. Sei a ∈ R, derart, dass für alle ε > 0 schon |a − 5| < ε gilt, dann folgt a = 5.
√
4. Die Menge A = {( 5 + k)/2 : k ∈ N} ∪ N ist überabzählbar.
5. Ist p ∈ N so, dass p2 gerade ist, dann ist notwendigerweise p gerade.
Die Übungsblätter sowie aktuelle Informationen sind unter folgender Adresse verfügbar:
https://moodle.uni-ulm.de/course/view.php?id=31986
