Prof. Dr. A. Dall’Acqua
Universität Ulm A. Spener
WS 16/17
Blatt 10: Probeklausur - Analysis I
• Erlaubte Hilfsmittel: ein zweiseitig von Hand beschriebenes DinA4-Blatt.
Beachte: Taschenrechner nicht erlaubt!
• Bearbeitungszeit: 120 Minuten
• Insgesamt sind 100 + 5∗ Punkte zu erreichen.
• Das Blatt wird wie folgt bewertet: Es dürfen 4 Aufgaben abgegeben wer-
den, ein Viertel der erreichten Punkte werden als Bonuspunkte für die
Vorleistung gewertet. Es ist ausdrücklich erlaubt, dass das Blatt alleine
abgegeben wird. Abgabe ist wie immer am Do., 12.01.2017 vor der Übung.
Viel Erfolg!
1. Bestimme, falls existent, Infimum, Minimum, Supremum und Maximum der fol- (14)
genden Menge M ⊂ R. Beweise deine Aussagen.
n+1
M= : n ∈ N ⊂ R.
2n
2. Es sei f : R → R eine bijektive Funktion. Zeige, dass die Funktion (12)
g : R → R, x 7→ 2 · f (x) − 1
injektiv, surjektiv und bijektiv ist und bestimme die Umkehrfunktion von g.
3. Zeige, dass für alle n ∈ N0 gilt: (10)
n
X (−1)n n(n + 1)
(−1)k k 2 = .
k=0
2
4. Bestimme alle Häufungspunkte und, sofern wohldefiniert, lim sup an , lim inf an und (3×4+5)
n→∞ n→∞
lim an der angegeben Folgen (an ), n ∈ N:
n→∞
2n − 6n2 + n(−1)n
(i) an = , an ∈ R.
7n − 3n2 + 1
√
(ii) an = n2 + 2n + 1 − n, an ∈ R.
2n
n 1
(iii) an = (−1) 1 + , an ∈ R.
n
n
X n
(iv) an = (i − 1)k , an ∈ C.
k=0
k
c 2016 Universität Ulm 1
Universität Ulm A. Spener
WS 16/17
Blatt 10: Probeklausur - Analysis I
• Erlaubte Hilfsmittel: ein zweiseitig von Hand beschriebenes DinA4-Blatt.
Beachte: Taschenrechner nicht erlaubt!
• Bearbeitungszeit: 120 Minuten
• Insgesamt sind 100 + 5∗ Punkte zu erreichen.
• Das Blatt wird wie folgt bewertet: Es dürfen 4 Aufgaben abgegeben wer-
den, ein Viertel der erreichten Punkte werden als Bonuspunkte für die
Vorleistung gewertet. Es ist ausdrücklich erlaubt, dass das Blatt alleine
abgegeben wird. Abgabe ist wie immer am Do., 12.01.2017 vor der Übung.
Viel Erfolg!
1. Bestimme, falls existent, Infimum, Minimum, Supremum und Maximum der fol- (14)
genden Menge M ⊂ R. Beweise deine Aussagen.
n+1
M= : n ∈ N ⊂ R.
2n
2. Es sei f : R → R eine bijektive Funktion. Zeige, dass die Funktion (12)
g : R → R, x 7→ 2 · f (x) − 1
injektiv, surjektiv und bijektiv ist und bestimme die Umkehrfunktion von g.
3. Zeige, dass für alle n ∈ N0 gilt: (10)
n
X (−1)n n(n + 1)
(−1)k k 2 = .
k=0
2
4. Bestimme alle Häufungspunkte und, sofern wohldefiniert, lim sup an , lim inf an und (3×4+5)
n→∞ n→∞
lim an der angegeben Folgen (an ), n ∈ N:
n→∞
2n − 6n2 + n(−1)n
(i) an = , an ∈ R.
7n − 3n2 + 1
√
(ii) an = n2 + 2n + 1 − n, an ∈ R.
2n
n 1
(iii) an = (−1) 1 + , an ∈ R.
n
n
X n
(iv) an = (i − 1)k , an ∈ C.
k=0
k
c 2016 Universität Ulm 1
