Lagemaÿe: Fortsetzung 1-1
Gliederung der Vorlesung
1) Grundlagen
2) Datendeskription: das Buch Kapitel 5
a) Häu
gkeitsverteilungen
b) Lagemaÿe (Fortsetzung), Kapitel 5.2.
c) Streuungsmaÿe
d) Verteilungsmaÿe
3) Zusammenhangsanalyse und Regression
4) Wahrscheinlichkeiten, Zufallsgröÿen
5) Induktive Statistik
HTW Berlin
,Lagemaÿe: Fortsetzung 1-2
Zusammenfassung und Ausblick
Bisher haben wir verschiedene Begrie der Häu
gkeit, die Verteilungsfunktion und
unterschiedliche graphische Darstellungen von Häu
gkeiten besprochen. Dabei fällt
auf, dass bestimmte Merkmalsausprägungen besonders häu
g vorkommen oder in
irgendeinem Sinn in der Mitte liegen. Diese besonders hervortretenden
Merkmalsausprägungen werden durch Lagemaÿe charakterisiert.
Dabei geht es um folgende Fragen:
• Welche Merkmalsausprägungen sind in welchem Sinn besonders hervortretend
und was sagen sie über die Häu
gkeitsverteilung aus? → Modus, Median,
arithmetisches Mittel.
• Gibt es neben der äquidistanten Klasseneinteilung eine andere Möglichkeit,
Merkmalsausprägungen zu sortieren? → Quantile.
• Wie kann man die Verteilung des Merkmals mithilfe der Lagemaÿe graphisch
darstellen? → Boxplot.
HTW Berlin
,Lagemaÿe: Fortsetzung 1-3
Quantile: Motivation
Bei der Untersuchung von Häu
gkeiten metrischer Merkmale und deren Darstellung
in Histogrammen haben wir bereits eine äquidistante Klassierung benutzt. Dabei
wurden Merkmalsausprägungen in gleich groÿe Klassen geteilt.
Nun soll eine andere Möglichkeit der Klassierung metrischer Merkmale untersucht
werden, bei der jede Klasse einen bestimmten Anteil (das Quantil) der beobachteten
Merkmalsausprägungen enthält. Z.B. teilt ein 0, 5-Quantil die Gesamtheit in zwei
Klassen, so dass jede Klasse etwa die Hälfte der Daten (Merkmalsträger) enthält. So
eine Teilung der Gesamtheit in Klassen mit gleicher Häu
gkeit nennt man eine
äquifrequente Klassierung.
Die Quantile (oder in prozentualer Form Perzentile, d.h. Perzentile=Quantile×100%)
können zu jedem Anteil (Prozentsatz) bestimmt werden. Besonders häu
g wird eine
Vierteilung der Daten mittels Quartile benutzt, die für die graphischen Darstellung
der Daten (Boxplot) benutzt wird.
HTW Berlin
, Lagemaÿe: Fortsetzung 1-4
Quantile: De
nition
• Ein p-Quantil (xp ) trennt die Daten so in zwei Teile, dass (etwa) p · 100% der
Daten darunter, und (1 − p) · 100% der Daten darüber liegen.
• Der Median ist gerade das 50%-Quantil (teilt die Gesamtheit in 2 50%-Teile).
• Spezielle Quantile Quartile vierteln die Gesamtheit:
x0,25 - das untere Quartil: 25% der Daten liegen darunter, 75% darüber.
x0,5 = xmed das mittlere Quartil: halbiert die Daten
x0,75 - das obere Quartil: 75% der Daten liegen darunter, 25% darüber.
• Sei x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn eine geordnete Urliste. Dann gilt:
x = x falls np nicht ganzzahlig
p [np]+1
xp ∈ [xnp , xnp+1 ] falls np ganzzahlig.
Dabei ist [np] die zu np nächste kleinere ganze Zahl.
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1) Grundlagen
2) Datendeskription: das Buch Kapitel 5
a) Häu
gkeitsverteilungen
b) Lagemaÿe (Fortsetzung), Kapitel 5.2.
c) Streuungsmaÿe
d) Verteilungsmaÿe
3) Zusammenhangsanalyse und Regression
4) Wahrscheinlichkeiten, Zufallsgröÿen
5) Induktive Statistik
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,Lagemaÿe: Fortsetzung 1-2
Zusammenfassung und Ausblick
Bisher haben wir verschiedene Begrie der Häu
gkeit, die Verteilungsfunktion und
unterschiedliche graphische Darstellungen von Häu
gkeiten besprochen. Dabei fällt
auf, dass bestimmte Merkmalsausprägungen besonders häu
g vorkommen oder in
irgendeinem Sinn in der Mitte liegen. Diese besonders hervortretenden
Merkmalsausprägungen werden durch Lagemaÿe charakterisiert.
Dabei geht es um folgende Fragen:
• Welche Merkmalsausprägungen sind in welchem Sinn besonders hervortretend
und was sagen sie über die Häu
gkeitsverteilung aus? → Modus, Median,
arithmetisches Mittel.
• Gibt es neben der äquidistanten Klasseneinteilung eine andere Möglichkeit,
Merkmalsausprägungen zu sortieren? → Quantile.
• Wie kann man die Verteilung des Merkmals mithilfe der Lagemaÿe graphisch
darstellen? → Boxplot.
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Quantile: Motivation
Bei der Untersuchung von Häu
gkeiten metrischer Merkmale und deren Darstellung
in Histogrammen haben wir bereits eine äquidistante Klassierung benutzt. Dabei
wurden Merkmalsausprägungen in gleich groÿe Klassen geteilt.
Nun soll eine andere Möglichkeit der Klassierung metrischer Merkmale untersucht
werden, bei der jede Klasse einen bestimmten Anteil (das Quantil) der beobachteten
Merkmalsausprägungen enthält. Z.B. teilt ein 0, 5-Quantil die Gesamtheit in zwei
Klassen, so dass jede Klasse etwa die Hälfte der Daten (Merkmalsträger) enthält. So
eine Teilung der Gesamtheit in Klassen mit gleicher Häu
gkeit nennt man eine
äquifrequente Klassierung.
Die Quantile (oder in prozentualer Form Perzentile, d.h. Perzentile=Quantile×100%)
können zu jedem Anteil (Prozentsatz) bestimmt werden. Besonders häu
g wird eine
Vierteilung der Daten mittels Quartile benutzt, die für die graphischen Darstellung
der Daten (Boxplot) benutzt wird.
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Quantile: De
nition
• Ein p-Quantil (xp ) trennt die Daten so in zwei Teile, dass (etwa) p · 100% der
Daten darunter, und (1 − p) · 100% der Daten darüber liegen.
• Der Median ist gerade das 50%-Quantil (teilt die Gesamtheit in 2 50%-Teile).
• Spezielle Quantile Quartile vierteln die Gesamtheit:
x0,25 - das untere Quartil: 25% der Daten liegen darunter, 75% darüber.
x0,5 = xmed das mittlere Quartil: halbiert die Daten
x0,75 - das obere Quartil: 75% der Daten liegen darunter, 25% darüber.
• Sei x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn eine geordnete Urliste. Dann gilt:
x = x falls np nicht ganzzahlig
p [np]+1
xp ∈ [xnp , xnp+1 ] falls np ganzzahlig.
Dabei ist [np] die zu np nächste kleinere ganze Zahl.
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