Samenvatting
4-Wiskunde
Inhoudopgaven
H1 Fourierreeks inleiding.....................................................................................................................3
Scalair product.................................................................................................................................3
Scalair product van functies.............................................................................................................4
Orthogonale functies........................................................................................................................6
Legendre......................................................................................................................................7
Chebyshev...................................................................................................................................7
Benadering voor f(t) (zoek c_i).......................................................................................................8
Stelling van de Gemiddelde Kwadratische Fout (GKF)..................................................................9
Gevolg identiteit van Parceval..................................................................................................10
H1 de harmonische Fourier reeks.......................................................................................................11
Overzicht symmetrie niet periodieke functies...............................................................................11
Even functies.............................................................................................................................11
Eigenschap............................................................................................................................11
Oneven functies.........................................................................................................................11
Eigenschap............................................................................................................................11
Speciaal geval.......................................................................................................................12
Overzicht symmetrie periodieke functies......................................................................................12
Schuif Spiegel Symmetrie (SSS)..............................................................................................12
Eigenschap............................................................................................................................12
Verborgen SSS/ oneven symmetrie...........................................................................................12
Fourier Coëfficiënten.....................................................................................................................13
Foerier Coëfficiënten berekenen...............................................................................................14
Stelling van Dirichlet.....................................................................................................................17
Gevolgen van de stelling...........................................................................................................18
Identiteit van Parceval..........................................................................................................18
Gevolg van parceval (Stelling van de limieten van Riemann).............................................18
Convergentie snelheid..........................................................................................................19
Wat bij niet-periodieke functies.....................................................................................................20
H1 De complexe Fourierreeks............................................................................................................21
Coëfficiënt......................................................................................................................................21
Complex <-> harmonisch..............................................................................................................21
Wat bij niet-periodieke functies.....................................................................................................22
H1 voor en nadelen complex vs harmonisch......................................................................................22
H2 Laplace Transformatie inleiding...................................................................................................23
Golven en causaliteit......................................................................................................................23
De functie van Heaviside...............................................................................................................23
Verschoven vorm..................................................................................................................23
Causaal.................................................................................................................................23
Rechthoekpuls......................................................................................................................23
Dirac-functie (delta).......................................................................................................................24
Eigenschappen..........................................................................................................................24
, Een verschoven dirac-functie...............................................................................................24
voorstelling................................................................................................................................24
Zeefeigenschap (sample property)............................................................................................25
Impuls response h(t)..................................................................................................................26
Convolutie product........................................................................................................................27
Eigenschappen..........................................................................................................................27
H2 Laplace Transformatie..................................................................................................................29
Opmerkingen........................................................................................................................29
V klasse..........................................................................................................................................31
Eigenschappen..........................................................................................................................31
Stelling......................................................................................................................................31
Eigenschappen Laplace..................................................................................................................32
Lineariteit..................................................................................................................................32
Schaalwijziging.........................................................................................................................32
Translatie t → s.........................................................................................................................33
Translatie s → t.........................................................................................................................33
Afgeleiden t-gebied...................................................................................................................34
Bewijs afgeleiden t-gebied → vermenigvuldiging s-gebied................................................35
Stelling van de beginwaarde.....................................................................................................36
Bewijs...................................................................................................................................36
Stelling van de eindwaarde.......................................................................................................36
Afgeleiden s-gebied..................................................................................................................36
Delen door t → integreren vanaf s............................................................................................36
Toepassing van Laplace.................................................................................................................37
Systemen.............................................................................................................................................39
Lineariteit.......................................................................................................................................39
Handige tips voor oefeningen.............................................................................................................40
4-Wiskunde 2
,H1 Fourierreeks inleiding
Fourier komt van Joseph Fourier en verder uitgewerkt door Dirichlet & Riemann.
We gaan een complex signaal opdelen in simpelere en korte signalen. De analogie van coördinaten
in de ruimte is handig.
Wanneer de assen waarop we meten loodrecht op elkaar staan (orthogonaal zijn), dan kunnen we
nog meer verwezenlijken.
Coördinaten in de ruimte zijn op te delen in 3 delen (bij een 3 assen stelsel, x, y en z).
Gegeven een coördinaat (2,1,3) . Deze kunnen we ook beschrijven als x (2,0,0)+ y (0,1,0)+ z (0,0,3)
De coördinaat is dus opgebouwd uit 3 bouwstenen.
We kunnen dus een complexe functie opdelen in een reeks (oneindig veel) sommen van simpele
basis functies.
Voorbeeld functie
Gegeven f (t)=a0∗1+ a1∗t 1 +a2∗t 2 +a 3∗t 3+ ...+ an∗t n waarbij t de basisfunctie voorstelt en a een
coördinaat.
n
f (0)
We lossen dit op met de Taylorreeks a n=
n!
n
f ' (0) f ' '( 0) f (0)
(a 0 ,a 1 , a 2 , ... , an )=(f (0), , , ..., !)
1 2 n
1 2 n
Gegeven f (t)= =1+t+ t +...+t
1−t
Hierbij zijn de coördinaten de constante factoren bij elke basisfunctie namelijk: (1,1,1 , ...,1)
Scalair product
Hiermee kunnen we de loodrechtheid van 2 vectoren definiëren.
Scalair product & norm vector
⃗p⋅⃗q=‖⃗p‖‖⃗q‖cos(⃗p , ⃗
q)
‖⃗p‖ is de lengte van de vector (de norm) en is te berekenen als volgt ‖⃗p‖=√ x 20 + y 20 + z 20
Dit heeft een direct gevolg namelijk dat
⃗p⋅⃗
q
• Als de 2 vectoren niet nul zijn, dan is het scalair product =0 als deze loodrecht op
‖⃗p‖∗‖⃗ q‖
elkaar staan.
• Als ⃗p=⃗q dan hebben we ⃗p⋅⃗p =‖⃗p‖2 ⇒ √ ⃗p⋅⃗p =‖⃗p‖
Wanneer de 3 vectoren in een orthogonaal assenstelsel nu alle 3 loodrecht t.o.v. elkaar staan, dan
kunnen we vector p associëren als ⃗p=x e⃗x + y e⃗y + z e⃗z
4-Wiskunde 3
, Scalair product van functies
Bij 2 gegeven functies f en g, de loodrechtheid onderzoeken met behulp van het scalair product,
moeten de functies aan volgende eigenschappen voldoen
• f en g zijn functies gedefinieerd in [a , b]
• f (t) en g(t ) mogen complexe waarden zijn
Het scalair product van f (t) en g(t ) in [a , b] t.o.v. de gewichtsfunctie w (t) wordt als volgt
b
genoteerd: ⟨ f (t), g(t)⟩ w(t) =∫ f (t )∗g(t )∗w(t)∗dt
a
g(t ) is een complex toegevoegde.
Complex toegevoegde
Bij een complex toegevoegde, vervangen ven de j door een − j.
dus: a+ bj=a−bj
Gewichtsfunctie w(t)
2π
Meestal gebruiken we een gewichtsfunctie w(t)=1 (ω = ) (Een constante gewichtsfunctie)
T
Voorbeeld
Stel: f (t)=cos(t ), g(t )=sin(t ), t ∈[0 , π ], w (t)=1
b
Dan gebruiken we ⟨ f (t), g(t)⟩ w(t) =∫ f (t )∗g(t )∗w(t)∗dt en we vullen de 3 functies in.
a
π
⟨ cos( t),sin (t)⟩ w(t )=1=∫ cos(t)∗sin (t)∗1∗dt
0
Het complex toegevoegde voeren we niet uit omdat sin(t) geen complex getal is.
da
We voeren een kleine substitutie uit waarbij a=sin(t),da=cos (t)dt ⇒ dt =
cos(t )
π π b
cos(t )
∫ cos (t )∗sin( t)∗1∗dt=∫ cos(t ) da=∫ da
0 0 a
b 1+ p π
a
Denk hierbij aan ∫ da=[ ]
a p+1 0
b 2 π 2 π 2 2
sin(t) sin ( π ) sin (0)
∫ da=[ a2 ] =[ 2 ] = 2 − 2 =0
a 0 0
We kunnen dus stellen dat beide functies loodrecht op elkaar staan.
4-Wiskunde 4
4-Wiskunde
Inhoudopgaven
H1 Fourierreeks inleiding.....................................................................................................................3
Scalair product.................................................................................................................................3
Scalair product van functies.............................................................................................................4
Orthogonale functies........................................................................................................................6
Legendre......................................................................................................................................7
Chebyshev...................................................................................................................................7
Benadering voor f(t) (zoek c_i).......................................................................................................8
Stelling van de Gemiddelde Kwadratische Fout (GKF)..................................................................9
Gevolg identiteit van Parceval..................................................................................................10
H1 de harmonische Fourier reeks.......................................................................................................11
Overzicht symmetrie niet periodieke functies...............................................................................11
Even functies.............................................................................................................................11
Eigenschap............................................................................................................................11
Oneven functies.........................................................................................................................11
Eigenschap............................................................................................................................11
Speciaal geval.......................................................................................................................12
Overzicht symmetrie periodieke functies......................................................................................12
Schuif Spiegel Symmetrie (SSS)..............................................................................................12
Eigenschap............................................................................................................................12
Verborgen SSS/ oneven symmetrie...........................................................................................12
Fourier Coëfficiënten.....................................................................................................................13
Foerier Coëfficiënten berekenen...............................................................................................14
Stelling van Dirichlet.....................................................................................................................17
Gevolgen van de stelling...........................................................................................................18
Identiteit van Parceval..........................................................................................................18
Gevolg van parceval (Stelling van de limieten van Riemann).............................................18
Convergentie snelheid..........................................................................................................19
Wat bij niet-periodieke functies.....................................................................................................20
H1 De complexe Fourierreeks............................................................................................................21
Coëfficiënt......................................................................................................................................21
Complex <-> harmonisch..............................................................................................................21
Wat bij niet-periodieke functies.....................................................................................................22
H1 voor en nadelen complex vs harmonisch......................................................................................22
H2 Laplace Transformatie inleiding...................................................................................................23
Golven en causaliteit......................................................................................................................23
De functie van Heaviside...............................................................................................................23
Verschoven vorm..................................................................................................................23
Causaal.................................................................................................................................23
Rechthoekpuls......................................................................................................................23
Dirac-functie (delta).......................................................................................................................24
Eigenschappen..........................................................................................................................24
, Een verschoven dirac-functie...............................................................................................24
voorstelling................................................................................................................................24
Zeefeigenschap (sample property)............................................................................................25
Impuls response h(t)..................................................................................................................26
Convolutie product........................................................................................................................27
Eigenschappen..........................................................................................................................27
H2 Laplace Transformatie..................................................................................................................29
Opmerkingen........................................................................................................................29
V klasse..........................................................................................................................................31
Eigenschappen..........................................................................................................................31
Stelling......................................................................................................................................31
Eigenschappen Laplace..................................................................................................................32
Lineariteit..................................................................................................................................32
Schaalwijziging.........................................................................................................................32
Translatie t → s.........................................................................................................................33
Translatie s → t.........................................................................................................................33
Afgeleiden t-gebied...................................................................................................................34
Bewijs afgeleiden t-gebied → vermenigvuldiging s-gebied................................................35
Stelling van de beginwaarde.....................................................................................................36
Bewijs...................................................................................................................................36
Stelling van de eindwaarde.......................................................................................................36
Afgeleiden s-gebied..................................................................................................................36
Delen door t → integreren vanaf s............................................................................................36
Toepassing van Laplace.................................................................................................................37
Systemen.............................................................................................................................................39
Lineariteit.......................................................................................................................................39
Handige tips voor oefeningen.............................................................................................................40
4-Wiskunde 2
,H1 Fourierreeks inleiding
Fourier komt van Joseph Fourier en verder uitgewerkt door Dirichlet & Riemann.
We gaan een complex signaal opdelen in simpelere en korte signalen. De analogie van coördinaten
in de ruimte is handig.
Wanneer de assen waarop we meten loodrecht op elkaar staan (orthogonaal zijn), dan kunnen we
nog meer verwezenlijken.
Coördinaten in de ruimte zijn op te delen in 3 delen (bij een 3 assen stelsel, x, y en z).
Gegeven een coördinaat (2,1,3) . Deze kunnen we ook beschrijven als x (2,0,0)+ y (0,1,0)+ z (0,0,3)
De coördinaat is dus opgebouwd uit 3 bouwstenen.
We kunnen dus een complexe functie opdelen in een reeks (oneindig veel) sommen van simpele
basis functies.
Voorbeeld functie
Gegeven f (t)=a0∗1+ a1∗t 1 +a2∗t 2 +a 3∗t 3+ ...+ an∗t n waarbij t de basisfunctie voorstelt en a een
coördinaat.
n
f (0)
We lossen dit op met de Taylorreeks a n=
n!
n
f ' (0) f ' '( 0) f (0)
(a 0 ,a 1 , a 2 , ... , an )=(f (0), , , ..., !)
1 2 n
1 2 n
Gegeven f (t)= =1+t+ t +...+t
1−t
Hierbij zijn de coördinaten de constante factoren bij elke basisfunctie namelijk: (1,1,1 , ...,1)
Scalair product
Hiermee kunnen we de loodrechtheid van 2 vectoren definiëren.
Scalair product & norm vector
⃗p⋅⃗q=‖⃗p‖‖⃗q‖cos(⃗p , ⃗
q)
‖⃗p‖ is de lengte van de vector (de norm) en is te berekenen als volgt ‖⃗p‖=√ x 20 + y 20 + z 20
Dit heeft een direct gevolg namelijk dat
⃗p⋅⃗
q
• Als de 2 vectoren niet nul zijn, dan is het scalair product =0 als deze loodrecht op
‖⃗p‖∗‖⃗ q‖
elkaar staan.
• Als ⃗p=⃗q dan hebben we ⃗p⋅⃗p =‖⃗p‖2 ⇒ √ ⃗p⋅⃗p =‖⃗p‖
Wanneer de 3 vectoren in een orthogonaal assenstelsel nu alle 3 loodrecht t.o.v. elkaar staan, dan
kunnen we vector p associëren als ⃗p=x e⃗x + y e⃗y + z e⃗z
4-Wiskunde 3
, Scalair product van functies
Bij 2 gegeven functies f en g, de loodrechtheid onderzoeken met behulp van het scalair product,
moeten de functies aan volgende eigenschappen voldoen
• f en g zijn functies gedefinieerd in [a , b]
• f (t) en g(t ) mogen complexe waarden zijn
Het scalair product van f (t) en g(t ) in [a , b] t.o.v. de gewichtsfunctie w (t) wordt als volgt
b
genoteerd: ⟨ f (t), g(t)⟩ w(t) =∫ f (t )∗g(t )∗w(t)∗dt
a
g(t ) is een complex toegevoegde.
Complex toegevoegde
Bij een complex toegevoegde, vervangen ven de j door een − j.
dus: a+ bj=a−bj
Gewichtsfunctie w(t)
2π
Meestal gebruiken we een gewichtsfunctie w(t)=1 (ω = ) (Een constante gewichtsfunctie)
T
Voorbeeld
Stel: f (t)=cos(t ), g(t )=sin(t ), t ∈[0 , π ], w (t)=1
b
Dan gebruiken we ⟨ f (t), g(t)⟩ w(t) =∫ f (t )∗g(t )∗w(t)∗dt en we vullen de 3 functies in.
a
π
⟨ cos( t),sin (t)⟩ w(t )=1=∫ cos(t)∗sin (t)∗1∗dt
0
Het complex toegevoegde voeren we niet uit omdat sin(t) geen complex getal is.
da
We voeren een kleine substitutie uit waarbij a=sin(t),da=cos (t)dt ⇒ dt =
cos(t )
π π b
cos(t )
∫ cos (t )∗sin( t)∗1∗dt=∫ cos(t ) da=∫ da
0 0 a
b 1+ p π
a
Denk hierbij aan ∫ da=[ ]
a p+1 0
b 2 π 2 π 2 2
sin(t) sin ( π ) sin (0)
∫ da=[ a2 ] =[ 2 ] = 2 − 2 =0
a 0 0
We kunnen dus stellen dat beide functies loodrecht op elkaar staan.
4-Wiskunde 4
