Mittelpunkt einer Strecke MPQ= (½* (p1+q1)| ½*(p2+q2)| ½* (p3+q3))
Abstand berechnen √p12+p22+p32
Streckenverhältnis
Geraden im 3d- Koordinatensystem
Geradengleichung g: x= A + r (B-A)
A = Ortsvektor zum Punkt A (Stützvektor)
B-A = Richtungsvektor
Lagebeziehung: Gerade-Gerade
I. Geraden schneiden sich
II. Geraden sind echt parallel
III. Geraden sind identisch
IV. Geraden sind windschief
V. Geraden sind orthogonal
I. Ansatz
1. Geraden werden gleichgesetzt: A+r*(B-A)= C+s*(D-C)
2. LGS aufstellen, nach r & s auflösen
3. Anschließend r oder s einsetzen: bei gleichen Ergebnissen, z.B. -1=-1,
schneiden sich die Geraden
4. R und/oder s in eine der beiden Geraden einsetzen, um den Schnittpunkt zu
berechnen
II. Ansatz
Bedingung: Richtungsvektoren müssen kollinear sein, d.h. sie müssen linear
abhängig sein (Vielfache voneinander)
1) Überprüfung durch: (a2:a1; b2:b1; c2:c1)= dasselbe, z.B. 2=2
III. Ansatz
Bedingung: Richtungsvektoren müssen kollinear sein, d.h. sie müssen linear
abhängig sein (Vielfache voneinander)
1) Überprüfung durch: (a2:a1; b2:b1; c2:c1)= dasselbe, z.B. 2=2
2) Stützvektor (in diesem Fall A oder B) wird in die andere Geradengleichung
eingesetzt
- Liegt der Punkt auf der Geraden (identische Ergebnisse, z.B.
3=3), so sind die Geraden identisch
, - Liegt der Punkt nicht auf der Geraden (unterschiedliche
Ergebnisse, z.B. 2=-7), so sind die Geraden echt parallel
IV. Ansatz
1) Geraden werden gleichgesetzt: A+r*(B-A)= C+s*(D-C)
2) LGS aufstellen, nach r & s auflösen
3) Anschließend r oder s einsetzen: bei unterschiedlichen Ergebnissen, z.B. -1=
17 , sind die Geraden windschief
V. Ansatz
Produkt der Richtungsvektoren der Geraden ist =0 (Skalarprodukt)
Lagebeziehung: Gerade-Ebene
I. G und E sind echt parallel LGS hat keine Lösung
II. Gerade schneidet Ebene LGS hat eine Lösung
III. Gerade liegt in der Ebene LGS hat unendlich viele Lösungen
am einfachsten ist es, wenn die Ebene in Koordinatengleichung vorliegt
Ansatz: g in E einsetzen
E: x+y+z= c (c=beliebige Zahl)
G: x= A + r (B-A)
X* B-A1 + y * B-A2 + z* B-A3= c
I. R ist eindeutig bestimmt
II. LGS hat keine Lösung
III. R ist “unendlich”
Lagebeziehung: Ebene-Ebene
I. Echt parallel
II. Schneiden sich in einer Schnittgerade
III. Identisch
1) echt parallel, wenn die Normalenvektoren linear abhängig sind (=Vielfache
voneinander) und der Stützvektor der zweiten Ebene kein Punkt der ersten Ebene ist
Ges.: echt parallele Ebene
gegebene Ebenengleichung in Koordinatenform mit beliebiger Zahl auf einer Seite
multiplizieren
2) Bedingung: Ebene in Koordinatenform
LGS aufstellen: 3 Gleichungen mit 3 Variablen auflösen
Geradenparameter c in Geradengleichung einsetzen Zahlen auf die linke
Seite und Parameter auf die rechte (s. Ipad, 31 (Mathe, 1. HJ.))
Abstand berechnen √p12+p22+p32
Streckenverhältnis
Geraden im 3d- Koordinatensystem
Geradengleichung g: x= A + r (B-A)
A = Ortsvektor zum Punkt A (Stützvektor)
B-A = Richtungsvektor
Lagebeziehung: Gerade-Gerade
I. Geraden schneiden sich
II. Geraden sind echt parallel
III. Geraden sind identisch
IV. Geraden sind windschief
V. Geraden sind orthogonal
I. Ansatz
1. Geraden werden gleichgesetzt: A+r*(B-A)= C+s*(D-C)
2. LGS aufstellen, nach r & s auflösen
3. Anschließend r oder s einsetzen: bei gleichen Ergebnissen, z.B. -1=-1,
schneiden sich die Geraden
4. R und/oder s in eine der beiden Geraden einsetzen, um den Schnittpunkt zu
berechnen
II. Ansatz
Bedingung: Richtungsvektoren müssen kollinear sein, d.h. sie müssen linear
abhängig sein (Vielfache voneinander)
1) Überprüfung durch: (a2:a1; b2:b1; c2:c1)= dasselbe, z.B. 2=2
III. Ansatz
Bedingung: Richtungsvektoren müssen kollinear sein, d.h. sie müssen linear
abhängig sein (Vielfache voneinander)
1) Überprüfung durch: (a2:a1; b2:b1; c2:c1)= dasselbe, z.B. 2=2
2) Stützvektor (in diesem Fall A oder B) wird in die andere Geradengleichung
eingesetzt
- Liegt der Punkt auf der Geraden (identische Ergebnisse, z.B.
3=3), so sind die Geraden identisch
, - Liegt der Punkt nicht auf der Geraden (unterschiedliche
Ergebnisse, z.B. 2=-7), so sind die Geraden echt parallel
IV. Ansatz
1) Geraden werden gleichgesetzt: A+r*(B-A)= C+s*(D-C)
2) LGS aufstellen, nach r & s auflösen
3) Anschließend r oder s einsetzen: bei unterschiedlichen Ergebnissen, z.B. -1=
17 , sind die Geraden windschief
V. Ansatz
Produkt der Richtungsvektoren der Geraden ist =0 (Skalarprodukt)
Lagebeziehung: Gerade-Ebene
I. G und E sind echt parallel LGS hat keine Lösung
II. Gerade schneidet Ebene LGS hat eine Lösung
III. Gerade liegt in der Ebene LGS hat unendlich viele Lösungen
am einfachsten ist es, wenn die Ebene in Koordinatengleichung vorliegt
Ansatz: g in E einsetzen
E: x+y+z= c (c=beliebige Zahl)
G: x= A + r (B-A)
X* B-A1 + y * B-A2 + z* B-A3= c
I. R ist eindeutig bestimmt
II. LGS hat keine Lösung
III. R ist “unendlich”
Lagebeziehung: Ebene-Ebene
I. Echt parallel
II. Schneiden sich in einer Schnittgerade
III. Identisch
1) echt parallel, wenn die Normalenvektoren linear abhängig sind (=Vielfache
voneinander) und der Stützvektor der zweiten Ebene kein Punkt der ersten Ebene ist
Ges.: echt parallele Ebene
gegebene Ebenengleichung in Koordinatenform mit beliebiger Zahl auf einer Seite
multiplizieren
2) Bedingung: Ebene in Koordinatenform
LGS aufstellen: 3 Gleichungen mit 3 Variablen auflösen
Geradenparameter c in Geradengleichung einsetzen Zahlen auf die linke
Seite und Parameter auf die rechte (s. Ipad, 31 (Mathe, 1. HJ.))
