MITTELPUNKT MEINER STRECKE LINEARKOMBINATION
WINKEL EWISCHEN VEKTOREN
m z.(â 5)
=
+
7
s.a t.5 +
(si) (=),
=
-
mit site
di
I
coscas
-
M+ -
AX xB ⑤
↑
⑨ B
↳
:Till
2.
a
5
S. t.5 +
LANGE EINES VEKTORS SKALAR-MULTIPLIKATION c
=
cos
(x) 69,0
=
(aT
(())=m
=
tas s.â
s.(a) (),
=
=
mit se
7
- 7
a 7
S = alle Zahlen, mit denen s
gerech-
Creans>1)S,o
in der Schule
w i rd
net VEKTORADDITION
PARALLELITAT PRUFEN a 5
+
(a) (i) ()
=
+ =
II, =K.
VEKTORCHNUNG Se
&
wenn
gilt, dass
*
n i c h td i e
denn k verändert
Vektors,
Ausrichtung d e s
nur d i e
Länge
Bsp.â (*): 5(äs
=
2 -
-3
-
---2
->
all, da.1,5 5 = 4
-- 1
I I < SKALARPRODUKT asina vécorna
S 2 3 y
orthogonal zueinander
i
Vektor Zahl"
-2 1
Vektor man
gleich
-
-
-3
- 2
--
x
--
3 (a) (i) amb.+
= an.butas.bs
A BInD
*
DIFFERENZVEKTOR VON A
NACH B .(0) 2.4 3.0 ( 1.2 6
= + +
=
3-
---blbulbus
A(an(az)az)
a
#B 5 =
-
a Ho B(21314)
+
-> ist
das Skalarprodukt
gleich, so stehen die Vektoren
Spitze minus Fu" im rechten Winkel zueinander! (Orthogonalität)
Dz
-
a2
â ⑤
d(AiB) r
=
A(tez
=
ac) (bs as) - + -
-B (?)-(?)
=
(i)
=
~
-> durch Formel der Trigonometrie
, GERADENGLEICHUNG ZWISCHEN PUNKTEN
VERTOR ALS
VERSCHIEBUNG
A
B B
*
-
I
PROJEKTIONEN
N
Punkt A(11213) und BildpunktA(21310)
E ZENTRAL:
↳Aneine
5â B:kelR
g:
(=ai) (85) (
a
=
r.
+
i Ax=
= = =
xL(010110)
>
L +
P(41414)
â:Orts-/Stützfaktor
&B:Richtungsvektor
R r. ;nel
g:
=
+
= k.p
g:
+
Schattenpunkt pistsxy:
E (i) k.(2) +
SPIEGELUNGEN
=
Bsp:Geradengleichung aus den Punkten A(2111-3);B(4141-5)
z 0
=
- 4 k . - 2) 0
+
=
-> k 2
=
=
(,) k()
=
+
I
Dunkt:P(21311)
(5) (z) r.(-2)
=
(i) k.((i)
Sxy(61810) bk 0 k
->
z 0
= -
10 -
= -
vorzeichen
x - +
g
= = + =
änderts i c h
xy(110) Pix,y(2131 1)
-
->
bei der KO-
ordinate,
->
Ortsvektor, Richtungsvektor sind
va r i i e r b a r & p'y,z( -21311) dessen Ebene
nicht
gespiegelt
die Gerade gleich
bleibt pix,z(21 -
311) w i rd
PUNKT DER GERADEN VEKTORRECHNUNG
z.B. K 3
SPURPUNKTE
=
i (-z) 3(i) (=-)
=
+ =
Punkte, d i e die
-
koordinatenebenen
-> also ist 4(81101-5) ein Punkt
vo n der Geraden
g LAGEBEZIEHUNGEN durchstoen
33p:
g
x
() k)3):rEi
=
abhängig (Vielfache voneinander)?
+
=
Sind die
Richtungsvektoren
(der 2. Vektor)
linear
z 0
Sxy
->
durch die
Xy
-> =
PUKTPROBE ja nein
-> 3 6k
+
0
=
-
3k =
-
E
↳
Frage:LiegtQ(61711) der Geradeng? ist Ortsvektor
Gleichungen gleichsetzen
auf d e r eine
durch d i e andere Gerade also x
(5) (2). (5) (=5)
=
+ =
darstellbar?
(2) (z) m(2) z
=
+
=
lösbar nichtl ösbar
ja nein
Schneiden
A
-> also liegtd e r Punkt Q(61711) nicht auf der
Geradeng. D A
windschief
identisch echt parallel
[2]
tri
-winaschief
e
*RECKE ZWISCHEN 2 PUNKTEN
I
- M
o
·
S I
I S I S
1
:.. I
1
I
B(41913)
⑧
A(11213)
I ⑧
⑧
=
seneRuede
AB: Oe
Ir 35 1
=
+
Ir -
35 0
=
3
Ir =
Ir 0
=
I/II 0. r + 0. s 0
=
v
# 0. r 0.5
+
12
=
Is =
-
4
Is 0
=
# I 0. r 0.5 0
=
v # 0. r 0.5 0
=
# 0. r 0.5 12
+
+ =
+
-> identisch
Schneiden sich -> windschief
-> parallel
echt ->
WINKEL EWISCHEN VEKTOREN
m z.(â 5)
=
+
7
s.a t.5 +
(si) (=),
=
-
mit site
di
I
coscas
-
M+ -
AX xB ⑤
↑
⑨ B
↳
:Till
2.
a
5
S. t.5 +
LANGE EINES VEKTORS SKALAR-MULTIPLIKATION c
=
cos
(x) 69,0
=
(aT
(())=m
=
tas s.â
s.(a) (),
=
=
mit se
7
- 7
a 7
S = alle Zahlen, mit denen s
gerech-
Creans>1)S,o
in der Schule
w i rd
net VEKTORADDITION
PARALLELITAT PRUFEN a 5
+
(a) (i) ()
=
+ =
II, =K.
VEKTORCHNUNG Se
&
wenn
gilt, dass
*
n i c h td i e
denn k verändert
Vektors,
Ausrichtung d e s
nur d i e
Länge
Bsp.â (*): 5(äs
=
2 -
-3
-
---2
->
all, da.1,5 5 = 4
-- 1
I I < SKALARPRODUKT asina vécorna
S 2 3 y
orthogonal zueinander
i
Vektor Zahl"
-2 1
Vektor man
gleich
-
-
-3
- 2
--
x
--
3 (a) (i) amb.+
= an.butas.bs
A BInD
*
DIFFERENZVEKTOR VON A
NACH B .(0) 2.4 3.0 ( 1.2 6
= + +
=
3-
---blbulbus
A(an(az)az)
a
#B 5 =
-
a Ho B(21314)
+
-> ist
das Skalarprodukt
gleich, so stehen die Vektoren
Spitze minus Fu" im rechten Winkel zueinander! (Orthogonalität)
Dz
-
a2
â ⑤
d(AiB) r
=
A(tez
=
ac) (bs as) - + -
-B (?)-(?)
=
(i)
=
~
-> durch Formel der Trigonometrie
, GERADENGLEICHUNG ZWISCHEN PUNKTEN
VERTOR ALS
VERSCHIEBUNG
A
B B
*
-
I
PROJEKTIONEN
N
Punkt A(11213) und BildpunktA(21310)
E ZENTRAL:
↳Aneine
5â B:kelR
g:
(=ai) (85) (
a
=
r.
+
i Ax=
= = =
xL(010110)
>
L +
P(41414)
â:Orts-/Stützfaktor
&B:Richtungsvektor
R r. ;nel
g:
=
+
= k.p
g:
+
Schattenpunkt pistsxy:
E (i) k.(2) +
SPIEGELUNGEN
=
Bsp:Geradengleichung aus den Punkten A(2111-3);B(4141-5)
z 0
=
- 4 k . - 2) 0
+
=
-> k 2
=
=
(,) k()
=
+
I
Dunkt:P(21311)
(5) (z) r.(-2)
=
(i) k.((i)
Sxy(61810) bk 0 k
->
z 0
= -
10 -
= -
vorzeichen
x - +
g
= = + =
änderts i c h
xy(110) Pix,y(2131 1)
-
->
bei der KO-
ordinate,
->
Ortsvektor, Richtungsvektor sind
va r i i e r b a r & p'y,z( -21311) dessen Ebene
nicht
gespiegelt
die Gerade gleich
bleibt pix,z(21 -
311) w i rd
PUNKT DER GERADEN VEKTORRECHNUNG
z.B. K 3
SPURPUNKTE
=
i (-z) 3(i) (=-)
=
+ =
Punkte, d i e die
-
koordinatenebenen
-> also ist 4(81101-5) ein Punkt
vo n der Geraden
g LAGEBEZIEHUNGEN durchstoen
33p:
g
x
() k)3):rEi
=
abhängig (Vielfache voneinander)?
+
=
Sind die
Richtungsvektoren
(der 2. Vektor)
linear
z 0
Sxy
->
durch die
Xy
-> =
PUKTPROBE ja nein
-> 3 6k
+
0
=
-
3k =
-
E
↳
Frage:LiegtQ(61711) der Geradeng? ist Ortsvektor
Gleichungen gleichsetzen
auf d e r eine
durch d i e andere Gerade also x
(5) (2). (5) (=5)
=
+ =
darstellbar?
(2) (z) m(2) z
=
+
=
lösbar nichtl ösbar
ja nein
Schneiden
A
-> also liegtd e r Punkt Q(61711) nicht auf der
Geradeng. D A
windschief
identisch echt parallel
[2]
tri
-winaschief
e
*RECKE ZWISCHEN 2 PUNKTEN
I
- M
o
·
S I
I S I S
1
:.. I
1
I
B(41913)
⑧
A(11213)
I ⑧
⑧
=
seneRuede
AB: Oe
Ir 35 1
=
+
Ir -
35 0
=
3
Ir =
Ir 0
=
I/II 0. r + 0. s 0
=
v
# 0. r 0.5
+
12
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-
4
Is 0
=
# I 0. r 0.5 0
=
v # 0. r 0.5 0
=
# 0. r 0.5 12
+
+ =
+
-> identisch
Schneiden sich -> windschief
-> parallel
echt ->
