Hoofdstuk 6: Eigenwaarden en eigenvectoren van
lineaire transformaties, diagonaliseren van
matrices (p86-105)
6.1 Definities
Zij T een lineaire transformatie van Fn .
Als er vectoren verschillend van de nulvector bestaan, die door T op een
veelvoud van zichzelf is afgebeeld, noemen we die vectoren eigenvectoren
van T. Het ‘veelvoud’ wordt een eigenwaarde van T genoemd.
Dus:
λ∈F is een eigenwaarde van een lineaire transformatie T als er een
vector ⃗v ≠ 0 bestaat zodanig dat
T ( ⃗v )=λ ⃗v
⃗0 ⃗v , die voor een bepaalde eigenwaarde λ
Elke van verschillende vector
aan deze betrekking voldoet, wordt een eigenvector van T genoemd, behorende
bij de eigenwaarde λ.
De eigenvectoren bij een bepaalde eigenwaarde λ van T behoren, vormen
n
samen met de nulvector een deelruimte van R .
Immers:
Noemen we
Eλ de verzameling van eigenvectoren van T, horende bij λ
⃗0
aangevuld met .
Dan geldt:
v1 v2
¿⃗ ¿⃗
¿ en ¿
T¿ T¿
Waaruit volgt, voor alle k ∈R :
Algebra: Hoofdstuk 6 1
, T (k ⃗
v 1 +⃗
v2 ) ¿ k ∙T ( ⃗
v 1 ) +T (⃗
v2 )
¿k ∙ λ⃗
v1 + λ ⃗
v2
¿ λ( k ⃗
v 1+ ⃗
v2)
Dus:
k⃗ v 2 ∈ E λ ,en E λ ≺ Rn
v 1 +⃗
Die vectorruimte noemt men de eigenruimte van λ.
De dimensie van deze eigenruimte noemen we de meetkundige multipliciteit
van de eigenwaarde λ.
6.2 Bepalen van de eigenwaarden en eigenvectoren van T
Zij A de matrix van een lineaire transformatie T van Fn
T ( ⃗x )= A ∙ ⃗x
We weten dat voor de eigenwaarden van T, horend bij de eigenwaarde λ,
moet gelden:
T ( ⃗v )=A ∙ ⃗x = λ∙ ⃗v
Of: A ∙ ⃗x = λI ∙ ⃗x met I de eenheidsmatrix van de orde n
Of: ( A− λI ) ∙ ⃗x =⃗0
Dit kan beschouwd worden als een homogeen stelsel van n lineaire
vergelijkingen in de n onbekenden
x 1 , x 2 , … , x n , de coördinaten van ⃗x .
De nodige en voldoende voorwaarde opdat dit stelsel een oplossing verschillend
van de nuloplossing zou hebben ( en er dus eigenvectoren zijn), is dat de
rang van de coëfficiëntenmatrix kleiner is dan n, of dat:
det ( A−λI )=0
Deze vergelijking wordt de karakteristieke vergelijking van A of T genoemd.
Haar wortels of oplossingen zijn de eigenwaarden van T of A.
De multipliciteit van zo’n wortel λ in de karakteristieke vergelijking, noemen
we de algebraïsche multipliciteit van de eigenwaarde λ.
Algebra: Hoofdstuk 6 2
lineaire transformaties, diagonaliseren van
matrices (p86-105)
6.1 Definities
Zij T een lineaire transformatie van Fn .
Als er vectoren verschillend van de nulvector bestaan, die door T op een
veelvoud van zichzelf is afgebeeld, noemen we die vectoren eigenvectoren
van T. Het ‘veelvoud’ wordt een eigenwaarde van T genoemd.
Dus:
λ∈F is een eigenwaarde van een lineaire transformatie T als er een
vector ⃗v ≠ 0 bestaat zodanig dat
T ( ⃗v )=λ ⃗v
⃗0 ⃗v , die voor een bepaalde eigenwaarde λ
Elke van verschillende vector
aan deze betrekking voldoet, wordt een eigenvector van T genoemd, behorende
bij de eigenwaarde λ.
De eigenvectoren bij een bepaalde eigenwaarde λ van T behoren, vormen
n
samen met de nulvector een deelruimte van R .
Immers:
Noemen we
Eλ de verzameling van eigenvectoren van T, horende bij λ
⃗0
aangevuld met .
Dan geldt:
v1 v2
¿⃗ ¿⃗
¿ en ¿
T¿ T¿
Waaruit volgt, voor alle k ∈R :
Algebra: Hoofdstuk 6 1
, T (k ⃗
v 1 +⃗
v2 ) ¿ k ∙T ( ⃗
v 1 ) +T (⃗
v2 )
¿k ∙ λ⃗
v1 + λ ⃗
v2
¿ λ( k ⃗
v 1+ ⃗
v2)
Dus:
k⃗ v 2 ∈ E λ ,en E λ ≺ Rn
v 1 +⃗
Die vectorruimte noemt men de eigenruimte van λ.
De dimensie van deze eigenruimte noemen we de meetkundige multipliciteit
van de eigenwaarde λ.
6.2 Bepalen van de eigenwaarden en eigenvectoren van T
Zij A de matrix van een lineaire transformatie T van Fn
T ( ⃗x )= A ∙ ⃗x
We weten dat voor de eigenwaarden van T, horend bij de eigenwaarde λ,
moet gelden:
T ( ⃗v )=A ∙ ⃗x = λ∙ ⃗v
Of: A ∙ ⃗x = λI ∙ ⃗x met I de eenheidsmatrix van de orde n
Of: ( A− λI ) ∙ ⃗x =⃗0
Dit kan beschouwd worden als een homogeen stelsel van n lineaire
vergelijkingen in de n onbekenden
x 1 , x 2 , … , x n , de coördinaten van ⃗x .
De nodige en voldoende voorwaarde opdat dit stelsel een oplossing verschillend
van de nuloplossing zou hebben ( en er dus eigenvectoren zijn), is dat de
rang van de coëfficiëntenmatrix kleiner is dan n, of dat:
det ( A−λI )=0
Deze vergelijking wordt de karakteristieke vergelijking van A of T genoemd.
Haar wortels of oplossingen zijn de eigenwaarden van T of A.
De multipliciteit van zo’n wortel λ in de karakteristieke vergelijking, noemen
we de algebraïsche multipliciteit van de eigenwaarde λ.
Algebra: Hoofdstuk 6 2
