LES 1: VORM EN CHARACTERISTIEK
➔ Welke oppervlakten zijn er te construeren in de ruimte?
Oppervlak bestuderen aan de hand van een mesh (veelvlak met alle zijvlakken
driehoeken)
Zijden van mesh:
- Gewone zijde grenst aan juist twee driehoeken
- Randzijde grenst aan één driehoek
Euler karakteristiek van een oppervlak
X=V−E+F
➔ V= aantal hoekpunten van mesh
➔ E= aantal zijden van mesh
➔ F= aantal driehoeken van mesh
X zegt veel over de vorm van het oppervlak (karakteristiek van het oppervlak)
➔ Onafhankelijk van gekozen mesh
➔ Mesh mag ook van veelhoeken zijn ipv driehoeken, n-hoek kan je opdelen in n-2
driehoeken
Elk oppervlak is een opgevouwen veelhoek
Oppervlakken bepalen door zijden van 3-4 hoeken te plakken
Kegel cilinder Möbius-band torus sfeer
,Crosscap ×
= niet voorstelbaar in de ruimte
➔ Snijdt zichzelf
Fles van Klein
= niet voorstelbaar in de ruimte
➔ Snijdt zichzelf
Gesloten oppervlak
= oppervlak zonder rand
= opgevouwen veelhoek waarvan alle zijden 2 aan 2 geplat worden
➔ Kan geconstrueerd worden in de ruimte als alle corresponderende zijden in
tegengestelde richting voorkomen
➔ Enige construeerbare gesloten oppervlakken zijn:
o Sfeer
o Torus
o Aaneenschakeling van g tori
➔ Genus g van een construeerbaar gesloten oppervlak is het aantal gaten in het
oppervlak
,Veelvlak
= ruimtelijke figuur verkregen door veelhoeken langs gemeenschappelijke zijden aan elkaar
te plakken. Elk hoekpunt is volledig omringd door zijvlakken en elke ribbe is de grens van
juist twee zijvlakken.
➔ Convex veelvlak : veelvlak zodat in elk hoekpunt de som van de binnenhoeken van
de aangrenzende zijvlakken minder is dan 360°
(opblaasbaar tot sfeer)
V–E+F=2
o Een convex veelvlak noemen we
Platonisch indien elk zijvlak een
regelmatige n-hoek is, en ik elk hoekpunt er juist r zijvlakken toekomen.
o Er zijn juist 5 platonische veelvlakken:
- de tetraheder
- de kubus
- de octaheder
- de dodecaheder
- de icosaheder
Een convex veelvlak noemen we Archimedisch als elk zijvlak een regelmatige veelhoek is,
en er in elk hoekpunt dezelfde types van veelvlakken samenkomen.
o De vijf Platonische veelvlakken
o De prisma’s en anti-prisma’s
o Juist 13 andere oppervlakken
➔ Concaaf veelvlak
= veelvlak met als som van de binnenhoeken groter dan360°
, LES 2: SYMMETRIE EN ORBIFOLDS
Symmetrie= operaties op object zodat het object er hetzelfde uitziet
Symmetrie in het vlak:
➔ rotatie = draaien rond centrum met vaste hoek
➔ spiegeling = spiegelt ten opzichte van een as
➔ translatie = verplaatsing over vaste afstand en richting
Blok-verband (basket weave)
Spiegel symmetrie
rotatie symmetrie¨en
over hoek van 90°
rotatie symmetrie¨en
over hoek van 180°
Samenstelling van twee spiegelingen met snijdende assen geeft een rotatie met als centrum
het snijpunt van de assen en als hoek tweemaal de hoek tussen de assen.
Samenstelling van twee spiegelingen met evenwijdige assen geeft een translatie in de
richting loodrecht op de assen en afstand tweemaal de afstand tussen de assen.
➔ Welke oppervlakten zijn er te construeren in de ruimte?
Oppervlak bestuderen aan de hand van een mesh (veelvlak met alle zijvlakken
driehoeken)
Zijden van mesh:
- Gewone zijde grenst aan juist twee driehoeken
- Randzijde grenst aan één driehoek
Euler karakteristiek van een oppervlak
X=V−E+F
➔ V= aantal hoekpunten van mesh
➔ E= aantal zijden van mesh
➔ F= aantal driehoeken van mesh
X zegt veel over de vorm van het oppervlak (karakteristiek van het oppervlak)
➔ Onafhankelijk van gekozen mesh
➔ Mesh mag ook van veelhoeken zijn ipv driehoeken, n-hoek kan je opdelen in n-2
driehoeken
Elk oppervlak is een opgevouwen veelhoek
Oppervlakken bepalen door zijden van 3-4 hoeken te plakken
Kegel cilinder Möbius-band torus sfeer
,Crosscap ×
= niet voorstelbaar in de ruimte
➔ Snijdt zichzelf
Fles van Klein
= niet voorstelbaar in de ruimte
➔ Snijdt zichzelf
Gesloten oppervlak
= oppervlak zonder rand
= opgevouwen veelhoek waarvan alle zijden 2 aan 2 geplat worden
➔ Kan geconstrueerd worden in de ruimte als alle corresponderende zijden in
tegengestelde richting voorkomen
➔ Enige construeerbare gesloten oppervlakken zijn:
o Sfeer
o Torus
o Aaneenschakeling van g tori
➔ Genus g van een construeerbaar gesloten oppervlak is het aantal gaten in het
oppervlak
,Veelvlak
= ruimtelijke figuur verkregen door veelhoeken langs gemeenschappelijke zijden aan elkaar
te plakken. Elk hoekpunt is volledig omringd door zijvlakken en elke ribbe is de grens van
juist twee zijvlakken.
➔ Convex veelvlak : veelvlak zodat in elk hoekpunt de som van de binnenhoeken van
de aangrenzende zijvlakken minder is dan 360°
(opblaasbaar tot sfeer)
V–E+F=2
o Een convex veelvlak noemen we
Platonisch indien elk zijvlak een
regelmatige n-hoek is, en ik elk hoekpunt er juist r zijvlakken toekomen.
o Er zijn juist 5 platonische veelvlakken:
- de tetraheder
- de kubus
- de octaheder
- de dodecaheder
- de icosaheder
Een convex veelvlak noemen we Archimedisch als elk zijvlak een regelmatige veelhoek is,
en er in elk hoekpunt dezelfde types van veelvlakken samenkomen.
o De vijf Platonische veelvlakken
o De prisma’s en anti-prisma’s
o Juist 13 andere oppervlakken
➔ Concaaf veelvlak
= veelvlak met als som van de binnenhoeken groter dan360°
, LES 2: SYMMETRIE EN ORBIFOLDS
Symmetrie= operaties op object zodat het object er hetzelfde uitziet
Symmetrie in het vlak:
➔ rotatie = draaien rond centrum met vaste hoek
➔ spiegeling = spiegelt ten opzichte van een as
➔ translatie = verplaatsing over vaste afstand en richting
Blok-verband (basket weave)
Spiegel symmetrie
rotatie symmetrie¨en
over hoek van 90°
rotatie symmetrie¨en
over hoek van 180°
Samenstelling van twee spiegelingen met snijdende assen geeft een rotatie met als centrum
het snijpunt van de assen en als hoek tweemaal de hoek tussen de assen.
Samenstelling van twee spiegelingen met evenwijdige assen geeft een translatie in de
richting loodrecht op de assen en afstand tweemaal de afstand tussen de assen.
