Les 0: z-test, een inleiding tot univariate data-analyse
1. Ongepaard vs. gepaarde steekproeven
De onafhankelijke steekproeven (niet-gepaarde steekproeven, niet-gekoppelde steekproeven, unpaired samples)
o Mannen lopen sneller dan de vrouwen (heeft géén invloed op de snelheid van de vrouwen)
De afhankelijke steekproeven (gepaarde steekproeven; gekoppelde steekproeven, paired samples)
o Jennifer gaat lopen en we gaan meten hoe lang ze daar over doet. Daarna geven we haar EPO (sportmiddel) en
meten we opnieuw hoe snel ze loopt (het is een meting, twee keer bij dezelfde persoon, afhankelijk van)
2. De significantietoetsen
De significantietoetsen gebeurt in 4 stappen:
1) Formuleer de H0 (nulhypothese) en de HA (alternatieve hypothese)
2) Bereken de toetsingsgrootheid
3) Bereken p-waarde (overschrijdingskans) voor de data
4) Formuleer conclusie (APA-style)
2.1 De z-test
De z-test wordt afgenomen indien:
- 1 steekproef
- Interval/ratio
= Om na te gaan of een gemiddelde significant verschilt van een gegeven populatiegemiddelde
1) Formuleer de H0 (nulhypothese) en de HA (alternatieve hypothese)
H0: µ = µO
HA: 3 opties:
o HA: µ < µ0 (indien minder dan gemiddeld)
o HA: µ > µ0 (indien beter dan gemiddeld)
o HA: µ ≠ µ0 (verschillend van het gemiddelde)
2) Bereken de toetsingsgrootheid
Indien van een normaal verdeling vertrekken, is de steekproevenverdeling normaal verdeeld. Indien niet van een normaal
verdeling vertrekken, is de steekproevenverdeling ook normaal verdeeld.
o Delen door sigma/wortel(n) aangezien het gaat over steeekproefgemiddelde => standaardfout! =
standaardafwijking van de steekproevenverdeling van steekproefgemiddelden!
De steekproefgrootte moet minstens 30 zijn (= centrale limiet stelling).
3) Bereken de p-waarde (overschrijdingskans) voor de data
De p-waarde geeft weer hoeveel procent van de steekproeven onder de nulhypothese een minstens zo extreme
steekproefparameter hebben als de geobserveerde steekproefparamater.
1
,4) Formuleer de conclusie (APA-style)
Als p ≤ α dan H0 verwerpen (voldoende bewijs tegen H0)
Voldoende bewijs om te stellen dat ‘HA in eigen woorden’ (
Als p > α dan H0 aanvaarden (onvoldoende bewijs tegen H0)
Onvoldoende bewijs om te stellen dat ‘HA in eigen woorden’ (
Oefeningen
1. Oefening 1B
2
, Les 1: Onderscheidingsvermogen bij de z-test
1. Power
Een statistische toets gaat enkel na of er voldoende bewijs is tegen de nulhypothese. We hebben enkel interesse voor de
overschrijdingskans die afgewogen wordt tegen de fout van de eerste soort (α). Met het onderscheidingsvermogen
berekenen we hoe gevoelig de toets is voor het kunnen meten van een verschil/daling/stijging. We houden daarbij rekening
met de kansen op 2 soorten fouten: fout van de eerste soort (α) en fout van de tweede soort (β).
Drie soorten fouten:
o Fout van de eerste soort (α): de kans dat de nulhypothese verworpen wordt wanneer deze eigenlijk correct is
(P[H0 V/ H0 ok])
o Fout van de tweede soort (β): de kans dat de nulhypothese aanvaard wordt wanneer de alternatieve hypothese
eigenlijk correct is (P[H0 A / HA ok])
o Power 1-β: de kans dat de nulhypothese verworpen wordt wanneer de alternatieve hypothesen ook echt correct
is (P[H0 V/ HA ok])
3
, Op basis van een steekproef, kan je de conclusie trekken dat:
o Nulhypothese (H0) niet kan verwerpen
Indien nulhypothese (H0) aanvaarden en effectief correct (= correcte conclusie)
Indien nulhypothese (H0) aanvaarden maar nulhypothese is fout (= type II fout)
Onterecht foute H0, niet verwerpen
o Nulhypothese (H0) kan verwerpen
Indien nulhypothese (HO) verwerpen maar de nulhypothese is correct (= type I fout)
Onterechte juiste H0, verwerpen
Indien nulhypothese (HO) verwerpen en de nulhypothese is effectief fout, de alternatieve hypothese
(HA) is correct (= correcte conclusie)
Er blijven 2 mogelijkheden over bij voorbeeld oefening 1:
o De gemiddelde score op de test voor fijne motoriek is INDERDAAD lager na 3 glaasjes witte wijn
o De gemiddelde score op de test voor fijne motoriek is NIET lager dan 3 glaasjes witte wijn (=> in 0.13% van de
steekproeven met n=100 vindt men dergelijk lage (of lagere)score. Het is mogelijk dat dergelijke uitzonderlijke
steekproef toevallig getrokken werd
o Gezien het gevonden steekproefgemiddelde uitzonderlijke laag is (komt voor in slechts 0.13% van de
steekproeven) verwerpen we H0. Hierbij nemen we een risico van 2.5% dat we een verkeerde beslissing nemen.
2. De Power berekenen
1) Berekenen van het kritisch gemiddelde
2) Bereken de power
4
1. Ongepaard vs. gepaarde steekproeven
De onafhankelijke steekproeven (niet-gepaarde steekproeven, niet-gekoppelde steekproeven, unpaired samples)
o Mannen lopen sneller dan de vrouwen (heeft géén invloed op de snelheid van de vrouwen)
De afhankelijke steekproeven (gepaarde steekproeven; gekoppelde steekproeven, paired samples)
o Jennifer gaat lopen en we gaan meten hoe lang ze daar over doet. Daarna geven we haar EPO (sportmiddel) en
meten we opnieuw hoe snel ze loopt (het is een meting, twee keer bij dezelfde persoon, afhankelijk van)
2. De significantietoetsen
De significantietoetsen gebeurt in 4 stappen:
1) Formuleer de H0 (nulhypothese) en de HA (alternatieve hypothese)
2) Bereken de toetsingsgrootheid
3) Bereken p-waarde (overschrijdingskans) voor de data
4) Formuleer conclusie (APA-style)
2.1 De z-test
De z-test wordt afgenomen indien:
- 1 steekproef
- Interval/ratio
= Om na te gaan of een gemiddelde significant verschilt van een gegeven populatiegemiddelde
1) Formuleer de H0 (nulhypothese) en de HA (alternatieve hypothese)
H0: µ = µO
HA: 3 opties:
o HA: µ < µ0 (indien minder dan gemiddeld)
o HA: µ > µ0 (indien beter dan gemiddeld)
o HA: µ ≠ µ0 (verschillend van het gemiddelde)
2) Bereken de toetsingsgrootheid
Indien van een normaal verdeling vertrekken, is de steekproevenverdeling normaal verdeeld. Indien niet van een normaal
verdeling vertrekken, is de steekproevenverdeling ook normaal verdeeld.
o Delen door sigma/wortel(n) aangezien het gaat over steeekproefgemiddelde => standaardfout! =
standaardafwijking van de steekproevenverdeling van steekproefgemiddelden!
De steekproefgrootte moet minstens 30 zijn (= centrale limiet stelling).
3) Bereken de p-waarde (overschrijdingskans) voor de data
De p-waarde geeft weer hoeveel procent van de steekproeven onder de nulhypothese een minstens zo extreme
steekproefparameter hebben als de geobserveerde steekproefparamater.
1
,4) Formuleer de conclusie (APA-style)
Als p ≤ α dan H0 verwerpen (voldoende bewijs tegen H0)
Voldoende bewijs om te stellen dat ‘HA in eigen woorden’ (
Als p > α dan H0 aanvaarden (onvoldoende bewijs tegen H0)
Onvoldoende bewijs om te stellen dat ‘HA in eigen woorden’ (
Oefeningen
1. Oefening 1B
2
, Les 1: Onderscheidingsvermogen bij de z-test
1. Power
Een statistische toets gaat enkel na of er voldoende bewijs is tegen de nulhypothese. We hebben enkel interesse voor de
overschrijdingskans die afgewogen wordt tegen de fout van de eerste soort (α). Met het onderscheidingsvermogen
berekenen we hoe gevoelig de toets is voor het kunnen meten van een verschil/daling/stijging. We houden daarbij rekening
met de kansen op 2 soorten fouten: fout van de eerste soort (α) en fout van de tweede soort (β).
Drie soorten fouten:
o Fout van de eerste soort (α): de kans dat de nulhypothese verworpen wordt wanneer deze eigenlijk correct is
(P[H0 V/ H0 ok])
o Fout van de tweede soort (β): de kans dat de nulhypothese aanvaard wordt wanneer de alternatieve hypothese
eigenlijk correct is (P[H0 A / HA ok])
o Power 1-β: de kans dat de nulhypothese verworpen wordt wanneer de alternatieve hypothesen ook echt correct
is (P[H0 V/ HA ok])
3
, Op basis van een steekproef, kan je de conclusie trekken dat:
o Nulhypothese (H0) niet kan verwerpen
Indien nulhypothese (H0) aanvaarden en effectief correct (= correcte conclusie)
Indien nulhypothese (H0) aanvaarden maar nulhypothese is fout (= type II fout)
Onterecht foute H0, niet verwerpen
o Nulhypothese (H0) kan verwerpen
Indien nulhypothese (HO) verwerpen maar de nulhypothese is correct (= type I fout)
Onterechte juiste H0, verwerpen
Indien nulhypothese (HO) verwerpen en de nulhypothese is effectief fout, de alternatieve hypothese
(HA) is correct (= correcte conclusie)
Er blijven 2 mogelijkheden over bij voorbeeld oefening 1:
o De gemiddelde score op de test voor fijne motoriek is INDERDAAD lager na 3 glaasjes witte wijn
o De gemiddelde score op de test voor fijne motoriek is NIET lager dan 3 glaasjes witte wijn (=> in 0.13% van de
steekproeven met n=100 vindt men dergelijk lage (of lagere)score. Het is mogelijk dat dergelijke uitzonderlijke
steekproef toevallig getrokken werd
o Gezien het gevonden steekproefgemiddelde uitzonderlijke laag is (komt voor in slechts 0.13% van de
steekproeven) verwerpen we H0. Hierbij nemen we een risico van 2.5% dat we een verkeerde beslissing nemen.
2. De Power berekenen
1) Berekenen van het kritisch gemiddelde
2) Bereken de power
4
