Bewijzen
Boek 1. Differentiaalvergelijkingen
Methode 3.2 (p. 32)
- Schrijf vergelijking in de vorm: y ' + M ( x ) y=N ( x )
- {∫ M ( x ) dx }
Bereken de tussenintegraal: G ( x )=exp
1
- Zo vinden we: AO . : y=
g(x)
[ C+∫ G ( x ) N ( x ) dx ]
Bewijs:
We nemen de afgeleide en kijken of die overeenstemt met de differentiaalvergelijking:
'
y + M ( x ) y=N ( x ).
Afleiden geeft ons:
y '=
[ 1
g( x) ]
[ C +∫ G ( x ) N ( x ) dx ] ' afgeleide van een product
( )
'
1 1
¿ . [ C +∫ G ( x ) N ( x ) dx ] + . [ C +∫ G ( x ) N ( x ) dx ] '
g(x) g (x )
−g ' ( x) 1
¿ . [ C+∫ G ( x ) N ( x ) dx ] + . g ( x ) N (x)
g ² (x ) g(x)
Voor de afgeleide functie van G ( x )=exp {∫ M ( x ) dx } geldt nu dat:
G ( x )=M ( x ) .G( x )
Bijgevolg kunnen we y’ verder vereenvoudigen tot
−M ( x)
¿ . [ C +∫ G ( x ) N ( x ) dx ] + N (x )
G(x)
y ' =−M ( x ) . y + N (x)
Eigenschap 4.1 (p. 54)
Voor elke homogene differentiaalvergelijking y ' ' + a y ' +by =0 geldt:
1. Y1(x) en y2(x) zijn oplossingen, dan is ook elke lineaire combinatie een oplossing van deze
homogene differentiaalvergelijking: C 1 . y 1 ( x ) +C 2 . y 2 ( x)
2. Y1(x) en y2(x) zijn onafhankelijke oplossingen, dan is de lineaire combinatie hiervan de AO
Bewijs:
1. Wanneer y1(x) en y2(x) beiden oplossingen zijn van dezelfde differentiaalvergelijking, dan
geldt:
'' ' '' '
y 1 + a y 1+b y 1 =0 en y 2 + a y 2+b y2 =0
Voor C 1 . y 1 ( x ) +C 2 . y 2 (x) krijgen we dan:
(C ¿ ¿ 1. y 1 ( x ) +C 2 . y 2 ( x))' ' +a( C ¿ ¿ 1 . y 1 ( x )+ C2 . y 2 ( x )) '+b (C ¿ ¿1 . y 1 ( x ) +C 2 . y 2 ( x))¿ ¿ ¿
¿ C 1 ( y 1 + a y 1+ b y 1 ) +C 2( y 2 +a y 2 +b y 2)
'' ' '' '
¿ C 1 .0+C 2 .0=0
Zodat dit een oplossing is voor de homogene differentiaalvergelijking
2. Wanneer deze onafhankelijk oplossingen zijn, geldt er:
y ( x )=C 1 . y 1 ( x ) +C2 . y 2 ( x) is een oplossing
y ( x )=C 1 . y 1 ( x ) +C2 . y 2 ( x) bevat 2 elementaire constanten (order is dus ook 2)
Bijgevolg zal dit de AO moeten zijn
Eigenschap 4.2 (karakteristieke vergelijking p.56)
, 1. Voor de homogene lineaire differentiaalvergelijking y ' ' + a y ' +by =0 luidt de karakteristieke
vergelijking λ 2+ aλ+b=0
2. Wanneer λ 0 een wortel is van de karakteristieke vergelijking, dan is de functie bepaald door
λ x
y ( x )=e een oplossing van de homogene differentiaalvergelijking
0
3. Wanneer λ 0 een dubbele wortel (D = 0) is van de karakteristieke vergelijking, dan is
bovendien ook de functie bepaald door y ( x )=x . e λ x een oplossing van de homogene 0
differentiaalvergelijking
Bewijs:
1. –
2
2. Wanneer λ 0 een wortel is van de karakteristieke vergelijking, dan geldt λ 0+ a λ0 +b=0
λ0 x 2 λ0 x
Voor de functie bepaald door y ( x )=e λ x geldt: y '= λ0 . e 0
en y ' ' =λ0 . e
Zodat y ' ' + a y ' +b y
2 λ0 x
¿( λ¿¿ 0 . e¿¿ λ0 x )+a .(λ ¿ ¿ 0 . e ¿ ¿ λ 0 x )+ b .(e )¿ ¿ ¿ ¿
¿( λ¿¿ 02 +a λ 0 +b). e λ x ¿ 0
λ x
¿ 0. e =0 0
De functie bepaald door y ( x ) is dus een oplossing van de homogene differentiaalvergelijking
3. Wanneer λ 0 een dubbele wortel is van de karakteristieke vergelijking, dan geldt
λ 0+ a λ0 +b=0 en ook 2 λ0 =−a
2
Voor de functie bepaald door y ( x )=x . e λ x geldt 0
y '=e λ x + λ0 . x . e λ x en y ' ' =2 λ 0 .e λ x + λ 20 . x .e λ
0 0 0 0 x
Zodat y ' ' + a y ' +b y
¿ (2 λ 0 . e )+ a .(e ¿ ¿ λ0 x+ λ0 . x . e ¿ ¿ λ0 x )+b . x . e λ x ¿¿
λ0x 2 λ0 x
+ λ0. x . e 0
¿ ( λ20 +a λ 0+ b ) . x . e + ( 2 λ0 + a ) . e
λ x 0
λ x 0
λ0 x λ0 x
¿ 0. x . e +0. e =0
Naast de functie bepaald door y ( x ) is dus ook de functie bepaald door y ( x ) een oplossing
van de homogene differentiaalvergelijking
Eigenschap 4.3 (niet-homogene lineaire differentiaalvergelijking p.63)
Niet-homogene lineaire differentiaalvergelijking: y ' ' + a y ' +by =g ( x)
Gelden volgende eigenschappen:
1. Wanneer y p (x ) een oplossing is van de niet-homogene of volledige LD, en y h ( x ) is een
oplossing van de overeenkomstige homogene LD, dan is de som
y h ( x )+ y p ( x ) ook een oplossing van de niet-homogene LD
2. Wanneer y p (x ) een particuliere oplossing is van de niet-homogene LD, en y h ( x ) is de
algemene oplossing van de overeenkomstige homogene LD, dan is de som
y= y h ( x ) + y p ( x ) de algemene oplossing van de niet-homogene LD
Bewijs:
1. Wanneer beiden een oplossing zijn, dan geldt:
y p' ' + a y p' +b y p =g (x) en y h' ' + a y h' +b y h =0
Voor de som y h ( x )+ y p ( x ) krijgen we dan
¿
¿ ( y + a y h + b y h ) +( y p' ' +a y p' +b y p)
h
'' '
¿ 0+ g ( x )=g(x )
Zodat dit ook een oplossing is van de volledige LD
2. Als de ene een P.O. is en de andere een A.O., geldt:
a) y= y h ( x ) + y p ( x ) is een oplossing van de niet-homogene LD
Boek 1. Differentiaalvergelijkingen
Methode 3.2 (p. 32)
- Schrijf vergelijking in de vorm: y ' + M ( x ) y=N ( x )
- {∫ M ( x ) dx }
Bereken de tussenintegraal: G ( x )=exp
1
- Zo vinden we: AO . : y=
g(x)
[ C+∫ G ( x ) N ( x ) dx ]
Bewijs:
We nemen de afgeleide en kijken of die overeenstemt met de differentiaalvergelijking:
'
y + M ( x ) y=N ( x ).
Afleiden geeft ons:
y '=
[ 1
g( x) ]
[ C +∫ G ( x ) N ( x ) dx ] ' afgeleide van een product
( )
'
1 1
¿ . [ C +∫ G ( x ) N ( x ) dx ] + . [ C +∫ G ( x ) N ( x ) dx ] '
g(x) g (x )
−g ' ( x) 1
¿ . [ C+∫ G ( x ) N ( x ) dx ] + . g ( x ) N (x)
g ² (x ) g(x)
Voor de afgeleide functie van G ( x )=exp {∫ M ( x ) dx } geldt nu dat:
G ( x )=M ( x ) .G( x )
Bijgevolg kunnen we y’ verder vereenvoudigen tot
−M ( x)
¿ . [ C +∫ G ( x ) N ( x ) dx ] + N (x )
G(x)
y ' =−M ( x ) . y + N (x)
Eigenschap 4.1 (p. 54)
Voor elke homogene differentiaalvergelijking y ' ' + a y ' +by =0 geldt:
1. Y1(x) en y2(x) zijn oplossingen, dan is ook elke lineaire combinatie een oplossing van deze
homogene differentiaalvergelijking: C 1 . y 1 ( x ) +C 2 . y 2 ( x)
2. Y1(x) en y2(x) zijn onafhankelijke oplossingen, dan is de lineaire combinatie hiervan de AO
Bewijs:
1. Wanneer y1(x) en y2(x) beiden oplossingen zijn van dezelfde differentiaalvergelijking, dan
geldt:
'' ' '' '
y 1 + a y 1+b y 1 =0 en y 2 + a y 2+b y2 =0
Voor C 1 . y 1 ( x ) +C 2 . y 2 (x) krijgen we dan:
(C ¿ ¿ 1. y 1 ( x ) +C 2 . y 2 ( x))' ' +a( C ¿ ¿ 1 . y 1 ( x )+ C2 . y 2 ( x )) '+b (C ¿ ¿1 . y 1 ( x ) +C 2 . y 2 ( x))¿ ¿ ¿
¿ C 1 ( y 1 + a y 1+ b y 1 ) +C 2( y 2 +a y 2 +b y 2)
'' ' '' '
¿ C 1 .0+C 2 .0=0
Zodat dit een oplossing is voor de homogene differentiaalvergelijking
2. Wanneer deze onafhankelijk oplossingen zijn, geldt er:
y ( x )=C 1 . y 1 ( x ) +C2 . y 2 ( x) is een oplossing
y ( x )=C 1 . y 1 ( x ) +C2 . y 2 ( x) bevat 2 elementaire constanten (order is dus ook 2)
Bijgevolg zal dit de AO moeten zijn
Eigenschap 4.2 (karakteristieke vergelijking p.56)
, 1. Voor de homogene lineaire differentiaalvergelijking y ' ' + a y ' +by =0 luidt de karakteristieke
vergelijking λ 2+ aλ+b=0
2. Wanneer λ 0 een wortel is van de karakteristieke vergelijking, dan is de functie bepaald door
λ x
y ( x )=e een oplossing van de homogene differentiaalvergelijking
0
3. Wanneer λ 0 een dubbele wortel (D = 0) is van de karakteristieke vergelijking, dan is
bovendien ook de functie bepaald door y ( x )=x . e λ x een oplossing van de homogene 0
differentiaalvergelijking
Bewijs:
1. –
2
2. Wanneer λ 0 een wortel is van de karakteristieke vergelijking, dan geldt λ 0+ a λ0 +b=0
λ0 x 2 λ0 x
Voor de functie bepaald door y ( x )=e λ x geldt: y '= λ0 . e 0
en y ' ' =λ0 . e
Zodat y ' ' + a y ' +b y
2 λ0 x
¿( λ¿¿ 0 . e¿¿ λ0 x )+a .(λ ¿ ¿ 0 . e ¿ ¿ λ 0 x )+ b .(e )¿ ¿ ¿ ¿
¿( λ¿¿ 02 +a λ 0 +b). e λ x ¿ 0
λ x
¿ 0. e =0 0
De functie bepaald door y ( x ) is dus een oplossing van de homogene differentiaalvergelijking
3. Wanneer λ 0 een dubbele wortel is van de karakteristieke vergelijking, dan geldt
λ 0+ a λ0 +b=0 en ook 2 λ0 =−a
2
Voor de functie bepaald door y ( x )=x . e λ x geldt 0
y '=e λ x + λ0 . x . e λ x en y ' ' =2 λ 0 .e λ x + λ 20 . x .e λ
0 0 0 0 x
Zodat y ' ' + a y ' +b y
¿ (2 λ 0 . e )+ a .(e ¿ ¿ λ0 x+ λ0 . x . e ¿ ¿ λ0 x )+b . x . e λ x ¿¿
λ0x 2 λ0 x
+ λ0. x . e 0
¿ ( λ20 +a λ 0+ b ) . x . e + ( 2 λ0 + a ) . e
λ x 0
λ x 0
λ0 x λ0 x
¿ 0. x . e +0. e =0
Naast de functie bepaald door y ( x ) is dus ook de functie bepaald door y ( x ) een oplossing
van de homogene differentiaalvergelijking
Eigenschap 4.3 (niet-homogene lineaire differentiaalvergelijking p.63)
Niet-homogene lineaire differentiaalvergelijking: y ' ' + a y ' +by =g ( x)
Gelden volgende eigenschappen:
1. Wanneer y p (x ) een oplossing is van de niet-homogene of volledige LD, en y h ( x ) is een
oplossing van de overeenkomstige homogene LD, dan is de som
y h ( x )+ y p ( x ) ook een oplossing van de niet-homogene LD
2. Wanneer y p (x ) een particuliere oplossing is van de niet-homogene LD, en y h ( x ) is de
algemene oplossing van de overeenkomstige homogene LD, dan is de som
y= y h ( x ) + y p ( x ) de algemene oplossing van de niet-homogene LD
Bewijs:
1. Wanneer beiden een oplossing zijn, dan geldt:
y p' ' + a y p' +b y p =g (x) en y h' ' + a y h' +b y h =0
Voor de som y h ( x )+ y p ( x ) krijgen we dan
¿
¿ ( y + a y h + b y h ) +( y p' ' +a y p' +b y p)
h
'' '
¿ 0+ g ( x )=g(x )
Zodat dit ook een oplossing is van de volledige LD
2. Als de ene een P.O. is en de andere een A.O., geldt:
a) y= y h ( x ) + y p ( x ) is een oplossing van de niet-homogene LD
