Prof. Dr. A. Schwartz Institut für Numerische Mathematik
Dr. M. Herrich SS 2022
Übungen zur Vorlesung Spezielle Kapitel der Mathematik
11. Übung, 20.06.–24.06.2022
In diesem Übungsblatt geht es um wichtige spezielle Verteilungen diskreter und stetiger Zufallsgrö-
ßen.
Aufgabe 1 (Normalverteilte Zufallsgrößen)
Der Benzinverbrauch X (in Liter pro 100 km) von Fahrzeugen eines gewissen Typs sei normalverteilt
2
mit dem Erwartungswert µ = 7 100ℓkm und der Varianz σ 2 = 0,04 (100ℓkm)2 .
(a) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Benzinverbrauch eines zufällig ausgewähl-
ten Fahrzeugs des betrachteten Typs
(a1) höchstens 7,1 100ℓkm beträgt,
(a2) weniger als 6,7 100ℓkm beträgt,
(a3) mehr als 7,5 100ℓkm beträgt,
(a4) mindestens 6,8 100ℓkm , aber höchstens 7,3 100ℓkm beträgt,
(a5) um mehr als 0,3 100ℓkm vom erwarteten Benzinverbrauch abweicht.
(b) Bestimmen Sie eine möglichst kleine Zahl c ∈ R derart, dass der Benzinverbrauch eines zufällig
ausgewählten Fahrzeugs des betrachteten Typs
(b1) mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 97,5% kleiner als c Liter pro 100 km ist,
(b2) mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% um weniger als c Liter pro 100 km vom
erwarteten Benzinverbrauch abweicht.
Hinweis: Nutzen Sie zur Lösung der Teilaufgaben die in Ihrer Formelsammlung tabellierten Werte
der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.
Aufgabe 2 (Exponentialverteilte Zufallsgrößen)
Die Zerfallszeit T für ein Atom des radioaktiven Polonium-Isotops 210 Po ist eine exponentialverteilte
Zufallsgröße. Bestimmen Sie mittels der Halbwertszeit, die für dieses radioaktive Element 140 Tage
beträgt,
(a) den Parameter λ der Exponentialverteilung,
(b) die Zeitdauer t0 , in der mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% ein Zerfall erfolgt.
Bemerkung: Unter der Halbwertszeit versteht man diejenige Zeit, in deren Verlauf die Wahrschein-
lichkeit eines Zerfalls gleich 12 ist.
Aufgabe 3 (Binomialverteilte Zufallsgrößen)
Eine Studentin ist von der Wahrscheinlichkeitsrechnung so begeistert, dass sie beschließt, ihre Sams-
tagabendbeschäftigung (Diskobesuch oder Kinobesuch oder Buch lesen) jeweils am Vortage durch
Würfeln festzulegen. Für einen idealen Würfel legt sie fest:
– Diskobesuch, falls die Augenzahl nicht größer als 3 ist,
1
Dr. M. Herrich SS 2022
Übungen zur Vorlesung Spezielle Kapitel der Mathematik
11. Übung, 20.06.–24.06.2022
In diesem Übungsblatt geht es um wichtige spezielle Verteilungen diskreter und stetiger Zufallsgrö-
ßen.
Aufgabe 1 (Normalverteilte Zufallsgrößen)
Der Benzinverbrauch X (in Liter pro 100 km) von Fahrzeugen eines gewissen Typs sei normalverteilt
2
mit dem Erwartungswert µ = 7 100ℓkm und der Varianz σ 2 = 0,04 (100ℓkm)2 .
(a) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Benzinverbrauch eines zufällig ausgewähl-
ten Fahrzeugs des betrachteten Typs
(a1) höchstens 7,1 100ℓkm beträgt,
(a2) weniger als 6,7 100ℓkm beträgt,
(a3) mehr als 7,5 100ℓkm beträgt,
(a4) mindestens 6,8 100ℓkm , aber höchstens 7,3 100ℓkm beträgt,
(a5) um mehr als 0,3 100ℓkm vom erwarteten Benzinverbrauch abweicht.
(b) Bestimmen Sie eine möglichst kleine Zahl c ∈ R derart, dass der Benzinverbrauch eines zufällig
ausgewählten Fahrzeugs des betrachteten Typs
(b1) mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 97,5% kleiner als c Liter pro 100 km ist,
(b2) mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% um weniger als c Liter pro 100 km vom
erwarteten Benzinverbrauch abweicht.
Hinweis: Nutzen Sie zur Lösung der Teilaufgaben die in Ihrer Formelsammlung tabellierten Werte
der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.
Aufgabe 2 (Exponentialverteilte Zufallsgrößen)
Die Zerfallszeit T für ein Atom des radioaktiven Polonium-Isotops 210 Po ist eine exponentialverteilte
Zufallsgröße. Bestimmen Sie mittels der Halbwertszeit, die für dieses radioaktive Element 140 Tage
beträgt,
(a) den Parameter λ der Exponentialverteilung,
(b) die Zeitdauer t0 , in der mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% ein Zerfall erfolgt.
Bemerkung: Unter der Halbwertszeit versteht man diejenige Zeit, in deren Verlauf die Wahrschein-
lichkeit eines Zerfalls gleich 12 ist.
Aufgabe 3 (Binomialverteilte Zufallsgrößen)
Eine Studentin ist von der Wahrscheinlichkeitsrechnung so begeistert, dass sie beschließt, ihre Sams-
tagabendbeschäftigung (Diskobesuch oder Kinobesuch oder Buch lesen) jeweils am Vortage durch
Würfeln festzulegen. Für einen idealen Würfel legt sie fest:
– Diskobesuch, falls die Augenzahl nicht größer als 3 ist,
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