TU Dresden · Fakultät Mathematik · Institut für Numerische Mathematik 1
Prof. Dr. A. Schwartz Institut für Numerische Mathematik
Dr. M. Herrich SS 2022
Übungen zur Vorlesung Spezielle Kapitel der Mathematik
11. Übung, 20.06.–24.06.2022
Aufgabe 1 (Normalverteilte Zufallsgrößen)
Der Benzinverbrauch X (in Liter pro 100 km) von Fahrzeugen eines gewissen Typs sei normalverteilt
2
mit dem Erwartungswert µ = 7 100ℓkm und der Varianz σ 2 = 0,04 (100ℓkm)2 .
(a) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Benzinverbrauch eines zufällig ausgewähl-
ten Fahrzeugs des betrachteten Typs
(a1) höchstens 7,1 100ℓkm beträgt,
(a2) weniger als 6,7 100ℓkm beträgt,
(a3) mehr als 7,5 100ℓkm beträgt,
(a4) mindestens 6,8 100ℓkm , aber höchstens 7,3 100ℓkm beträgt,
(a5) um mehr als 0,3 100ℓkm vom erwarteten Benzinverbrauch abweicht.
(b) Bestimmen Sie eine möglichst kleine Zahl c ∈ R derart, dass der Benzinverbrauch eines zufällig
ausgewählten Fahrzeugs des betrachteten Typs
(b1) mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 97,5% kleiner als c Liter pro 100 km ist,
(b2) mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% um weniger als c Liter pro 100 km vom
erwarteten Benzinverbrauch abweicht.
Hinweis: Nutzen Sie zur Lösung der Teilaufgaben die in Ihrer Formelsammlung tabellierten Werte
der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.
Lösung: Wir beginnen mit ein paar Vorüberlegungen.
• Soll für eine normalverteilte Zufallsgröße X mit Erwartungswert µ und Standardabweichung
σ eine Wahrscheinlichkeit der Form P (X < b) oder P (X ≤ b) (für vorgegebenes b) bestimmt
werden, so geht das mit der folgenden Formel:
b−µ
P (X < b) = P (X ≤ b) = Φ .
σ
(Da es sich bei X als normalverteilter Zufallsgröße insbesondere um eine stetige Zufallsgröße
handelt, stimmen die Wahrscheinlichkeiten P (X < b) und P (X ≤ b) überein.) Mit Φ ist dabei
die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung gemeint. Für z ≥ 0 sind die zugehö-
rigen Funktionswerte Φ(z) tabelliert (zumindest für ausgewählte Werte z und zumindest auf
einige Nachkommastellen genau gerundet). Für z < 0 sind die Werte Φ(z) üblicherweise nicht
tabelliert. Stattdessen ist dann die Formel Φ(z) = 1 − Φ(−z) zu verwenden; Φ(−z) kann dann
wieder abgelesen werden.
• Sind Wahrscheinlichkeiten anderer Gestalten, zum Beispiel P (X > b) oder P (a ≤ X ≤ b),
gesucht, sollten diese zunächst in Ausdrücke überführt werden, die nur noch Wahrscheinlich-
keiten der Form P (X < b) bzw. P (X ≤ b) enthalten. Wie dann letztere berechnet werden
können, wissen wir bereits. Zum Beispiel können die folgenden Umformungen hilfreich sein:
P (X > b) = 1 − P (X ≤ b), P (a ≤ X ≤ b) = P (X ≤ b) − P (X < a).
Prof. Dr. A. Schwartz Institut für Numerische Mathematik
Dr. M. Herrich SS 2022
Übungen zur Vorlesung Spezielle Kapitel der Mathematik
11. Übung, 20.06.–24.06.2022
Aufgabe 1 (Normalverteilte Zufallsgrößen)
Der Benzinverbrauch X (in Liter pro 100 km) von Fahrzeugen eines gewissen Typs sei normalverteilt
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mit dem Erwartungswert µ = 7 100ℓkm und der Varianz σ 2 = 0,04 (100ℓkm)2 .
(a) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Benzinverbrauch eines zufällig ausgewähl-
ten Fahrzeugs des betrachteten Typs
(a1) höchstens 7,1 100ℓkm beträgt,
(a2) weniger als 6,7 100ℓkm beträgt,
(a3) mehr als 7,5 100ℓkm beträgt,
(a4) mindestens 6,8 100ℓkm , aber höchstens 7,3 100ℓkm beträgt,
(a5) um mehr als 0,3 100ℓkm vom erwarteten Benzinverbrauch abweicht.
(b) Bestimmen Sie eine möglichst kleine Zahl c ∈ R derart, dass der Benzinverbrauch eines zufällig
ausgewählten Fahrzeugs des betrachteten Typs
(b1) mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 97,5% kleiner als c Liter pro 100 km ist,
(b2) mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% um weniger als c Liter pro 100 km vom
erwarteten Benzinverbrauch abweicht.
Hinweis: Nutzen Sie zur Lösung der Teilaufgaben die in Ihrer Formelsammlung tabellierten Werte
der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.
Lösung: Wir beginnen mit ein paar Vorüberlegungen.
• Soll für eine normalverteilte Zufallsgröße X mit Erwartungswert µ und Standardabweichung
σ eine Wahrscheinlichkeit der Form P (X < b) oder P (X ≤ b) (für vorgegebenes b) bestimmt
werden, so geht das mit der folgenden Formel:
b−µ
P (X < b) = P (X ≤ b) = Φ .
σ
(Da es sich bei X als normalverteilter Zufallsgröße insbesondere um eine stetige Zufallsgröße
handelt, stimmen die Wahrscheinlichkeiten P (X < b) und P (X ≤ b) überein.) Mit Φ ist dabei
die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung gemeint. Für z ≥ 0 sind die zugehö-
rigen Funktionswerte Φ(z) tabelliert (zumindest für ausgewählte Werte z und zumindest auf
einige Nachkommastellen genau gerundet). Für z < 0 sind die Werte Φ(z) üblicherweise nicht
tabelliert. Stattdessen ist dann die Formel Φ(z) = 1 − Φ(−z) zu verwenden; Φ(−z) kann dann
wieder abgelesen werden.
• Sind Wahrscheinlichkeiten anderer Gestalten, zum Beispiel P (X > b) oder P (a ≤ X ≤ b),
gesucht, sollten diese zunächst in Ausdrücke überführt werden, die nur noch Wahrscheinlich-
keiten der Form P (X < b) bzw. P (X ≤ b) enthalten. Wie dann letztere berechnet werden
können, wissen wir bereits. Zum Beispiel können die folgenden Umformungen hilfreich sein:
P (X > b) = 1 − P (X ≤ b), P (a ≤ X ≤ b) = P (X ≤ b) − P (X < a).
