TU Dresden · Fakultät Mathematik · Institut für Numerische Mathematik 1
Prof. Dr. A. Schwartz Institut für Numerische Mathematik
Dr. M. Herrich SS 2022
Übungen zur Vorlesung Spezielle Kapitel der Mathematik
11. Übung, 20.06.–24.06.2022
Aufgabe 4 (Poisson-verteilte Zufallsgrößen)
An einer Tankstelle kommen zwischen 16.00 und 18.00 Uhr durchschnittlich 2,5 Fahrzeuge pro Minute
an. Man bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Minute während dieser Zeit
(a) kein Fahrzeug,
(b) genau ein Fahrzeug,
(c) genau zwei Fahrzeuge,
(d) mehr als drei Fahrzeuge,
(e) weniger als sechs Fahrzeuge
eintreffen. Dabei gehe man davon aus, dass die Anzahl A der ankommenden Fahrzeuge pro Minute
Poisson-verteilt ist.
Lösung: Gemäß der Aufgabenstellung gehen wir davon aus, dass die Zufallsgröße A (Anzahl der
ankommenden Fahrzeuge pro Minute) Poisson-verteilt ist, allerdings muss der Parameter λ für die
Poisson-Verteilung noch bestimmt werden. Dieser Parameter ist gerade der Erwartungswert einer
Poisson-verteilten Zufallsgröße. Da durchschnittlich 2,5 Fahrzeuge pro Minute ankommen, ist hier
λ = E(A) = 2,5.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau k Fahrzeuge (k = 0, 1, 2, 3, . . .) in einer Minute ankommen,
lässt sich somit wie folgt berechnen:
2,5k −2,5
P (A = k) = e .
k!
Damit sind wir dazu in der Lage, die gesuchten Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Die Ergebnisse
sind auf 4 Nachkommastellen genau angegeben.
2,50 −2,5
(a) P (A = 0) = 0! e = e−2,5 ≈ 0,0821
2,51 −2,5
(b) P (A = 1) = 1! e = 2,5e−2,5 ≈ 0,2052
2,52 −2,5
(c) P (A = 2) = 2! e ≈ 0,2565
0 3
(d) P (A > 3) = 1−P (A = 0)−P (A = 1)−P (A = 2)−P (A = 3) = 1− 2,5
0! e
−2,5 −. . .− 2,5 e−2,5 ≈
3!
0,2424
2,50 −2,5 2,51 −2,5 2,55 −2,5
(e) P (A < 6) = P (A = 0) + P (A = 1) + . . . + P (A = 5) = 0! e + 1! e +...+ 5! e ≈
0,9580
Prof. Dr. A. Schwartz Institut für Numerische Mathematik
Dr. M. Herrich SS 2022
Übungen zur Vorlesung Spezielle Kapitel der Mathematik
11. Übung, 20.06.–24.06.2022
Aufgabe 4 (Poisson-verteilte Zufallsgrößen)
An einer Tankstelle kommen zwischen 16.00 und 18.00 Uhr durchschnittlich 2,5 Fahrzeuge pro Minute
an. Man bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Minute während dieser Zeit
(a) kein Fahrzeug,
(b) genau ein Fahrzeug,
(c) genau zwei Fahrzeuge,
(d) mehr als drei Fahrzeuge,
(e) weniger als sechs Fahrzeuge
eintreffen. Dabei gehe man davon aus, dass die Anzahl A der ankommenden Fahrzeuge pro Minute
Poisson-verteilt ist.
Lösung: Gemäß der Aufgabenstellung gehen wir davon aus, dass die Zufallsgröße A (Anzahl der
ankommenden Fahrzeuge pro Minute) Poisson-verteilt ist, allerdings muss der Parameter λ für die
Poisson-Verteilung noch bestimmt werden. Dieser Parameter ist gerade der Erwartungswert einer
Poisson-verteilten Zufallsgröße. Da durchschnittlich 2,5 Fahrzeuge pro Minute ankommen, ist hier
λ = E(A) = 2,5.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau k Fahrzeuge (k = 0, 1, 2, 3, . . .) in einer Minute ankommen,
lässt sich somit wie folgt berechnen:
2,5k −2,5
P (A = k) = e .
k!
Damit sind wir dazu in der Lage, die gesuchten Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Die Ergebnisse
sind auf 4 Nachkommastellen genau angegeben.
2,50 −2,5
(a) P (A = 0) = 0! e = e−2,5 ≈ 0,0821
2,51 −2,5
(b) P (A = 1) = 1! e = 2,5e−2,5 ≈ 0,2052
2,52 −2,5
(c) P (A = 2) = 2! e ≈ 0,2565
0 3
(d) P (A > 3) = 1−P (A = 0)−P (A = 1)−P (A = 2)−P (A = 3) = 1− 2,5
0! e
−2,5 −. . .− 2,5 e−2,5 ≈
3!
0,2424
2,50 −2,5 2,51 −2,5 2,55 −2,5
(e) P (A < 6) = P (A = 0) + P (A = 1) + . . . + P (A = 5) = 0! e + 1! e +...+ 5! e ≈
0,9580
