wiskunde hoofdstuk 6 driehoeksmeting
6 DRIEHOEKSMETING
6.1 GONIOMETRISCHE GETALLEN VAN WILLEKEURIGE HOEKEN
6.1.1 SCHERPE HOEKEN EN DE GONIOMETRISCHE CIRKEL
Goniometrische cirkel De cirkel met middelpunt O(0,0) en straal r = 1
Kwadrant 1 Rechtsboven
Kwadrant 2 Links boven
Kwadrant 3 Linksonder
Kwadrant 4 Rechtsonder
beeldpunt Het snijpunt van dat tweede been met de
goniometrische cirkel
Cos α = x-coördinaat van P
Sin α = y-coördinaat van P
Tan α = sin α
cos α
Cot α = cos α 1
=
sin α tan α
6.1.2 GONIOMETRISCHE GETALLEN VAN WILLEKEURIGE HOEKEN
Bewijs hoofdformule goniometrie+ Aangezien P (cos α ,sin α ¿ het beeldpunt is van
α, ligt het op de goniometrische cirkel en geldt:
│OP│= 1
√ ¿ ¿ ¿ afstandsformule
√ cos2 α + sin2 α =1 vereenvoudigen
Cos^2α + sin^2α =1 beide leden kwadrateren
Tussen welke getallen liggen de cos -1 en 1
α en de sin❑ α
6.1.3 MEETKUNDIGE BETEKENIS VAN DE TANGENS
definitie De tangens van een hoek α is de
richtingscoëfficiënt van het eindbeen van de
hoek α
Wanneer kan je de tangens aflezen y-coördinaat van het snijpunt van OP met de
raaklijn in (1,0) aan de goniometrische cirkel
wat is de meetkundige betekenis van tan α sin α −0
Rico of
cos α −0
Je hoek is 0°≤ α ≤45° wat is de tangens 0 ≤ α ≤1
Je hoek is 45°≤ α ≤ 90° wat is de tangens 1 ≤ tan α
Je hoek is 90°≤ α ≤ 135° wat is de tangens -1≤tan α
Je hoek is 135°≤ α ≤ 180° wat is de tangens 0≤tan α ≤ -1
6.2 VERWANTE HOEKEN
6.2.1 SUPLEMENTAIRE HOEKEN
definitie Supplementaire hoeken zijn hoeken waarvan de
som 180° is
eigenschap Supplementaire hoeken hebben een gelijke
sinus en een tegenstelde cosinus, tangens en
, wiskunde hoofdstuk 6 driehoeksmeting
cotangens
verklaring De hoeken ∝ en 180° - ∝ hebben als
beeldpunten P en Q. hun loodrechte projecties
op de x-as zijn P’ en Q’.
∆ OPP’ ≅ ∆OQQ’ omdat
H PÔP’ = ∝= QÔQ’
Z │OP │ = 1 =│OQ│
H O^PP’ = 90° - ∝ = O^QQ’
⇓
│OP’│ = │OQ’│ en │PP’│ = │QQ’│
⇓
cos ∝ = −cos (180 °−∝) en sin ∝ =
sin(180 °−∝)
⇓
cos (180 °−∝) = -cos ∝ ensin(180 ° −∝)=¿
sin ∝
tekening
gevolg tan (180 °−∝) = - tan ∝
cot(180°−∝)= - cot ∝
6.2.2 COMPLEMENTAIRE HOEKEN
definitie Complementaire hoeken zijn hoeken waarvan
de som 90° is
eigenschap Voor complementaire hoeken geldt :
- De cosinus van de ene is gelijk aan de
sinus van de andere
- De tangens van de ene is gelijk aan de
cotangens van de andere
verklaring P en Q zijn de beeldpunten van ∝ en 90°- ∝. P’
is de loodrechte projectie van P op de x-as en Q’
is de loodrechte projectie van Q op de y-as
∆ OPP’ ≅ ∆ OQQ’ omdat
H PÔP = ∝ = QÔQ’
Z │OP│=1= │OQ│
H O^PP’ = 90° - ∝ = O^QQ’
⇓
│OP’│=│OQ’│ en │PP’│=│QQ’│
⇓
cos ∝ = sin 90 °−∝ en sin ∝ = cos 90° −∝
⇓
cos 90°−∝ = sin ∝ en sin 90 °−∝ = cos ∝
6 DRIEHOEKSMETING
6.1 GONIOMETRISCHE GETALLEN VAN WILLEKEURIGE HOEKEN
6.1.1 SCHERPE HOEKEN EN DE GONIOMETRISCHE CIRKEL
Goniometrische cirkel De cirkel met middelpunt O(0,0) en straal r = 1
Kwadrant 1 Rechtsboven
Kwadrant 2 Links boven
Kwadrant 3 Linksonder
Kwadrant 4 Rechtsonder
beeldpunt Het snijpunt van dat tweede been met de
goniometrische cirkel
Cos α = x-coördinaat van P
Sin α = y-coördinaat van P
Tan α = sin α
cos α
Cot α = cos α 1
=
sin α tan α
6.1.2 GONIOMETRISCHE GETALLEN VAN WILLEKEURIGE HOEKEN
Bewijs hoofdformule goniometrie+ Aangezien P (cos α ,sin α ¿ het beeldpunt is van
α, ligt het op de goniometrische cirkel en geldt:
│OP│= 1
√ ¿ ¿ ¿ afstandsformule
√ cos2 α + sin2 α =1 vereenvoudigen
Cos^2α + sin^2α =1 beide leden kwadrateren
Tussen welke getallen liggen de cos -1 en 1
α en de sin❑ α
6.1.3 MEETKUNDIGE BETEKENIS VAN DE TANGENS
definitie De tangens van een hoek α is de
richtingscoëfficiënt van het eindbeen van de
hoek α
Wanneer kan je de tangens aflezen y-coördinaat van het snijpunt van OP met de
raaklijn in (1,0) aan de goniometrische cirkel
wat is de meetkundige betekenis van tan α sin α −0
Rico of
cos α −0
Je hoek is 0°≤ α ≤45° wat is de tangens 0 ≤ α ≤1
Je hoek is 45°≤ α ≤ 90° wat is de tangens 1 ≤ tan α
Je hoek is 90°≤ α ≤ 135° wat is de tangens -1≤tan α
Je hoek is 135°≤ α ≤ 180° wat is de tangens 0≤tan α ≤ -1
6.2 VERWANTE HOEKEN
6.2.1 SUPLEMENTAIRE HOEKEN
definitie Supplementaire hoeken zijn hoeken waarvan de
som 180° is
eigenschap Supplementaire hoeken hebben een gelijke
sinus en een tegenstelde cosinus, tangens en
, wiskunde hoofdstuk 6 driehoeksmeting
cotangens
verklaring De hoeken ∝ en 180° - ∝ hebben als
beeldpunten P en Q. hun loodrechte projecties
op de x-as zijn P’ en Q’.
∆ OPP’ ≅ ∆OQQ’ omdat
H PÔP’ = ∝= QÔQ’
Z │OP │ = 1 =│OQ│
H O^PP’ = 90° - ∝ = O^QQ’
⇓
│OP’│ = │OQ’│ en │PP’│ = │QQ’│
⇓
cos ∝ = −cos (180 °−∝) en sin ∝ =
sin(180 °−∝)
⇓
cos (180 °−∝) = -cos ∝ ensin(180 ° −∝)=¿
sin ∝
tekening
gevolg tan (180 °−∝) = - tan ∝
cot(180°−∝)= - cot ∝
6.2.2 COMPLEMENTAIRE HOEKEN
definitie Complementaire hoeken zijn hoeken waarvan
de som 90° is
eigenschap Voor complementaire hoeken geldt :
- De cosinus van de ene is gelijk aan de
sinus van de andere
- De tangens van de ene is gelijk aan de
cotangens van de andere
verklaring P en Q zijn de beeldpunten van ∝ en 90°- ∝. P’
is de loodrechte projectie van P op de x-as en Q’
is de loodrechte projectie van Q op de y-as
∆ OPP’ ≅ ∆ OQQ’ omdat
H PÔP = ∝ = QÔQ’
Z │OP│=1= │OQ│
H O^PP’ = 90° - ∝ = O^QQ’
⇓
│OP’│=│OQ’│ en │PP’│=│QQ’│
⇓
cos ∝ = sin 90 °−∝ en sin ∝ = cos 90° −∝
⇓
cos 90°−∝ = sin ∝ en sin 90 °−∝ = cos ∝
