MAT2611 SEMESTER 1 ASSIGNMENT 10 2022
Problem 35
𝑝: ℝ → ℝ
𝑓𝑜𝑟 𝑥 ∈ ℝ, 𝑝(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎3 𝑥 3 𝑎𝑖 ∈ ℝ
𝑝(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎3 𝑥 3
𝑝(0) = 0
∴ 𝑎0 + 𝑎1 (0) + 𝑎2 (0)2 + 𝑎3 (0)3 = 0
𝑎0 = 0
𝑝′(𝑥) = 𝑎1 + 2𝑎2 𝑥 + 3𝑎3 𝑥 2
𝑝 ′ (0) = 0
∴ 𝑎1 + 2𝑎2 (0) + 3𝑎3 (0)2 = 0
𝑎1 = 0
𝑝(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎3 𝑥 3
𝑝(𝑥) = 0 + 0𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎3 𝑥 3
𝑝(𝑥) = 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎3 𝑥 3
1
∫|2 + 3𝑥 − 𝑝(𝑥)|2 𝑑𝑥 𝑚𝑢𝑠𝑡 𝑏𝑒 𝑎𝑠 𝑠𝑚𝑎𝑙𝑙 𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒.
0
2
𝑁𝑜𝑡𝑒 𝑡ℎ𝑎𝑡 |2 + 3𝑥 − 𝑝(𝑥)|2 = (2 + 3𝑥 − 𝑝(𝑥))
1 1
2
∫|2 + 3𝑥 − 𝑝(𝑥 )|2 𝑑𝑥 = ∫(2 + 3𝑥 − 𝑝(𝑥)) 𝑑𝑥
0 0
1 1
2
∫|2 + 3𝑥 − 𝑝(𝑥)|2 𝑑𝑥 = ∫(2 + 3𝑥 − (𝑎2 𝑥 2 + 𝑎3 𝑥 3 )) 𝑑𝑥
0 0
1 1
∫|2 + 3𝑥 − 𝑝(𝑥)|2 𝑑𝑥 = ∫[(2 + 3𝑥)2 − 2(2 + 3𝑥)(𝑎2 𝑥 2 + 𝑎3 𝑥 3 ) + (𝑎2 𝑥 2 + 𝑎3 𝑥 3 )2 ] 𝑑𝑥
0 0
1 1
∫|2 + 3𝑥 − 𝑝(𝑥 )|2 𝑑𝑥 = ∫[4 + 12𝑥 + 9𝑥 2 − 2(2𝑎2 𝑥 2 + 2𝑎3 𝑥 3 + 3𝑎2 𝑥 3 + 3𝑎3 𝑥 4 ) + 𝑎22 𝑥 4 + 2𝑎2 𝑎3 𝑥 5 + 𝑎32 𝑥 6 ] 𝑑𝑥
0 0
Problem 35
𝑝: ℝ → ℝ
𝑓𝑜𝑟 𝑥 ∈ ℝ, 𝑝(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎3 𝑥 3 𝑎𝑖 ∈ ℝ
𝑝(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎3 𝑥 3
𝑝(0) = 0
∴ 𝑎0 + 𝑎1 (0) + 𝑎2 (0)2 + 𝑎3 (0)3 = 0
𝑎0 = 0
𝑝′(𝑥) = 𝑎1 + 2𝑎2 𝑥 + 3𝑎3 𝑥 2
𝑝 ′ (0) = 0
∴ 𝑎1 + 2𝑎2 (0) + 3𝑎3 (0)2 = 0
𝑎1 = 0
𝑝(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎3 𝑥 3
𝑝(𝑥) = 0 + 0𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎3 𝑥 3
𝑝(𝑥) = 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎3 𝑥 3
1
∫|2 + 3𝑥 − 𝑝(𝑥)|2 𝑑𝑥 𝑚𝑢𝑠𝑡 𝑏𝑒 𝑎𝑠 𝑠𝑚𝑎𝑙𝑙 𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒.
0
2
𝑁𝑜𝑡𝑒 𝑡ℎ𝑎𝑡 |2 + 3𝑥 − 𝑝(𝑥)|2 = (2 + 3𝑥 − 𝑝(𝑥))
1 1
2
∫|2 + 3𝑥 − 𝑝(𝑥 )|2 𝑑𝑥 = ∫(2 + 3𝑥 − 𝑝(𝑥)) 𝑑𝑥
0 0
1 1
2
∫|2 + 3𝑥 − 𝑝(𝑥)|2 𝑑𝑥 = ∫(2 + 3𝑥 − (𝑎2 𝑥 2 + 𝑎3 𝑥 3 )) 𝑑𝑥
0 0
1 1
∫|2 + 3𝑥 − 𝑝(𝑥)|2 𝑑𝑥 = ∫[(2 + 3𝑥)2 − 2(2 + 3𝑥)(𝑎2 𝑥 2 + 𝑎3 𝑥 3 ) + (𝑎2 𝑥 2 + 𝑎3 𝑥 3 )2 ] 𝑑𝑥
0 0
1 1
∫|2 + 3𝑥 − 𝑝(𝑥 )|2 𝑑𝑥 = ∫[4 + 12𝑥 + 9𝑥 2 − 2(2𝑎2 𝑥 2 + 2𝑎3 𝑥 3 + 3𝑎2 𝑥 3 + 3𝑎3 𝑥 4 ) + 𝑎22 𝑥 4 + 2𝑎2 𝑎3 𝑥 5 + 𝑎32 𝑥 6 ] 𝑑𝑥
0 0
