examen de matematicas con soluciones

Departamento de Análisis Matemático y Matemática Aplicada
Matemáticas I. GRADO EN INGENIERÍA GEOLÓGICA. Curso 2020-2021
Examen Final. 12 de febrero de 2021. SOLUCIONES



 
2 1 0
1. (2 puntos) Dada la matriz B =  1 2 0 
0 0 1
a) Decir si es regular y, si es posible, calcular la inversa de la matriz B.
b) ¿Es diagonalizable la matriz B?
c) En caso de que sea diagonalizable, escribir su forma diagonal, la matriz de paso y la
relación que hay entre las tres.



a) |B| = 3 
6= 0 ⇒ B es  regular, por tanto tiene inversa  
2 −1 0 2/3 −1/3 0
1
Adj(B) =  −1 2 0  ⇒ B −1 = (Adj(B))t =  −1/3 2/3 0 
|B|
0 0 3 0 0 1
2−λ 1 0
b) Resolvemos la ecuación característica: |B − λI| = 0 ⇒ 1 2−λ 0 =0⇒
0 0 1−λ
−λ3 + 5λ2 − 7λ + 3 = 0 ⇒ (λ − 3)(λ − 1)2 = 0

La matriz A tiene como autovalores 3 y 1, doble. Buscamos una posible base de autovectores:

Para
 λ = 1:    
1 1 0 a 0
 1 1 0   b  =  0  ⇒ a + b = 0 Sist.Compatible Indeterminado con 2 grados
0 0 0 c 0
de libertad ⇒ a = −b
Soluciones: (−λ, λ, µ), λ, µ ∈ IR. Autovector: ~u1 = (−1, 1, 0) y ~u2 = (0, 0, 1)

Para
 λ = 3:    
−1 1 0 a 0 
 1 −1 −a + b = 0,
0   b  =  0  ⇒ Sist.Comp.Indet. con 1 grado de
−2c = 0
0 0 −2 c 0
libertad ⇒ a = b, c = 0
Las soluciones son (λ, λ, 0), λ ∈ IR
Autovectores: y ~u3 = (1, 1, 0)

Los tres autovectores son linealmente independientes, forman una base y la matriz B es
diagonalizable.
   
1 0 0 −1 0 1
c) La forma diagonal es D =  0 1 0  y la matriz de paso es P =  1 0 1 
0 0 3 0 1 0
y la relación entre las tres matrices es D = P −1 · B · P