SAMENVATTING ANALYTISCHE MEETKUNDE
HOOFDSTUK 1: LIJNEN
Er zijn verschillende notatievormen voor de vergelijking van een rechte lijn:
1. 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
2. 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
3. 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 −𝑦
4. 𝑦 − 𝑦1 = 2 1 (𝑥 − 𝑥1)
𝑥2 −𝑥1
𝑥 𝑦
5. +𝑏 = 1
𝑎
Dit is de assenvergelijking
door (a, 0) en (0, b).
Bewijzen uit dit hoofdstuk.
• Bewijs dat 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) de vergelijking is van de lijn door (𝑥1 , 𝑦1 ) met hellingsgetal m.
Gebruik de vorm 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 en vul 𝑥1 , 𝑦1 en m in.
Dit wordt 𝑦1 = 𝑚𝑥1 + 𝑏, dus 𝑏 = 𝑦1 − 𝑚𝑥1 .
De lijn wordt dan: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑦1 − 𝑚𝑥1 ofwel 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ).
𝑦 −𝑦
• Bewijs dat 𝑦 − 𝑦1 = 𝑥2 −𝑥1 (𝑥 − 𝑥1 ) de vergelijking is van de lijn door de punten (𝑥1 , 𝑦1 ) en
2 1
(𝑥2 , 𝑦2 ).
∆𝑦 𝑦 −𝑦
De lijn door de punten (𝑥1 , 𝑦1 ) en (𝑥2 , 𝑦2 ) heeft de richtingscoëfficiënt ∆𝑥 = 𝑥2 −𝑥1 . Als je dit invult
2 1
𝑦 −𝑦
in de derde vergelijking krijg je: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑥2 −𝑥1 (𝑥 − 𝑥1 ).
2 1
𝑥 𝑦
• Bewijs dat de punten (𝑥, 𝑦) van de lijn door de punten (a, 0) en (0, b) voldoen aan 𝑎 + 𝑏 = 1.
We gebruiken de vierde vergelijking en vullen hier de punten in.
𝑏−0
𝑦 − 0 = 0−𝑎 (𝑥 − 𝑎)
𝑏
𝑦 = −𝑎 (𝑥 − 𝑎)
𝑦 𝑥 𝑎
= −𝑎 − −𝑎
𝑏
𝑥 𝑦
𝑎
+𝑏 = 1
, HOOFDSTUK 2: LIJNEN
Loodrechte lijnen
Gegeven zijn de lijnen: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 en
𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑑. Deze staan loodrecht op elkaar in P.
De richtingscoëfficiënt van l is a. Elk stapje naar
rechts gaan we a omhoog.
Voor lijn m geldt dat als ik één naar rechts ga, ik
c omhoog ga (hier eigenlijk -c).
Zo worden Q en R geconstrueerd.
Met Pythagoras geldt:
|𝑃𝑅|2 = 1 + 𝑎 2
|𝑃𝑄|2 = 1 + (−𝑐)2
Driehoek PQR is ook rechthoekig (want PQ en PR
staan loodrecht op elkaar), dus:
|𝑃𝑅|2 + |𝑃𝑄|2 = |𝑄𝑅|2
1 + 𝑎 2 + 1 + (−𝑐)2 = (𝑎 − 𝑐)2
𝑎 2 + 𝑐 2 + 2 = 𝑎 2 − 2𝑎𝑐 + 𝑐 2
𝑎𝑐 = −1
Dus twee lijnen staan loodrecht op elkaar als het
product van de richtingscoëfficiënten gelijk is
aan -1.
Hoek tussen twee lijnen
De hoek die gemaakt
wordt met de positieve x-
as kan worden berekend
met de tangens.
𝑎
tan(𝛼) = 1 = 𝑎
a is tenslotte de
richtingscoëfficiënt (1 naar
rechts is a omhoog).
𝑐
tan(𝛽) = 1 = 𝑐
Als twee lijnen elkaar
snijden ontstaat
daartussen een hoek. Die is
het verschil van de twee
hoeken die de lijnen maken
met de positieve x-as.
Bewijs:
In driehoek PQR geldt dat ∠PQR = 180° – β
Dus geldt voor ∠RPQ = 180° - ∠PRQ - ∠PQR
HOOFDSTUK 1: LIJNEN
Er zijn verschillende notatievormen voor de vergelijking van een rechte lijn:
1. 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
2. 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
3. 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 −𝑦
4. 𝑦 − 𝑦1 = 2 1 (𝑥 − 𝑥1)
𝑥2 −𝑥1
𝑥 𝑦
5. +𝑏 = 1
𝑎
Dit is de assenvergelijking
door (a, 0) en (0, b).
Bewijzen uit dit hoofdstuk.
• Bewijs dat 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) de vergelijking is van de lijn door (𝑥1 , 𝑦1 ) met hellingsgetal m.
Gebruik de vorm 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 en vul 𝑥1 , 𝑦1 en m in.
Dit wordt 𝑦1 = 𝑚𝑥1 + 𝑏, dus 𝑏 = 𝑦1 − 𝑚𝑥1 .
De lijn wordt dan: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑦1 − 𝑚𝑥1 ofwel 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ).
𝑦 −𝑦
• Bewijs dat 𝑦 − 𝑦1 = 𝑥2 −𝑥1 (𝑥 − 𝑥1 ) de vergelijking is van de lijn door de punten (𝑥1 , 𝑦1 ) en
2 1
(𝑥2 , 𝑦2 ).
∆𝑦 𝑦 −𝑦
De lijn door de punten (𝑥1 , 𝑦1 ) en (𝑥2 , 𝑦2 ) heeft de richtingscoëfficiënt ∆𝑥 = 𝑥2 −𝑥1 . Als je dit invult
2 1
𝑦 −𝑦
in de derde vergelijking krijg je: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑥2 −𝑥1 (𝑥 − 𝑥1 ).
2 1
𝑥 𝑦
• Bewijs dat de punten (𝑥, 𝑦) van de lijn door de punten (a, 0) en (0, b) voldoen aan 𝑎 + 𝑏 = 1.
We gebruiken de vierde vergelijking en vullen hier de punten in.
𝑏−0
𝑦 − 0 = 0−𝑎 (𝑥 − 𝑎)
𝑏
𝑦 = −𝑎 (𝑥 − 𝑎)
𝑦 𝑥 𝑎
= −𝑎 − −𝑎
𝑏
𝑥 𝑦
𝑎
+𝑏 = 1
, HOOFDSTUK 2: LIJNEN
Loodrechte lijnen
Gegeven zijn de lijnen: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 en
𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑑. Deze staan loodrecht op elkaar in P.
De richtingscoëfficiënt van l is a. Elk stapje naar
rechts gaan we a omhoog.
Voor lijn m geldt dat als ik één naar rechts ga, ik
c omhoog ga (hier eigenlijk -c).
Zo worden Q en R geconstrueerd.
Met Pythagoras geldt:
|𝑃𝑅|2 = 1 + 𝑎 2
|𝑃𝑄|2 = 1 + (−𝑐)2
Driehoek PQR is ook rechthoekig (want PQ en PR
staan loodrecht op elkaar), dus:
|𝑃𝑅|2 + |𝑃𝑄|2 = |𝑄𝑅|2
1 + 𝑎 2 + 1 + (−𝑐)2 = (𝑎 − 𝑐)2
𝑎 2 + 𝑐 2 + 2 = 𝑎 2 − 2𝑎𝑐 + 𝑐 2
𝑎𝑐 = −1
Dus twee lijnen staan loodrecht op elkaar als het
product van de richtingscoëfficiënten gelijk is
aan -1.
Hoek tussen twee lijnen
De hoek die gemaakt
wordt met de positieve x-
as kan worden berekend
met de tangens.
𝑎
tan(𝛼) = 1 = 𝑎
a is tenslotte de
richtingscoëfficiënt (1 naar
rechts is a omhoog).
𝑐
tan(𝛽) = 1 = 𝑐
Als twee lijnen elkaar
snijden ontstaat
daartussen een hoek. Die is
het verschil van de twee
hoeken die de lijnen maken
met de positieve x-as.
Bewijs:
In driehoek PQR geldt dat ∠PQR = 180° – β
Dus geldt voor ∠RPQ = 180° - ∠PRQ - ∠PQR
