KURVENDISKUSSION
& INTEGRALRECHNUNG COMPACT
Lern- und Übungsheft · FOS / BOS / BWL- & MINT-Grundstudium
Vorwort – Mathematik ohne Frust: Dein Leitfaden für die Prüfung
Du hast Angst vor der Kurvendiskussion? Das ist normal – und völlig unnötig. Eine Kurvendiskussion ist kein
Zaubertrick, sondern ein Rezept: Wer die Reihenfolge der Schritte kennt und jeden Schritt sauber aufschreibt,
kommt fast automatisch zum richtigen Ergebnis. Genau dieses Rezept bekommst du hier.
Das Heft hat vier Kapitel: (1) die narrensichere Checkliste, (2) die Integralrechnung samt Flächenberechnung,
(3) fünf komplett durchgerechnete Beispiele ohne übersprungene Zeile und (4) die zehn häufigsten
Rechenfehler. So arbeitest du am besten: Lies Kapitel 1 und 2 einmal ganz. Decke dann bei jedem Beispiel in
Kapitel 3 die Lösung ab, rechne selbst und vergleiche Schritt für Schritt. Und: Rechnen lernt man mit dem Stift,
nicht mit den Augen.
Motto: Jeder Fehler, den du hier beim Üben machst, ist ein Punkt, den du in der Prüfung nicht mehr verlierst. Du
schaffst das!
Inhalt
Kapitel Inhalt
1 Der ultimative Schritt-für-Schritt-Leitfaden (Kurvendiskussion, 7 Schritte, Ableitungsregeln)
2 Integralrechnung & Flächenberechnung (Stammfunktionen, Hauptsatz, Fläche zwischen Graph und
x-Achse bzw. zwei Graphen)
3 Fünf vollständige Praxis-Beispiele: ganzrational 3. und 4. Grades, gebrochen-rational, e-Funktion
(Ökonomie), Fläche zwischen zwei Graphen
4 Die 10 häufigsten Rechenfehler & wie man sie vermeidet
KAPITEL 1: Der ultimative Schritt-für-Schritt-Leitfaden
Arbeite immer in dieser Reihenfolge. Spätere Schritte bauen auf früheren auf (z. B. brauchst du f′ für die
Extrema und f″ für die Wendepunkte).
Nr. Schritt Was ist zu tun? / Bedingung
1 Definitions- & Wertemenge D: alle x, die man einsetzen darf. W: am Ende aus Extrema und Grenzwerten
ablesen.
2 Symmetrie f(−x) = f(x): achsensymmetrisch zur y-Achse · f(−x) = −f(x): punktsymmetrisch
zum Ursprung · sonst: keine Symmetrie
3 Achsenschnittpunkte y-Achse: f(0) · Nullstellen: f(x) = 0 lösen
4 Ableitungen f′(x), f″(x), f‴(x) bilden (Potenz-, Produkt-, Quotienten-, Kettenregel)
5 Extrempunkte notwendig: f′(x) = 0 · hinreichend: f″(x) ≠ 0 (<0 Hochpunkt, >0 Tiefpunkt)
6 Wendepunkte & notwendig: f″(x) = 0 · hinreichend: f‴(x) ≠ 0
Krümmung
7 Verhalten im Unendlichen limx→+∞ f(x) und limx→−∞ f(x); bei Brüchen Pole & Asymptoten
Schritt 1: Definitions- und Wertemenge
• Ganzrationale Funktionen (Polynome) und e-Funktionen: D = ℝ, es gibt keine Einschränkung.
• Brüche: Nenner ≠ 0. Nenner gleich null setzen → ausgeschlossene Stellen (Definitionslücken): D = ℝ ∖ {…}.
• Wurzeln: Radikand ≥ 0. Logarithmus: Argument > 0.
Kurvendiskussion & Integralrechnung compact Seite 1
, • Wertemenge W: Ungerader Grad → meist W = ℝ. Gerader Grad → nach oben oder unten durch das globale
Extremum begrenzt, z. B. W = [−9; ∞).
Schritt 2: Symmetrieverhalten
Setze −x ein und vergleiche. Faustregel für Polynome: nur gerade Exponenten (Konstante zählt als gerade) →
achsensymmetrisch; nur ungerade Exponenten → punktsymmetrisch; gemischt → keine Symmetrie. Beispiel: f(x)
= x⁴ − 3x² + 1 → f(−x) = (−x)⁴ − 3(−x)² + 1 = x⁴ − 3x² + 1 = f(x) ✔ achsensymmetrisch. Nutzen: Du musst nur
die Hälfte rechnen.
Schritt 3: Schnittpunkte mit den Achsen
y-Achsenabschnitt: x = 0 einsetzen → Sy(0 | f(0)). Nullstellen: f(x) = 0 lösen. Die Werkzeugkiste:
Situation Methode
Jeder Term enthält x Ausklammern und Satz vom Nullprodukt (ein Produkt ist null, wenn ein Faktor
null ist)
quadratische Gleichung x² + px + q pq-Formel: x = −p/2 ± √((p/2)² − q) (vorher durch den Koeffizienten von x²
=0 teilen!)
nur x⁴ und x² (und Konstante) Substitution: z = x², z lösen, dann x = ±√z (z < 0 liefert keine Lösung)
kubische Gleichung ohne Nullstelle raten (Teiler des Absolutglieds), dann Polynomdivision
Ausklammern
Bruch Zähler/Nenner nur Zähler = 0, und der Nenner darf an dieser Stelle nicht 0 sein
e-Funktion e… ist nie 0 → nur die übrigen Faktoren = 0 setzen
Schritt 4: Ableitungen – die Regeln
Regel Funktion Ableitung
n
Potenzregel f(x) = x f′(x) = n · xn−1
Faktorregel f(x) = c · u(x) f′(x) = c · u′(x) (Konstanten bleiben stehen)
Summenregel f(x) = u(x) + v(x) f′(x) = u′(x) + v′(x) (gliedweise ableiten)
Produktregel f(x) = u(x) · v(x) f′(x) = u′(x) · v(x) + u(x) · v′(x)
Quotientenregel f(x) = u(x) / v(x) f′(x) = (u′ · v − u · v′) / v²
Kettenregel f(x) = u(v(x)) f′(x) = u′(v(x)) · v′(x) („äußere mal innere Ableitung“)
kx
e-Funktion / ln f(x) = e · f(x) = ln x f′(x) = k · ekx · f′(x) = 1/x
Beispiele: Kettenregel: f(x) = (2x + 1)³ → f′(x) = 3(2x + 1)² · 2 = 6(2x + 1)². Produktregel: f(x) = x · e−x → f′(x) =
1 · e−x + x · (−e−x) = (1 − x) · e−x.
Schritt 5: Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte)
notwendig: f′(xE) = 0 | hinreichend: f″(xE) < 0 → Hochpunkt, f″(xE) > 0 → Tiefpunkt
Danach den y-Wert durch Einsetzen von xE in die Ausgangsfunktion f bestimmen. Ist f″(xE) = 0, entscheidet
das Vorzeichenwechsel-Kriterium von f′: + → − Hochpunkt, − → + Tiefpunkt, kein Wechsel → Sattelpunkt.
Schritt 6: Wendepunkte & Krümmungsverhalten
notwendig: f″(xW) = 0 | hinreichend: f‴(xW) ≠ 0
Krümmung: f″(x) > 0 → linksgekrümmt (Graph „lächelt“, wie eine Schale ∪) · f″(x) < 0 → rechtsgekrümmt (∩).
Ein Wendepunkt ist die Stelle, an der sich die Krümmung ändert. Gilt zusätzlich f′(xW) = 0, heißt er Sattelpunkt.
Die Wendetangente hat die Gleichung y = f′(xW) · (x − xW) + f(xW).
Schritt 7: Verhalten im Unendlichen (Grenzwerte)
Funktionstyp Regel
ganzrational Der höchste Exponent entscheidet. Gerader Grad, positiver Faktor: beide Seiten → +∞.
Ungerader Grad, positiver Faktor: links → −∞, rechts → +∞.
gebrochen-rational Zählergrad < Nennergrad: Asymptote y = 0 · gleich: y = a/b (Quotient der Leitkoeffizienten) ·
Zählergrad = Nennergrad + 1: schräge Asymptote per Polynomdivision.
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Lern- und Übungsheft · FOS / BOS / BWL- & MINT-Grundstudium
Vorwort – Mathematik ohne Frust: Dein Leitfaden für die Prüfung
Du hast Angst vor der Kurvendiskussion? Das ist normal – und völlig unnötig. Eine Kurvendiskussion ist kein
Zaubertrick, sondern ein Rezept: Wer die Reihenfolge der Schritte kennt und jeden Schritt sauber aufschreibt,
kommt fast automatisch zum richtigen Ergebnis. Genau dieses Rezept bekommst du hier.
Das Heft hat vier Kapitel: (1) die narrensichere Checkliste, (2) die Integralrechnung samt Flächenberechnung,
(3) fünf komplett durchgerechnete Beispiele ohne übersprungene Zeile und (4) die zehn häufigsten
Rechenfehler. So arbeitest du am besten: Lies Kapitel 1 und 2 einmal ganz. Decke dann bei jedem Beispiel in
Kapitel 3 die Lösung ab, rechne selbst und vergleiche Schritt für Schritt. Und: Rechnen lernt man mit dem Stift,
nicht mit den Augen.
Motto: Jeder Fehler, den du hier beim Üben machst, ist ein Punkt, den du in der Prüfung nicht mehr verlierst. Du
schaffst das!
Inhalt
Kapitel Inhalt
1 Der ultimative Schritt-für-Schritt-Leitfaden (Kurvendiskussion, 7 Schritte, Ableitungsregeln)
2 Integralrechnung & Flächenberechnung (Stammfunktionen, Hauptsatz, Fläche zwischen Graph und
x-Achse bzw. zwei Graphen)
3 Fünf vollständige Praxis-Beispiele: ganzrational 3. und 4. Grades, gebrochen-rational, e-Funktion
(Ökonomie), Fläche zwischen zwei Graphen
4 Die 10 häufigsten Rechenfehler & wie man sie vermeidet
KAPITEL 1: Der ultimative Schritt-für-Schritt-Leitfaden
Arbeite immer in dieser Reihenfolge. Spätere Schritte bauen auf früheren auf (z. B. brauchst du f′ für die
Extrema und f″ für die Wendepunkte).
Nr. Schritt Was ist zu tun? / Bedingung
1 Definitions- & Wertemenge D: alle x, die man einsetzen darf. W: am Ende aus Extrema und Grenzwerten
ablesen.
2 Symmetrie f(−x) = f(x): achsensymmetrisch zur y-Achse · f(−x) = −f(x): punktsymmetrisch
zum Ursprung · sonst: keine Symmetrie
3 Achsenschnittpunkte y-Achse: f(0) · Nullstellen: f(x) = 0 lösen
4 Ableitungen f′(x), f″(x), f‴(x) bilden (Potenz-, Produkt-, Quotienten-, Kettenregel)
5 Extrempunkte notwendig: f′(x) = 0 · hinreichend: f″(x) ≠ 0 (<0 Hochpunkt, >0 Tiefpunkt)
6 Wendepunkte & notwendig: f″(x) = 0 · hinreichend: f‴(x) ≠ 0
Krümmung
7 Verhalten im Unendlichen limx→+∞ f(x) und limx→−∞ f(x); bei Brüchen Pole & Asymptoten
Schritt 1: Definitions- und Wertemenge
• Ganzrationale Funktionen (Polynome) und e-Funktionen: D = ℝ, es gibt keine Einschränkung.
• Brüche: Nenner ≠ 0. Nenner gleich null setzen → ausgeschlossene Stellen (Definitionslücken): D = ℝ ∖ {…}.
• Wurzeln: Radikand ≥ 0. Logarithmus: Argument > 0.
Kurvendiskussion & Integralrechnung compact Seite 1
, • Wertemenge W: Ungerader Grad → meist W = ℝ. Gerader Grad → nach oben oder unten durch das globale
Extremum begrenzt, z. B. W = [−9; ∞).
Schritt 2: Symmetrieverhalten
Setze −x ein und vergleiche. Faustregel für Polynome: nur gerade Exponenten (Konstante zählt als gerade) →
achsensymmetrisch; nur ungerade Exponenten → punktsymmetrisch; gemischt → keine Symmetrie. Beispiel: f(x)
= x⁴ − 3x² + 1 → f(−x) = (−x)⁴ − 3(−x)² + 1 = x⁴ − 3x² + 1 = f(x) ✔ achsensymmetrisch. Nutzen: Du musst nur
die Hälfte rechnen.
Schritt 3: Schnittpunkte mit den Achsen
y-Achsenabschnitt: x = 0 einsetzen → Sy(0 | f(0)). Nullstellen: f(x) = 0 lösen. Die Werkzeugkiste:
Situation Methode
Jeder Term enthält x Ausklammern und Satz vom Nullprodukt (ein Produkt ist null, wenn ein Faktor
null ist)
quadratische Gleichung x² + px + q pq-Formel: x = −p/2 ± √((p/2)² − q) (vorher durch den Koeffizienten von x²
=0 teilen!)
nur x⁴ und x² (und Konstante) Substitution: z = x², z lösen, dann x = ±√z (z < 0 liefert keine Lösung)
kubische Gleichung ohne Nullstelle raten (Teiler des Absolutglieds), dann Polynomdivision
Ausklammern
Bruch Zähler/Nenner nur Zähler = 0, und der Nenner darf an dieser Stelle nicht 0 sein
e-Funktion e… ist nie 0 → nur die übrigen Faktoren = 0 setzen
Schritt 4: Ableitungen – die Regeln
Regel Funktion Ableitung
n
Potenzregel f(x) = x f′(x) = n · xn−1
Faktorregel f(x) = c · u(x) f′(x) = c · u′(x) (Konstanten bleiben stehen)
Summenregel f(x) = u(x) + v(x) f′(x) = u′(x) + v′(x) (gliedweise ableiten)
Produktregel f(x) = u(x) · v(x) f′(x) = u′(x) · v(x) + u(x) · v′(x)
Quotientenregel f(x) = u(x) / v(x) f′(x) = (u′ · v − u · v′) / v²
Kettenregel f(x) = u(v(x)) f′(x) = u′(v(x)) · v′(x) („äußere mal innere Ableitung“)
kx
e-Funktion / ln f(x) = e · f(x) = ln x f′(x) = k · ekx · f′(x) = 1/x
Beispiele: Kettenregel: f(x) = (2x + 1)³ → f′(x) = 3(2x + 1)² · 2 = 6(2x + 1)². Produktregel: f(x) = x · e−x → f′(x) =
1 · e−x + x · (−e−x) = (1 − x) · e−x.
Schritt 5: Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte)
notwendig: f′(xE) = 0 | hinreichend: f″(xE) < 0 → Hochpunkt, f″(xE) > 0 → Tiefpunkt
Danach den y-Wert durch Einsetzen von xE in die Ausgangsfunktion f bestimmen. Ist f″(xE) = 0, entscheidet
das Vorzeichenwechsel-Kriterium von f′: + → − Hochpunkt, − → + Tiefpunkt, kein Wechsel → Sattelpunkt.
Schritt 6: Wendepunkte & Krümmungsverhalten
notwendig: f″(xW) = 0 | hinreichend: f‴(xW) ≠ 0
Krümmung: f″(x) > 0 → linksgekrümmt (Graph „lächelt“, wie eine Schale ∪) · f″(x) < 0 → rechtsgekrümmt (∩).
Ein Wendepunkt ist die Stelle, an der sich die Krümmung ändert. Gilt zusätzlich f′(xW) = 0, heißt er Sattelpunkt.
Die Wendetangente hat die Gleichung y = f′(xW) · (x − xW) + f(xW).
Schritt 7: Verhalten im Unendlichen (Grenzwerte)
Funktionstyp Regel
ganzrational Der höchste Exponent entscheidet. Gerader Grad, positiver Faktor: beide Seiten → +∞.
Ungerader Grad, positiver Faktor: links → −∞, rechts → +∞.
gebrochen-rational Zählergrad < Nennergrad: Asymptote y = 0 · gleich: y = a/b (Quotient der Leitkoeffizienten) ·
Zählergrad = Nennergrad + 1: schräge Asymptote per Polynomdivision.
Kurvendiskussion & Integralrechnung compact Seite 2
