Wiskunde Samenvatting Course 4
Week 1
9.5 Inverse functies
Inverse functies klikt allemaal heel heftig, maar in werkelijkheid stelt het niet heel veel voor.
Het komt neer op dat plus en min elkaars tegenovergestelde zijn, net zoals delen en
vermenigvuldigen, en wortel en kwadraat. Wanneer je bijvoorbeeld de functie hebt 𝑦 = 𝑥 2 ,
dan is de inverse functie 𝑦 = √𝑥. Wanneer je in de eerste functie 3 invult, dan komt daar 9
uit. Vul je deze 9 voor de tweede functie in, dan komt daar weer 3 uit. Als de grafieken van
deze functies bekijkt, dan zijn ze het spiegelbeeld van elkaar, in de lijn y=x (dus de lijn van
x=0 en y=0, de oorsprong). De grafiek:
Let op de manier hoe ze gespiegeld zijn. Je kunt ze “op elkaar vouwen langs de lijn”.
De berekening van deze inverse functie was vrij eenvoudig. Natuurlijk zijn de meeste
opgaven moeilijker dan dit voorbeeld. Er zijn twee manieren om de inverse functie van een
functie te berekenen:
- Links en rechts hetzelfde doen
- Heen-terug methode
Het komt eigenlijk neer op het isoleren van een grootheid (zie week 6 course 3).
,Links en rechts hetzelfde doen:
Bijvoorbeeld: bepaal de inverse van 𝑦 = √𝑥 − 3
- Eerst kwadrateer je links en rechts: 𝑦 2 = 𝑥– 3
- Dan tel je links en recht 3 erbij op: 𝑥 = 𝑦 2 + 3
- Nu moet je de x en y nog omwisselen, en dan heb je de inverse functie: 𝑦 = 𝑥 2 + 3
Het omwisselen van de x en y betekent niks wiskundig gezien. Je hernoemt gewoon
de grootheden. De grootheid x verander je naar y, en y naar x. Op die manier staat
de y links van de =, en de x rechts van de =, en dat vind de mensheid fijn. Niks
wiskundigs dus, puur visuele verandering.
Heen-terug methode:
Bijvoorbeeld: bepaal de inverse van 𝑦 = √𝑥 − 3
Heen: x -3 x–3 √
√𝑥 − 3
Terug: 𝑥 2 + 3 +3 𝑥2 x
…2
Bij heen schrijf je op hoe je naar de normale functie komt, stap voor stap. Wanneer je dat
hebt gedaan, dan doe je precies hetzelfde, maar dan terug met de inverse van plus/min,
vermenigvuldig/delen, wortel/kwadraat. Nu heb je de inverse functie: 𝑦 = 𝑥 2 + 3
Het maakt niet uit welke methode je gebruikt, beide werken. Kies die gene uit die jij het fijnst
vind.
Opdracht 18. Zie de reader voor nog wat extra opgaven.
Wat voorbeelden:
18 a) 𝑦 = √𝑥 + 3
Methode 1:
𝑦2 = 𝑥 + 3
𝑦2 − 3 = 𝑥
𝑦 = 𝑥2 − 3
Methode 2:
,18c) 𝑦 = (𝑥 − 4)2 met x ≥ 4. Dit houd het volgende in:
Eerst even de inverse functie achterhalen:
𝑦 = (𝑥 − 4)2
Je moet even opletten met machten, omdat je op twee manieren bij hetzelfde antwoord kan
komen. Neem bijvoorbeeld x2 = 9. x kan hierin 3 zijn, maar ook -3 (let er op dat je de -3
tussen haakjes zet). Er zijn dus twee mogelijkheden:
𝑥 − 4 = √𝑦 of 𝑥 − 4 = −√𝑦
𝑥 = √𝑦 + 4 of 𝑥 = −√𝑦 + 4
Aangezien je x waarden wil hebben van ≥ 4, kies je de linker optie, dus
𝑥 = √𝑦 + 4
Nu nog x en y omwisselen, en dan heb je de inverse functie:
𝑦 = √𝑥 + 4
De inverse functie is dus 𝑦 = √𝑥 + 4
De normale grafiek is een dal parabool (zie zwarte grafiek). De grafiek die hoort bij de
inverse functie, is de gespiegelde grafiek van de normale functie. De grafiek behorende bij
de inverse functie is in het rood weergegeven. Let er dus op hoe de grafiek gespiegeld
wordt: je moet ze langs de x=y lijn “op elkaar kunnen leggen”.
,De opdracht geeft aan dat je alleen waarden moet kiezen waarbij x groter is of gelijk aan 4.
Deze uitspraak gaat over de originele grafiek. Dat is dus de rechterhelft van de originele
grafiek (met blauw aangegeven). Je wilt dus ook alleen maar dat gedeelte van de inverse
grafiek weergeven. Let goed op welke kant van de inverse grafiek dat is (ook met blauw
aangegeven).
Vervolgens maak je de grafiek, maar dan alleen met de juiste helften van de grafiek:
Nu ben je klaar.
,Het is dus erg belangrijk dat je in de gaten hebt hoe de grafieken spiegelen bij deze
opgaven:
18 f) Ook hier heb je weer de keuze tussen een √ of een -√. Je kiest de positieve wortel, want
je wilt waarden voor x hebben die ≥ 0. De grafiek moet nog wel worden gemaakt.
,10.2 De inverse van exponentiële functies.
Logaritme: logaritme is de inverse van een exponentiele functie.
2x = 16 en 2x = 5 zijn voorbeelden van exponentiële vergelijkingen. De eerste vergelijking is
eenvoudig op te lossen, namelijk 16 = 24. De tweede vergelijking is minder makkelijk op te
lossen. Met een grafische rekenmachine zou je de grafiek kunnen plotten, en het snijpunt
kunnen bepalen, maar op de toets mogen we geen grafische rekenmachine gebruiken.
Voor de exacte oplossing van zulke vergelijkingen gebruik je de logaritmische functie (log).
Deze week krijgen we alleen maar echt de basis, komende weken wordt het meer
uitgewerkt.
2
Je schrijft 2x = 5 dan als 𝑙𝑜𝑔(5)
1
Logaritmische functies:
Je hebt dus de volgende regel:
𝑔
𝑔 𝑥 = 𝑎 ⇔ 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎
1 1
Hierbij zijn wel a en g groter dan 0, en is g niet gelijk aan 1.
Je kunt ook de heen-terug methode gebruiken om achter de inverse te komen functies met
een exponent/logaritme
De log is het tegenovergestelde van de exponent. Wanneer je bijvoorbeeld de logaritmische
𝑔
functie 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔(𝑥) hebt, dan is dit het tegenovergestelde van de exponentiële functie
1
𝑦 = 𝑔 𝑥 . Wanneer je beide grafieken tekent, dan zul je zien dat ook deze grafieken
spiegelbeeld van elkaar zijn:
Nog een voorbeeld:
2
3 2 𝑥
Je hebt de volgende functies: 𝑦= 1𝑙𝑜𝑔(𝑥) en 𝑦 = ( )
3
11
Dat geeft deze grafiek:
De linkerkant van de
grafieken zijn dus
weergegeven
,Opdrachten 3, 4, 5 en 6 + extra reader opgaven. Opdracht 6 is erg belangrijk.
Dus:
𝑔
𝑔... = 𝑎 ⇔ . . . = 𝑙𝑜𝑔(𝑎)
1 𝑧
Om bij een macht een log in te voeren, of andersom, komt het eigenlijk ook neer op links en
rechts hetzelfde doen:
Een voorbeeld:
3 o)
2 𝑥 81
( ) =
3 16
Dit schrijf je om naar de volgende functie:
2
3 𝑙𝑜𝑔 (81)
1 16
1
1
Dit kun je vervolgens berekenen met je rekenmachine, op de volgende manier:
log(81/16) / log(2/3)
Je deelt dus de rechter log door de log van de linker exponent ding. Geen idee waarom dit
kan. De uitkomst is -4.
In het begin lijkt het misschien wat onduidelijk hoe je de log nou invoegt, maar eigenlijk zet je
de log gewoon op de plaats neer waar de macht eerst stond.
,Extra opgaven reader 2 c)
Eerst de 6 wegwerken, want ander kom je in de problemen met delen/vermenigvuldigen.
Daarna delen door 7. Rechts komt er 4 uit, dat is hetzelfde als 22. Daarna moet 3x+1 = 2
worden opgelost. Eerst -1, dan delen door 3. Antwoord x=1/3.
,Week 2
10.3 Logaritmische functies
Voor het grondgetal g van een logaritmische functie geldt, net als bij exponentiële functies,
dat g groter moet zijn dan 0, en g mag niet gelijk zijn aan 1.
De eigenschappen van logaritmische functies zijn direct gekoppeld aan eigenschappen van
exponentiële functies:
𝑔
- 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔(𝑥) geldt alleen voor x>0
𝑧
- Van alle logaritmische functies gaat de grafiek door x=1 y=0 (1,0)
- De verticale as is een asymptoot
- Als g groter is dan 0, maar kleiner dan 1, dan daalt de functie. Als g groter is dan 1,
dan stijgt de functie
Een voorbeeld:
3
Je hebt de functie 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔(𝑥). Je wilt hier een grafiek van tekenen.
𝑧
Je moet dan eerst een tabel maken. Hiervoor moet je de x-waarden handig kiezen,
bijvoorbeeld machten van het grondgetal 3.
3
𝑦 = 𝑙𝑜𝑔(𝑥) ⇔ 𝑥 = 3𝑦
𝑧 𝑓
De tabel wordt dan:
x 1 1 = 3? 3 = 3? 9 = 3? 27 = 3? 81 = 3?
= 3?
3
𝑦 -1 0 1 2 3 4
3
= 𝑙𝑜𝑔(𝑥)
𝑧
In de tabel stelt het vraagteken y voor. Die kun je met een logaritme berekenen, bijvoorbeeld
1
de eerste: 3 = 3𝑦
Je moet die ombouwen naar een logaritme:
3 1
𝑦 = 𝑙𝑜𝑔 ( )
𝑧 3
1
En dat bereken je dus door de log van te delen door de log van 3, wat -1 geeft. De overige
3
waarden van y die bij x horen, kun je op dezelfde manier berekenen.
Vervolgens kun je een grafiek tekenen (in deze grafiek zijn ook andere functies opgenomen):
, Opgaven 7, 8 en 9
10.4 Logaritmische rekenregels
Bij het werken met logaritmen werk je met vijf rekenregels:
𝑔
𝑙𝑜𝑔(𝑎) 𝑔
1. 𝑔𝑓 =𝑎 en 𝑙𝑜𝑔(𝑔𝑎 ) = 𝑎
𝑧
Voorbeeld:
2 2
𝑙𝑜𝑔(8) = 𝑙𝑜𝑔(23 ) = 3
𝑧 𝑧
Je mag de 2 wegstrepen. Het boek heeft hier volgende verklaring voor:
Het komt neer op dat je eigenlijk niks doen wanneer je de log neemt van een getal, en
binnen die log vervolgens de macht van dat zelfde getal. Dat heft elkaar op.
𝑔 𝑔 𝑔
2. log(𝑎) + log(𝑏) = log(𝑎𝑏)
𝑖 𝑖 𝑖
Voorbeeld:
Logaritme is een inverse, daarom gebeurt het andersom ofzo.
𝑔 𝑔 𝑔 𝑎
3. log(𝑎) - log(𝑏) = log(𝑏)
𝑖 𝑖 𝑖
Ja dit kan dus ook, geen voorbeeld.
𝑔 𝑔
4. log(𝑎𝑝 ) = 𝑝 ∙ log(𝑎)
𝑖 𝑖
Voorbeeld:
2 2
log(45 ) = 5 ∙ log(4)
𝑖 𝑖
Zorg dat je deze regel onthoud.
Week 1
9.5 Inverse functies
Inverse functies klikt allemaal heel heftig, maar in werkelijkheid stelt het niet heel veel voor.
Het komt neer op dat plus en min elkaars tegenovergestelde zijn, net zoals delen en
vermenigvuldigen, en wortel en kwadraat. Wanneer je bijvoorbeeld de functie hebt 𝑦 = 𝑥 2 ,
dan is de inverse functie 𝑦 = √𝑥. Wanneer je in de eerste functie 3 invult, dan komt daar 9
uit. Vul je deze 9 voor de tweede functie in, dan komt daar weer 3 uit. Als de grafieken van
deze functies bekijkt, dan zijn ze het spiegelbeeld van elkaar, in de lijn y=x (dus de lijn van
x=0 en y=0, de oorsprong). De grafiek:
Let op de manier hoe ze gespiegeld zijn. Je kunt ze “op elkaar vouwen langs de lijn”.
De berekening van deze inverse functie was vrij eenvoudig. Natuurlijk zijn de meeste
opgaven moeilijker dan dit voorbeeld. Er zijn twee manieren om de inverse functie van een
functie te berekenen:
- Links en rechts hetzelfde doen
- Heen-terug methode
Het komt eigenlijk neer op het isoleren van een grootheid (zie week 6 course 3).
,Links en rechts hetzelfde doen:
Bijvoorbeeld: bepaal de inverse van 𝑦 = √𝑥 − 3
- Eerst kwadrateer je links en rechts: 𝑦 2 = 𝑥– 3
- Dan tel je links en recht 3 erbij op: 𝑥 = 𝑦 2 + 3
- Nu moet je de x en y nog omwisselen, en dan heb je de inverse functie: 𝑦 = 𝑥 2 + 3
Het omwisselen van de x en y betekent niks wiskundig gezien. Je hernoemt gewoon
de grootheden. De grootheid x verander je naar y, en y naar x. Op die manier staat
de y links van de =, en de x rechts van de =, en dat vind de mensheid fijn. Niks
wiskundigs dus, puur visuele verandering.
Heen-terug methode:
Bijvoorbeeld: bepaal de inverse van 𝑦 = √𝑥 − 3
Heen: x -3 x–3 √
√𝑥 − 3
Terug: 𝑥 2 + 3 +3 𝑥2 x
…2
Bij heen schrijf je op hoe je naar de normale functie komt, stap voor stap. Wanneer je dat
hebt gedaan, dan doe je precies hetzelfde, maar dan terug met de inverse van plus/min,
vermenigvuldig/delen, wortel/kwadraat. Nu heb je de inverse functie: 𝑦 = 𝑥 2 + 3
Het maakt niet uit welke methode je gebruikt, beide werken. Kies die gene uit die jij het fijnst
vind.
Opdracht 18. Zie de reader voor nog wat extra opgaven.
Wat voorbeelden:
18 a) 𝑦 = √𝑥 + 3
Methode 1:
𝑦2 = 𝑥 + 3
𝑦2 − 3 = 𝑥
𝑦 = 𝑥2 − 3
Methode 2:
,18c) 𝑦 = (𝑥 − 4)2 met x ≥ 4. Dit houd het volgende in:
Eerst even de inverse functie achterhalen:
𝑦 = (𝑥 − 4)2
Je moet even opletten met machten, omdat je op twee manieren bij hetzelfde antwoord kan
komen. Neem bijvoorbeeld x2 = 9. x kan hierin 3 zijn, maar ook -3 (let er op dat je de -3
tussen haakjes zet). Er zijn dus twee mogelijkheden:
𝑥 − 4 = √𝑦 of 𝑥 − 4 = −√𝑦
𝑥 = √𝑦 + 4 of 𝑥 = −√𝑦 + 4
Aangezien je x waarden wil hebben van ≥ 4, kies je de linker optie, dus
𝑥 = √𝑦 + 4
Nu nog x en y omwisselen, en dan heb je de inverse functie:
𝑦 = √𝑥 + 4
De inverse functie is dus 𝑦 = √𝑥 + 4
De normale grafiek is een dal parabool (zie zwarte grafiek). De grafiek die hoort bij de
inverse functie, is de gespiegelde grafiek van de normale functie. De grafiek behorende bij
de inverse functie is in het rood weergegeven. Let er dus op hoe de grafiek gespiegeld
wordt: je moet ze langs de x=y lijn “op elkaar kunnen leggen”.
,De opdracht geeft aan dat je alleen waarden moet kiezen waarbij x groter is of gelijk aan 4.
Deze uitspraak gaat over de originele grafiek. Dat is dus de rechterhelft van de originele
grafiek (met blauw aangegeven). Je wilt dus ook alleen maar dat gedeelte van de inverse
grafiek weergeven. Let goed op welke kant van de inverse grafiek dat is (ook met blauw
aangegeven).
Vervolgens maak je de grafiek, maar dan alleen met de juiste helften van de grafiek:
Nu ben je klaar.
,Het is dus erg belangrijk dat je in de gaten hebt hoe de grafieken spiegelen bij deze
opgaven:
18 f) Ook hier heb je weer de keuze tussen een √ of een -√. Je kiest de positieve wortel, want
je wilt waarden voor x hebben die ≥ 0. De grafiek moet nog wel worden gemaakt.
,10.2 De inverse van exponentiële functies.
Logaritme: logaritme is de inverse van een exponentiele functie.
2x = 16 en 2x = 5 zijn voorbeelden van exponentiële vergelijkingen. De eerste vergelijking is
eenvoudig op te lossen, namelijk 16 = 24. De tweede vergelijking is minder makkelijk op te
lossen. Met een grafische rekenmachine zou je de grafiek kunnen plotten, en het snijpunt
kunnen bepalen, maar op de toets mogen we geen grafische rekenmachine gebruiken.
Voor de exacte oplossing van zulke vergelijkingen gebruik je de logaritmische functie (log).
Deze week krijgen we alleen maar echt de basis, komende weken wordt het meer
uitgewerkt.
2
Je schrijft 2x = 5 dan als 𝑙𝑜𝑔(5)
1
Logaritmische functies:
Je hebt dus de volgende regel:
𝑔
𝑔 𝑥 = 𝑎 ⇔ 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎
1 1
Hierbij zijn wel a en g groter dan 0, en is g niet gelijk aan 1.
Je kunt ook de heen-terug methode gebruiken om achter de inverse te komen functies met
een exponent/logaritme
De log is het tegenovergestelde van de exponent. Wanneer je bijvoorbeeld de logaritmische
𝑔
functie 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔(𝑥) hebt, dan is dit het tegenovergestelde van de exponentiële functie
1
𝑦 = 𝑔 𝑥 . Wanneer je beide grafieken tekent, dan zul je zien dat ook deze grafieken
spiegelbeeld van elkaar zijn:
Nog een voorbeeld:
2
3 2 𝑥
Je hebt de volgende functies: 𝑦= 1𝑙𝑜𝑔(𝑥) en 𝑦 = ( )
3
11
Dat geeft deze grafiek:
De linkerkant van de
grafieken zijn dus
weergegeven
,Opdrachten 3, 4, 5 en 6 + extra reader opgaven. Opdracht 6 is erg belangrijk.
Dus:
𝑔
𝑔... = 𝑎 ⇔ . . . = 𝑙𝑜𝑔(𝑎)
1 𝑧
Om bij een macht een log in te voeren, of andersom, komt het eigenlijk ook neer op links en
rechts hetzelfde doen:
Een voorbeeld:
3 o)
2 𝑥 81
( ) =
3 16
Dit schrijf je om naar de volgende functie:
2
3 𝑙𝑜𝑔 (81)
1 16
1
1
Dit kun je vervolgens berekenen met je rekenmachine, op de volgende manier:
log(81/16) / log(2/3)
Je deelt dus de rechter log door de log van de linker exponent ding. Geen idee waarom dit
kan. De uitkomst is -4.
In het begin lijkt het misschien wat onduidelijk hoe je de log nou invoegt, maar eigenlijk zet je
de log gewoon op de plaats neer waar de macht eerst stond.
,Extra opgaven reader 2 c)
Eerst de 6 wegwerken, want ander kom je in de problemen met delen/vermenigvuldigen.
Daarna delen door 7. Rechts komt er 4 uit, dat is hetzelfde als 22. Daarna moet 3x+1 = 2
worden opgelost. Eerst -1, dan delen door 3. Antwoord x=1/3.
,Week 2
10.3 Logaritmische functies
Voor het grondgetal g van een logaritmische functie geldt, net als bij exponentiële functies,
dat g groter moet zijn dan 0, en g mag niet gelijk zijn aan 1.
De eigenschappen van logaritmische functies zijn direct gekoppeld aan eigenschappen van
exponentiële functies:
𝑔
- 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔(𝑥) geldt alleen voor x>0
𝑧
- Van alle logaritmische functies gaat de grafiek door x=1 y=0 (1,0)
- De verticale as is een asymptoot
- Als g groter is dan 0, maar kleiner dan 1, dan daalt de functie. Als g groter is dan 1,
dan stijgt de functie
Een voorbeeld:
3
Je hebt de functie 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔(𝑥). Je wilt hier een grafiek van tekenen.
𝑧
Je moet dan eerst een tabel maken. Hiervoor moet je de x-waarden handig kiezen,
bijvoorbeeld machten van het grondgetal 3.
3
𝑦 = 𝑙𝑜𝑔(𝑥) ⇔ 𝑥 = 3𝑦
𝑧 𝑓
De tabel wordt dan:
x 1 1 = 3? 3 = 3? 9 = 3? 27 = 3? 81 = 3?
= 3?
3
𝑦 -1 0 1 2 3 4
3
= 𝑙𝑜𝑔(𝑥)
𝑧
In de tabel stelt het vraagteken y voor. Die kun je met een logaritme berekenen, bijvoorbeeld
1
de eerste: 3 = 3𝑦
Je moet die ombouwen naar een logaritme:
3 1
𝑦 = 𝑙𝑜𝑔 ( )
𝑧 3
1
En dat bereken je dus door de log van te delen door de log van 3, wat -1 geeft. De overige
3
waarden van y die bij x horen, kun je op dezelfde manier berekenen.
Vervolgens kun je een grafiek tekenen (in deze grafiek zijn ook andere functies opgenomen):
, Opgaven 7, 8 en 9
10.4 Logaritmische rekenregels
Bij het werken met logaritmen werk je met vijf rekenregels:
𝑔
𝑙𝑜𝑔(𝑎) 𝑔
1. 𝑔𝑓 =𝑎 en 𝑙𝑜𝑔(𝑔𝑎 ) = 𝑎
𝑧
Voorbeeld:
2 2
𝑙𝑜𝑔(8) = 𝑙𝑜𝑔(23 ) = 3
𝑧 𝑧
Je mag de 2 wegstrepen. Het boek heeft hier volgende verklaring voor:
Het komt neer op dat je eigenlijk niks doen wanneer je de log neemt van een getal, en
binnen die log vervolgens de macht van dat zelfde getal. Dat heft elkaar op.
𝑔 𝑔 𝑔
2. log(𝑎) + log(𝑏) = log(𝑎𝑏)
𝑖 𝑖 𝑖
Voorbeeld:
Logaritme is een inverse, daarom gebeurt het andersom ofzo.
𝑔 𝑔 𝑔 𝑎
3. log(𝑎) - log(𝑏) = log(𝑏)
𝑖 𝑖 𝑖
Ja dit kan dus ook, geen voorbeeld.
𝑔 𝑔
4. log(𝑎𝑝 ) = 𝑝 ∙ log(𝑎)
𝑖 𝑖
Voorbeeld:
2 2
log(45 ) = 5 ∙ log(4)
𝑖 𝑖
Zorg dat je deze regel onthoud.
