Analyse 2
uitleg vanaf nul
Voor de bachelor Econometrie en Operationele Research, Tilburg University
Vakcode: 35B107-B-6
Gebaseerd op: Norde & Kaper (2024), Mathematical Analysis 2 (Analyse 2), 2024–2025 (reader) · hoofdstukken
1–7
Gemaakt door Levi, Master of Science
Lees dit eerst
• Voor wie? Voor jou als functies van meerdere variabelen, Lagrange en Kuhn-Tucker nog
een raadsel zijn. Dit document laat zien hoe Analyse 1 “opgeschaald” wordt naar ℝ𝑛 en
hoe je daarmee optimaliseert, precies wat je in economie en econometrie nodig hebt. Doel:
het grote plaatje en een voldoende.
• Taal. Uitleg in het Nederlands. Reader en tentamen zijn Engelstalig, dus vaktermen staan
vetgedrukt in het Engels. Achterin staat een woordenlijst.
• Volgorde. Lees van voor naar achter. §4 (totale differentieerbaarheid en de gradiënt) is
het fundament: optimaliseren, Lagrange en Kuhn-Tucker zijn allemaal “zet de afgeleide op
nul” in een slimmere vorm.
• Eerlijk. De onderwerpen volgen de reader van Norde en Kaper (2024) en de tentamens,
deeltoetsen en herkansingen Analyse 2 van 2014–2025. Stellingnummers verwijzen naar de
reader. Check de studiehandleiding voor de actuele stof. Dit is een eigen uitleg naast de
reader, niet in plaats ervan. Maak de oude tentamens: de vraagtypes keren elk jaar terug.
Inhoud
1. Het grote plaatje 7. Convexiteit, definietheid en homogeniteit
𝑛
2. Verzamelingen in ℝ 8. Vrije optima
3. Limieten en continuïteit 9. Optimaliseren met gelijkheden: Lagrange
4. Partieel en totaal differentieerbaar 10. Optimaliseren met ongelijkheden: Kuhn-Tucker
5. Gradiënt, richtingsafgeleide en kettingregel 11. Dubbelintegralen
6. Impliciete en inverse functiestelling 12. Strategie voor een voldoende
1
, Analyse 2 – uitleg vanaf nul Tilburg EOR, 35B107-B-6 · Levi, Master of Science
1 Het grote plaatje: waar gaat dit vak over?
In Analyse 1 had een functie één invoer. In de economie hangt bijna alles van meerdere dingen
tegelijk af: nut van brood én melk, winst van prijs én hoeveelheid. Dit vak gaat over:
Hoe vind je het optimum van een functie van meerdere variabelen,
met of zonder beperkingen?
Denk aan een wandelaar in de bergen. De hoogte is 𝑓(𝑥, 𝑦). De gradiënt wijst steil omhoog; op een
top is het terrein vlak (gradiënt nul). Met een hek (beperking) mag je niet overal heen, en dan ligt
het hoogste punt vaak tegen het hek aan: daar gaan Lagrange en Kuhn-Tucker over.
Verzamelingen Afgeleide
open, gesloten, totaal, gradi-
compact (§2) ent (§3–§5)
Integralen Optimaliseren in ℝ𝑛
Impliciet
dubbel, pool- max 𝑓(x), evt. IFT, inverse (§6)
coörd. (§11) met 𝑔(x) ≤ 𝑏
Beperkingen Convexiteit
Lagrange, Kuhn- Hessiaan, defi-
Tucker (§9, §10) niet (§7, §8)
De sleutel tot het hele vak: elk begrip uit Analyse 1 heeft een ℝ𝑛 -versie. uit je hoofd leren
Begrip In ℝ (Analyse 1) In ℝ𝑛 (Analyse 2)
Afstand |𝑥 − 𝑐| norm ‖x − c‖
′
Afgeleide getal 𝑓 (𝑐) gradiënt / Jacobimatrix 𝐷𝑓(c)
″
Tweede afgeleide getal 𝑓 (𝑐) Hessiaan 𝐻𝑓 (c) (matrix)
Stationair punt 𝑓 ′ (𝑐) = 0 ∇𝑓(c) = 0
″
Minimum-test 𝑓 (𝑐) > 0 𝐻𝑓 (c) positief definiet
Gesloten interval compact gesloten én begrensd
[𝑎, 𝑏]
Weierstrass max/min op [𝑎, 𝑏] max/min op compacte 𝑉
′
Substitutie in 𝑑𝑥 = 𝑔 (𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = | det 𝐷𝑔| 𝑑𝑢 𝑑𝑣
integraal
2
uitleg vanaf nul
Voor de bachelor Econometrie en Operationele Research, Tilburg University
Vakcode: 35B107-B-6
Gebaseerd op: Norde & Kaper (2024), Mathematical Analysis 2 (Analyse 2), 2024–2025 (reader) · hoofdstukken
1–7
Gemaakt door Levi, Master of Science
Lees dit eerst
• Voor wie? Voor jou als functies van meerdere variabelen, Lagrange en Kuhn-Tucker nog
een raadsel zijn. Dit document laat zien hoe Analyse 1 “opgeschaald” wordt naar ℝ𝑛 en
hoe je daarmee optimaliseert, precies wat je in economie en econometrie nodig hebt. Doel:
het grote plaatje en een voldoende.
• Taal. Uitleg in het Nederlands. Reader en tentamen zijn Engelstalig, dus vaktermen staan
vetgedrukt in het Engels. Achterin staat een woordenlijst.
• Volgorde. Lees van voor naar achter. §4 (totale differentieerbaarheid en de gradiënt) is
het fundament: optimaliseren, Lagrange en Kuhn-Tucker zijn allemaal “zet de afgeleide op
nul” in een slimmere vorm.
• Eerlijk. De onderwerpen volgen de reader van Norde en Kaper (2024) en de tentamens,
deeltoetsen en herkansingen Analyse 2 van 2014–2025. Stellingnummers verwijzen naar de
reader. Check de studiehandleiding voor de actuele stof. Dit is een eigen uitleg naast de
reader, niet in plaats ervan. Maak de oude tentamens: de vraagtypes keren elk jaar terug.
Inhoud
1. Het grote plaatje 7. Convexiteit, definietheid en homogeniteit
𝑛
2. Verzamelingen in ℝ 8. Vrije optima
3. Limieten en continuïteit 9. Optimaliseren met gelijkheden: Lagrange
4. Partieel en totaal differentieerbaar 10. Optimaliseren met ongelijkheden: Kuhn-Tucker
5. Gradiënt, richtingsafgeleide en kettingregel 11. Dubbelintegralen
6. Impliciete en inverse functiestelling 12. Strategie voor een voldoende
1
, Analyse 2 – uitleg vanaf nul Tilburg EOR, 35B107-B-6 · Levi, Master of Science
1 Het grote plaatje: waar gaat dit vak over?
In Analyse 1 had een functie één invoer. In de economie hangt bijna alles van meerdere dingen
tegelijk af: nut van brood én melk, winst van prijs én hoeveelheid. Dit vak gaat over:
Hoe vind je het optimum van een functie van meerdere variabelen,
met of zonder beperkingen?
Denk aan een wandelaar in de bergen. De hoogte is 𝑓(𝑥, 𝑦). De gradiënt wijst steil omhoog; op een
top is het terrein vlak (gradiënt nul). Met een hek (beperking) mag je niet overal heen, en dan ligt
het hoogste punt vaak tegen het hek aan: daar gaan Lagrange en Kuhn-Tucker over.
Verzamelingen Afgeleide
open, gesloten, totaal, gradi-
compact (§2) ent (§3–§5)
Integralen Optimaliseren in ℝ𝑛
Impliciet
dubbel, pool- max 𝑓(x), evt. IFT, inverse (§6)
coörd. (§11) met 𝑔(x) ≤ 𝑏
Beperkingen Convexiteit
Lagrange, Kuhn- Hessiaan, defi-
Tucker (§9, §10) niet (§7, §8)
De sleutel tot het hele vak: elk begrip uit Analyse 1 heeft een ℝ𝑛 -versie. uit je hoofd leren
Begrip In ℝ (Analyse 1) In ℝ𝑛 (Analyse 2)
Afstand |𝑥 − 𝑐| norm ‖x − c‖
′
Afgeleide getal 𝑓 (𝑐) gradiënt / Jacobimatrix 𝐷𝑓(c)
″
Tweede afgeleide getal 𝑓 (𝑐) Hessiaan 𝐻𝑓 (c) (matrix)
Stationair punt 𝑓 ′ (𝑐) = 0 ∇𝑓(c) = 0
″
Minimum-test 𝑓 (𝑐) > 0 𝐻𝑓 (c) positief definiet
Gesloten interval compact gesloten én begrensd
[𝑎, 𝑏]
Weierstrass max/min op [𝑎, 𝑏] max/min op compacte 𝑉
′
Substitutie in 𝑑𝑥 = 𝑔 (𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = | det 𝐷𝑔| 𝑑𝑢 𝑑𝑣
integraal
2
