Inleiding Analyse – uitleg vanaf nul Tilburg EOR, 35B116-B-3 · Levi S., MSc
Inleiding Analyse – uitleg vanaf nul
Introduction Analysis (35B116-B-3), bachelor EOR, Tilburg University
Reader: H. Norde, Introduction Analysis (Canvas)
Made by Levi S.
Master of Science
Lees dit eerst
Dit document is voor iemand die het vak nu nog niet snapt en een voldoende wil halen. Het volgt
de drie onderdelen uit de officiële vakbeschrijving:
Onderdeel Wat je moet kunnen Hier
1. Algebraic skills (on)gelijkheden oplossen, (partieel) differentiëren, integreren §1–§4
2. Proof techniques logisch redeneren, direct bewijs, contradictie, inductie §5–§6
3. Set theory verzamelingen, bewerkingen, bewijzen met verzamelingen §7
In gewone woorden
Het grote plaatje. Op de middelbare school leer je rekenen: een trucje toepassen. Dit vak is de
overstap naar wiskunde: je moet ook kunnen laten zien waarom iets klopt. Deel 1 is grotendeels
herhaling van vwo-wiskunde B, maar dan foutloos en sneller. Deel 2 en 3 zijn nieuw voor de
meeste studenten, en daar vallen de meeste punten weg. Een bewijs is gewoon een keten van
kleine, controleerbare stappen van wat je weet naar wat je wilt laten zien.
Eerlijk: ik heb de reader van Norde niet gezien. De onderwerpen hier komen uit de vakbeschrijving
en zijn de standaardstof voor zo’n vak. Leg deze sheet naast de inhoudsopgave van de reader en
maak oude tentamens van Canvas: die zeggen het meest over wat er gevraagd wordt.
1 Vergelijkingen en rekenregels (de basis)
In gewone woorden
Een vergelijking oplossen = alle waarden van x vinden waarvoor links en rechts gelijk zijn. Je
mag aan beide kanten hetzelfde doen, zolang je niet door 0 deelt en geen oplossingen kwijtraakt
of erbij verzint.
Rekenregels die foutloos moeten
Machten Logaritmen (a, b > 0)
ap a
a p aq = a p+q , = a p−q , ( a p )q = a pq ln( ab) = ln a + ln b, ln = ln a − ln b
aq b
1 √
a− p = p , a1/n = n a, a0 = 1 ln( a p ) = p ln a, ln e = 1, ln 1 = 0
a
( ab) p = a p b p maar ( a + b) p ̸= a p + b p eln x = x (x > 0), ln(e x ) = x
1
, Inleiding Analyse – uitleg vanaf nul Tilburg EOR, 35B116-B-3 · Levi S., MSc
Kwadratische vergelijking en ontbinden
√ D > 0 :
2 oplossingen
2 −b ± D 2
ax + bx + c = 0 ⇒ x = , D = b − 4ac D=0: 1 oplossing
2a
D<0: geen (reële)
Merkwaardige producten: ( a + b)2 = a2 + 2ab + b2 , ( a − b)2 = a2 − 2ab + b2 , a2 − b2 =
( a − b)( a + b).
Product nul: AB = 0 ⇐⇒ A = 0 of B = 0. Daarom eerst ontbinden, dan pas oplossen.
Valkuilen
• Niet delen door iets met x zonder te checken of het 0 kan zijn. Uit x2 = 3x volgt niet x = 3;
je verliest x = 0. Goed: x2 − 3x = 0 ⇒ x ( x − 3) = 0 ⇒ x = 0 ∨ x = 3.
√ √ √ √
• x2 = | x |, niet x. En a + b ̸= a + b.
• Kwadrateren van beide kanten kan nep-oplossingen opleveren. Altijd terug invullen.
• ln x bestaat alleen voor x > 0. Check het domein vóór je begint.
2 Ongelijkheden en absolute waarden
In gewone woorden
Een ongelijkheid oplossen geeft meestal geen paar getallen maar een gebied (interval). De
gouden regel: vermenigvuldigen of delen met een negatief getal draait het teken om. Omdat
je bij iets als x − 2 niet weet of het positief of negatief is, vermenigvuldig je nooit met een uit-
drukking met x erin. Gebruik in plaats daarvan een tekenschema.
Intervalnotatie
( a, b) a<x<b [ a, b] a≤x≤b
[ a, b) a≤x<b ( a, ∞) x > a (∞ krijgt altijd een ronde haak)
Recept: ongelijkheid met breuken of producten (tekenschema)
1. Breng alles naar één kant: . . . ≥ 0 (of > 0, < 0, ≤ 0).
2. Maak er één breuk van en ontbind teller en noemer.
3. Zoek de nulpunten van teller en noemer. Zet ze op een getallenlijn.
4. Bepaal het teken in elk stuk (vul een testgetal in, of tel factoren).
5. Lees af. Nulpunten van de teller doen mee bij ≥ / ≤; nulpunten van de noemer nooit
(delen door 0).
2
Inleiding Analyse – uitleg vanaf nul
Introduction Analysis (35B116-B-3), bachelor EOR, Tilburg University
Reader: H. Norde, Introduction Analysis (Canvas)
Made by Levi S.
Master of Science
Lees dit eerst
Dit document is voor iemand die het vak nu nog niet snapt en een voldoende wil halen. Het volgt
de drie onderdelen uit de officiële vakbeschrijving:
Onderdeel Wat je moet kunnen Hier
1. Algebraic skills (on)gelijkheden oplossen, (partieel) differentiëren, integreren §1–§4
2. Proof techniques logisch redeneren, direct bewijs, contradictie, inductie §5–§6
3. Set theory verzamelingen, bewerkingen, bewijzen met verzamelingen §7
In gewone woorden
Het grote plaatje. Op de middelbare school leer je rekenen: een trucje toepassen. Dit vak is de
overstap naar wiskunde: je moet ook kunnen laten zien waarom iets klopt. Deel 1 is grotendeels
herhaling van vwo-wiskunde B, maar dan foutloos en sneller. Deel 2 en 3 zijn nieuw voor de
meeste studenten, en daar vallen de meeste punten weg. Een bewijs is gewoon een keten van
kleine, controleerbare stappen van wat je weet naar wat je wilt laten zien.
Eerlijk: ik heb de reader van Norde niet gezien. De onderwerpen hier komen uit de vakbeschrijving
en zijn de standaardstof voor zo’n vak. Leg deze sheet naast de inhoudsopgave van de reader en
maak oude tentamens van Canvas: die zeggen het meest over wat er gevraagd wordt.
1 Vergelijkingen en rekenregels (de basis)
In gewone woorden
Een vergelijking oplossen = alle waarden van x vinden waarvoor links en rechts gelijk zijn. Je
mag aan beide kanten hetzelfde doen, zolang je niet door 0 deelt en geen oplossingen kwijtraakt
of erbij verzint.
Rekenregels die foutloos moeten
Machten Logaritmen (a, b > 0)
ap a
a p aq = a p+q , = a p−q , ( a p )q = a pq ln( ab) = ln a + ln b, ln = ln a − ln b
aq b
1 √
a− p = p , a1/n = n a, a0 = 1 ln( a p ) = p ln a, ln e = 1, ln 1 = 0
a
( ab) p = a p b p maar ( a + b) p ̸= a p + b p eln x = x (x > 0), ln(e x ) = x
1
, Inleiding Analyse – uitleg vanaf nul Tilburg EOR, 35B116-B-3 · Levi S., MSc
Kwadratische vergelijking en ontbinden
√ D > 0 :
2 oplossingen
2 −b ± D 2
ax + bx + c = 0 ⇒ x = , D = b − 4ac D=0: 1 oplossing
2a
D<0: geen (reële)
Merkwaardige producten: ( a + b)2 = a2 + 2ab + b2 , ( a − b)2 = a2 − 2ab + b2 , a2 − b2 =
( a − b)( a + b).
Product nul: AB = 0 ⇐⇒ A = 0 of B = 0. Daarom eerst ontbinden, dan pas oplossen.
Valkuilen
• Niet delen door iets met x zonder te checken of het 0 kan zijn. Uit x2 = 3x volgt niet x = 3;
je verliest x = 0. Goed: x2 − 3x = 0 ⇒ x ( x − 3) = 0 ⇒ x = 0 ∨ x = 3.
√ √ √ √
• x2 = | x |, niet x. En a + b ̸= a + b.
• Kwadrateren van beide kanten kan nep-oplossingen opleveren. Altijd terug invullen.
• ln x bestaat alleen voor x > 0. Check het domein vóór je begint.
2 Ongelijkheden en absolute waarden
In gewone woorden
Een ongelijkheid oplossen geeft meestal geen paar getallen maar een gebied (interval). De
gouden regel: vermenigvuldigen of delen met een negatief getal draait het teken om. Omdat
je bij iets als x − 2 niet weet of het positief of negatief is, vermenigvuldig je nooit met een uit-
drukking met x erin. Gebruik in plaats daarvan een tekenschema.
Intervalnotatie
( a, b) a<x<b [ a, b] a≤x≤b
[ a, b) a≤x<b ( a, ∞) x > a (∞ krijgt altijd een ronde haak)
Recept: ongelijkheid met breuken of producten (tekenschema)
1. Breng alles naar één kant: . . . ≥ 0 (of > 0, < 0, ≤ 0).
2. Maak er één breuk van en ontbind teller en noemer.
3. Zoek de nulpunten van teller en noemer. Zet ze op een getallenlijn.
4. Bepaal het teken in elk stuk (vul een testgetal in, of tel factoren).
5. Lees af. Nulpunten van de teller doen mee bij ≥ / ≤; nulpunten van de noemer nooit
(delen door 0).
2
