Lagemaße: Wo liegt die Mitte?
Statistik · Lernzettel 2 · gemacht aus deinen Mitschriften
1 Summenzeichen 2 Modus 3 Median 4 Getrimmtes Mittel 5 Quantile
6 Geometrisch 7 Harmonisch 8 Profi: Optimum
Willkommen zurück! 👋
Heute geht's um die Frage: Was ist ein „typischer“ Wert? Dafür gibt es mehrere
✏️
Mittelwerte, und jeder hat seinen Lieblingseinsatz. Wo in deinen Notizen etwas schiefging, findest du
einen -Kasten.
Level 1 Das Summenzeichen Σ & das arithmetische Mittel ★★★★
Σi=1n xi = x1 + x2 + … + xn
i = wo ich anfange zu zählen · n = wo ich aufhöre · xi = der i-te Wert
Σ heißt einfach: „alles zusammenzählen“. Beispiel: x = 2, 5, 3 → Σ xi = 2 + 5 + 3 = 10
Stichprobe: x̄ Grundgesamtheit: μ („mü“)
x̄ = Σ xi / n μ = Σ xi / N
n = Anzahl in der Stichprobe gleiche Formel, nur für alle (großes N)
Dein Merksatz aus der Vorlesung ist perfekt:
Arithmetisches Mittel = „Alles durch Alle“ 😄
Level 2 Modus ★★★★
Der Modus ist der Wert, der am häufigsten vorkommt.
1 3 3 5 12
→ Modus = 3. Es kann auch mehrere Modi geben (bimodal!) oder gar keinen, wenn alles gleich oft vorkommt.
Der Modus ist das einzige Lagemaß, das schon bei nominalen Daten funktioniert (z. B. häufigster Studiengang).
Level 3 Median ★★★★
Erst sortieren, dann den Wert in der Mitte nehmen. Der Median ist robust: Extreme Ausreißer stören ihn kaum.
n ungerade n gerade
Median = Wert an Position (n+1)/2 Mittelwert der Werte an Position n/2 und n/2 + 1
2 4 7 9 30 1 4 9 16 25 36 49 64
n = 5 → Position 3 → 7 n = 8 → (16 + 25)/2 = 20,5
Lernzettel 2 · Lagemaße · Seite 1/5
, ✏️ Aus deinen Notizen
Du hattest notiert: „n/2-ter Wert bei gerade“. Das ist nur die halbe Wahrheit: Du brauchst den n/2-ten und den
(n/2+1)-ten Wert und nimmst davon den Durchschnitt. Bei deinem Beispiel oben hast du es aber genau richtig
gemacht (20,5 ✓).
Level 4 Getrimmter Mittelwert ★★★★
Idee: Ausreißer an beiden Enden abschneiden und vom Rest das normale Mittel nehmen. Bei α = 10 % fliegen die
kleinsten 10 % und die größten 10 % raus.
x̄ trim, α = ( Σi=m+1n−m x(i) ) / (n − 2m) mit m = ⌊α · n⌋
x(i) = der i-te Wert nach dem Sortieren · m = wie viele Werte pro Seite wegfallen · ⌊ ⌋ = abrunden
Dein Beispiel (Scores, n = 11, α = 10 %): m = ⌊0,1 · 11⌋ = ⌊1,1⌋ = 1 → pro Seite fällt 1 Wert weg.
4 5 6 7 7 7 8 8 9 10 10
Rest: 5 + 6 + 7 + 7 + 7 + 8 + 8 + 9 + 10 = 67 → 67 / (11 − 2·1) = ≈ 7,44
✏️ Aus deinen Notizen: „7,4 – wie kommen wir auf Vergleich mit den gleichen Daten
normales Mittel: 81/11 ≈ 7,36
die?“
getrimmtes Mittel: ≈ 7,44
So! 67 ÷ 9 ≈ 7,44. Zwei Stolpersteine bei dir:
Median: 7
• In die Formel gehört m = 1, nicht 1,1. m muss eine
Der getrimmte Mittelwert ist ein Kompromiss zwischen
ganze Zahl sein, also abrunden.
Mittel und Median.
• Beim Sortieren ist dir die zweite 10 verloren
gegangen. Zähl nach: Es müssen 11 Werte sein!
Level 5 Empirisches p-Quantil ★★★★
Das p-Quantil ist der Wert, unter dem ungefähr p · 100 % der Daten liegen. Der Median ist das 50-%-Quantil.
Q̃ (p) = ½ · ( x(np) + x(np+1) ) falls n·p ganzzahlig
Q̃ (p) = x(⌊np⌋+1) falls n·p nicht ganzzahlig
⌊ ⌋ = abrunden · ⌈ ⌉ = aufrunden
Daten (n = 10, schon sortiert):
2 4 5 6 10 12 20 22 30 40
Gesucht n·p Fall Ergebnis
Q̃ (0,10) 10 · 0,1 = 1 ganzzahlig → Mittel aus x(1) und x(2) ½(2 + 4) = 3
Q̃ (0,85) 10 · 0,85 = 8,5 nicht ganzzahlig → x(⌊8,5⌋+1) = x(9) 30
Median = Q̃ (0,5) 10 · 0,5 = 5 ganzzahlig → Mittel aus x(5) und x(6) ½(10 + 12) = 11
Lernzettel 2 · Lagemaße · Seite 2/5
Statistik · Lernzettel 2 · gemacht aus deinen Mitschriften
1 Summenzeichen 2 Modus 3 Median 4 Getrimmtes Mittel 5 Quantile
6 Geometrisch 7 Harmonisch 8 Profi: Optimum
Willkommen zurück! 👋
Heute geht's um die Frage: Was ist ein „typischer“ Wert? Dafür gibt es mehrere
✏️
Mittelwerte, und jeder hat seinen Lieblingseinsatz. Wo in deinen Notizen etwas schiefging, findest du
einen -Kasten.
Level 1 Das Summenzeichen Σ & das arithmetische Mittel ★★★★
Σi=1n xi = x1 + x2 + … + xn
i = wo ich anfange zu zählen · n = wo ich aufhöre · xi = der i-te Wert
Σ heißt einfach: „alles zusammenzählen“. Beispiel: x = 2, 5, 3 → Σ xi = 2 + 5 + 3 = 10
Stichprobe: x̄ Grundgesamtheit: μ („mü“)
x̄ = Σ xi / n μ = Σ xi / N
n = Anzahl in der Stichprobe gleiche Formel, nur für alle (großes N)
Dein Merksatz aus der Vorlesung ist perfekt:
Arithmetisches Mittel = „Alles durch Alle“ 😄
Level 2 Modus ★★★★
Der Modus ist der Wert, der am häufigsten vorkommt.
1 3 3 5 12
→ Modus = 3. Es kann auch mehrere Modi geben (bimodal!) oder gar keinen, wenn alles gleich oft vorkommt.
Der Modus ist das einzige Lagemaß, das schon bei nominalen Daten funktioniert (z. B. häufigster Studiengang).
Level 3 Median ★★★★
Erst sortieren, dann den Wert in der Mitte nehmen. Der Median ist robust: Extreme Ausreißer stören ihn kaum.
n ungerade n gerade
Median = Wert an Position (n+1)/2 Mittelwert der Werte an Position n/2 und n/2 + 1
2 4 7 9 30 1 4 9 16 25 36 49 64
n = 5 → Position 3 → 7 n = 8 → (16 + 25)/2 = 20,5
Lernzettel 2 · Lagemaße · Seite 1/5
, ✏️ Aus deinen Notizen
Du hattest notiert: „n/2-ter Wert bei gerade“. Das ist nur die halbe Wahrheit: Du brauchst den n/2-ten und den
(n/2+1)-ten Wert und nimmst davon den Durchschnitt. Bei deinem Beispiel oben hast du es aber genau richtig
gemacht (20,5 ✓).
Level 4 Getrimmter Mittelwert ★★★★
Idee: Ausreißer an beiden Enden abschneiden und vom Rest das normale Mittel nehmen. Bei α = 10 % fliegen die
kleinsten 10 % und die größten 10 % raus.
x̄ trim, α = ( Σi=m+1n−m x(i) ) / (n − 2m) mit m = ⌊α · n⌋
x(i) = der i-te Wert nach dem Sortieren · m = wie viele Werte pro Seite wegfallen · ⌊ ⌋ = abrunden
Dein Beispiel (Scores, n = 11, α = 10 %): m = ⌊0,1 · 11⌋ = ⌊1,1⌋ = 1 → pro Seite fällt 1 Wert weg.
4 5 6 7 7 7 8 8 9 10 10
Rest: 5 + 6 + 7 + 7 + 7 + 8 + 8 + 9 + 10 = 67 → 67 / (11 − 2·1) = ≈ 7,44
✏️ Aus deinen Notizen: „7,4 – wie kommen wir auf Vergleich mit den gleichen Daten
normales Mittel: 81/11 ≈ 7,36
die?“
getrimmtes Mittel: ≈ 7,44
So! 67 ÷ 9 ≈ 7,44. Zwei Stolpersteine bei dir:
Median: 7
• In die Formel gehört m = 1, nicht 1,1. m muss eine
Der getrimmte Mittelwert ist ein Kompromiss zwischen
ganze Zahl sein, also abrunden.
Mittel und Median.
• Beim Sortieren ist dir die zweite 10 verloren
gegangen. Zähl nach: Es müssen 11 Werte sein!
Level 5 Empirisches p-Quantil ★★★★
Das p-Quantil ist der Wert, unter dem ungefähr p · 100 % der Daten liegen. Der Median ist das 50-%-Quantil.
Q̃ (p) = ½ · ( x(np) + x(np+1) ) falls n·p ganzzahlig
Q̃ (p) = x(⌊np⌋+1) falls n·p nicht ganzzahlig
⌊ ⌋ = abrunden · ⌈ ⌉ = aufrunden
Daten (n = 10, schon sortiert):
2 4 5 6 10 12 20 22 30 40
Gesucht n·p Fall Ergebnis
Q̃ (0,10) 10 · 0,1 = 1 ganzzahlig → Mittel aus x(1) und x(2) ½(2 + 4) = 3
Q̃ (0,85) 10 · 0,85 = 8,5 nicht ganzzahlig → x(⌊8,5⌋+1) = x(9) 30
Median = Q̃ (0,5) 10 · 0,5 = 5 ganzzahlig → Mittel aus x(5) und x(6) ½(10 + 12) = 11
Lernzettel 2 · Lagemaße · Seite 2/5
