SAMENVATTING WISKUNDE B
MODULE 1: GETALLENKENNIS: NATUURLIJKE GETALLEN EN
FUNCTIES VAN GETALLEN
1. HET TIENDELIG TALSTELSEL
Wat is een talstelsel? De moderne wereld werkt voornamelijk met het tiendelig
talstelsel, dat is een positioneel talstelsel. Wat betekent ‘een tiendelig talstelsel’ en
‘positioneel’? Ken je nog andere benamingen voor het woord ‘talstelsel’?
Tiendelig/decimaal talstelsel: je groepeert per 10. Dat wel zeggen dat je 10
eenheden vervangt door een groepje van 10 of 1 tiental, 10 tientalen vervang je door
1 honderdtal, enzovoort. Het tiendelig talstelsel is een zuiver positiesysteem.
Positioneel = met betrekking op de positie.
Talstelsel= getallenstelsel, getallensysteem
Welk concreet en schematisch materiaal is zeer interessant om in te zetten in de
klas wanneer je lesgeeft over het tiendelig talstelsel? Geef een aantal argumenten
waarom dit materiaal zo interessant is.
MAB-materiaal
→concreet materiaal
→verhoudingen tussen aantallen worden gerespecteerd: een staaf is 10 keer zo
groot als een blokje…
Argumenten:
-kinderen kunnen het manipuleren en zien duidelijk waaruit alles is opgebouwd.
-de schematische versie voor klassikaal gebruik is handig in combinatie met de
positietabel, een uitstekend schematisch ondersteunend model om het tiendelig
talstelsel voor te stellen.
Ken je verschillende benamingen bij elke waarde van het materiaal? we peilen hier
zowel naar de spreektaal als naar de vaktaal
Waarde 1000 100 10 1
Vaktaal Duizendtal Honderdtal Tiental Eenheid
Spreektaal Kubus Plak Staaf blokje
Vanaf de hoeveelheid 10, 100, 1000 is er iets bijzonders aan het concrete materiaal. Wat
is anders dan bij de hoeveelheden van 10?
, Vanaf tiental kleven de blokjes aan elkaar en zijn ze niet meer afzonderlijk
manipuleerbaar. Het blijft echter wel belangrijk dat het materiaal geleed is. Dat wil
zeggen dat bij de staaf, plak en kubus de eenheden duidelijk zichtbaar moeten zijn.
Een honderdtal vormt dan een plak en een duizendtal een kubus.
Dit materiaal wordt eerst afzonderlijk ingezet en daarna in combinatie met een
schematisch model. Over welk model gaat het hier?
De positietabel
Ken je de richtgetallen (tot welk getal) die leerlingen per leerjaar leren in het
lager onderwijs? let op: bekijk dit per onderwijsnet, er bestaan verschillen!
1e leerjaar: tot 20
2e leerjaar: tot 100
3e leerjaar: tot 1000
4e leerjaar: tot 10 000 of 100 000
5e en 6e leerjaar: tot 1 miljoen
→kan verschillen van net tot net maar de meeste leerplannen geven een
leeftijdsperiode aan waarbinnen dit het best aangeleerd wordt.
Op welke manier kan je het positiesysteem aanbrengen op een betekenisvolle,
inzichtelijke en ook motiverende manier bij leerlingen? Geef een voorbeeld. Vanaf
welk moment gebeurt dit?
Pas als leerlingen tot 100 leren, breng je de positietabel aan.
Een rijk persoon heeft veel goudstukken. Elke dag gaat hij naar de bank en vraagt
hoeveel goudstukken hij heeft. Maar het duurt zo lang om al dat geld te tellen, dat de
bankbediende steeds de tel kwijtraakt en opnieuw moet beginnen. Zou jij een slimme
oplossing kunnen bedenken om de bankbediende te helpen?
2
,Kan je het verloop schetsen hoe het positiesysteem aangebracht wordt? Eerst
begin je met… en je bouwt het op via het C-S-A-model tot leerlingen in een getal van elk
cijfer de waarde kunnen bepalen.
Je begint met een introductieverhaal om de lln te laten inzien dat groeperen per 10
de handigste manier is om hoeveelheden te tellen.
Een rijk persoon heeft veel goudstukken. Elke dag gaat hij naar de bank en vraagt
hoeveel goudstukken hij heeft. Maar het duurt zo lang om al dat geld te tellen, dat de
bankbediende steeds de tel kwijtraakt en opnieuw moet beginnen. Zou jij een slimme
oplossing kunnen bedenken om de bankbediende te helpen?
C: je toont de doos met 75 goudstukken (damstenen, schijfjes…) . Je vraagt hoe we
gemakkelijker kunnen tellen. Uiteindelijk komen de lln zo met het idee om te
groeperen per 10. Een stapeltje van 10 goudstukken verpakken we in een doosje, als
de rijke man vraagt hoeveel goudstukken hij heeft kan de bediende zeggen: er zijn 7
doosjes van 10 goudstukken en 5 losse goudstukken. De bankbediende noteert dat
in een tabel en weet dus op elk moment hoeveel er ligt. Je ziet hier een eerste aanzet
van de positietabel die geleidelijk opgebouwd wordt.
S: We gaan dan eerst schematisch materiaal bovenaan plaatsen met daaronder de
verwoording om dan over te gaan naar het begrip tiental, eenheid...
A: later gaan we naar de symbolen E, T. Daaronder is er plaats om het getal
positioneel te noteren.
Je breidt te positietabel steeds meer uit met een rang naar links, de honderdtallen en
de duizendtallen. Vanaf 1000 ga je enkel verder met de positietabel die je uitbreidt
met de symbolen.
Een ander didactisch leermiddel dat soms (en vroeger meer) wordt ingezet om het
positiesysteem te illustreren, is de abacus. Waarin verschilt het van MAB-materiaal?
Bij sommige leerlingen kan dit leermiddel problemen geven. Leg uit. Waar situeer je
dit leermiddel binnen het C-S-A-model?
Bij de abacus kan 1 kraal staan voor een eenheid, tiental en honderdtal. Terwijl dat
het MAB-materiaal zeer duidelijk maakt voor hoeveel het staat (een blokje is 1, een
staaf is 10, een vierkant is 100)
Het probleem is dat een leerling al voldoende inzicht moet hebben in het
positiesysteem om de kralen juist te interpreteren en er de juiste waarde aan te
hechten. (voor lln die 1 kraal nog zien als 1 eenheid is het gebruik van de abacus te
vermijden)
De abacus is geen concreet materiaal omdat je aan elke kraal de juiste waarde moet
geven dmv zijn positie. De abacus is dus S door de rangen en A doordat je waarde
moet geven.
Wat zijn natuurlijke getallen? Geef een ‘leerlijn’ volgens het C-S-A-principe
vertrekkende vanuit een betekenisvolle situatie.
Natuurlijke getallen zijn aantallen die je effectief kunt aanraken en tellen.
3
, Je ziet 5 bomen, om tot een grondig getalbegrip van natuurlijke getallen te komen,
gaat er een hele leerlijn vooraf. Terwijl je steeds verwoordt dat je aantal 5 is, oefenen
de leerlingen deze drievoudige associatie. (triplecodemodel: hoeveelheid, notatie,
verwoording. Oefenvormen waarbij je afwisselend vertrekt vanuit 1 aspect.)
Geleidelijk breidt een leerling zijn getalbegrip uit tot 10. Dat is de aanzet tot het
inzicht in ons tiendelig talstelsel. Leerlingen leren groeperen per 10 en stellen vast
dat de plaats van de cijfers in het getal de waarde ervan bepaalt.
Getalkaarten zijn een leermiddel die kunnen ingezet worden in de abstracte fase (C-S-A)
van het aanleren en leren lezen van een getal. Ze zijn uitermate geschikt bij natuurlijke
getallen, maar ook bij de uitbereiding naar rechts van het positiesysteem, dus de
kommagetallen. Ze helpen ook om het inzicht in het tiendelig positiestelsel te
ondersteunen. Waar situeren ze zich binnen het C-S-A-model? Geef 2 motiverende
en zinvolle werkvormen met getalkaarten.
Je legt 400 en laat de leerlingen verwoorden ‘vierhonderd’. Vervolgens leg je er 50
op (op de plaats van de tientallen) en je laat verwoorden: ‘vierhonderdvijftig’. Ten
slotte leg je 8 op de plaats van de eenheden en lezen de leerlingen het volledige getal
‘vierhonderdachtenvijftig’.
Getalkaarten situeren zich op het abstracte niveau binnen C-S-A
2 motiverende werkvormen:
1. Een leerling bouwt een getal op en de andere leerling leest dat getal.
Dan wisselen.
2. Elk leerling heeft een getalkaart en wandelt door de klas. Op een
teken vormen ze met 2 andere leerlingen een getal bestaande uit
honderdtallen, tientallen en eenheden. Elk groepje leest het getal
luidop.
4
MODULE 1: GETALLENKENNIS: NATUURLIJKE GETALLEN EN
FUNCTIES VAN GETALLEN
1. HET TIENDELIG TALSTELSEL
Wat is een talstelsel? De moderne wereld werkt voornamelijk met het tiendelig
talstelsel, dat is een positioneel talstelsel. Wat betekent ‘een tiendelig talstelsel’ en
‘positioneel’? Ken je nog andere benamingen voor het woord ‘talstelsel’?
Tiendelig/decimaal talstelsel: je groepeert per 10. Dat wel zeggen dat je 10
eenheden vervangt door een groepje van 10 of 1 tiental, 10 tientalen vervang je door
1 honderdtal, enzovoort. Het tiendelig talstelsel is een zuiver positiesysteem.
Positioneel = met betrekking op de positie.
Talstelsel= getallenstelsel, getallensysteem
Welk concreet en schematisch materiaal is zeer interessant om in te zetten in de
klas wanneer je lesgeeft over het tiendelig talstelsel? Geef een aantal argumenten
waarom dit materiaal zo interessant is.
MAB-materiaal
→concreet materiaal
→verhoudingen tussen aantallen worden gerespecteerd: een staaf is 10 keer zo
groot als een blokje…
Argumenten:
-kinderen kunnen het manipuleren en zien duidelijk waaruit alles is opgebouwd.
-de schematische versie voor klassikaal gebruik is handig in combinatie met de
positietabel, een uitstekend schematisch ondersteunend model om het tiendelig
talstelsel voor te stellen.
Ken je verschillende benamingen bij elke waarde van het materiaal? we peilen hier
zowel naar de spreektaal als naar de vaktaal
Waarde 1000 100 10 1
Vaktaal Duizendtal Honderdtal Tiental Eenheid
Spreektaal Kubus Plak Staaf blokje
Vanaf de hoeveelheid 10, 100, 1000 is er iets bijzonders aan het concrete materiaal. Wat
is anders dan bij de hoeveelheden van 10?
, Vanaf tiental kleven de blokjes aan elkaar en zijn ze niet meer afzonderlijk
manipuleerbaar. Het blijft echter wel belangrijk dat het materiaal geleed is. Dat wil
zeggen dat bij de staaf, plak en kubus de eenheden duidelijk zichtbaar moeten zijn.
Een honderdtal vormt dan een plak en een duizendtal een kubus.
Dit materiaal wordt eerst afzonderlijk ingezet en daarna in combinatie met een
schematisch model. Over welk model gaat het hier?
De positietabel
Ken je de richtgetallen (tot welk getal) die leerlingen per leerjaar leren in het
lager onderwijs? let op: bekijk dit per onderwijsnet, er bestaan verschillen!
1e leerjaar: tot 20
2e leerjaar: tot 100
3e leerjaar: tot 1000
4e leerjaar: tot 10 000 of 100 000
5e en 6e leerjaar: tot 1 miljoen
→kan verschillen van net tot net maar de meeste leerplannen geven een
leeftijdsperiode aan waarbinnen dit het best aangeleerd wordt.
Op welke manier kan je het positiesysteem aanbrengen op een betekenisvolle,
inzichtelijke en ook motiverende manier bij leerlingen? Geef een voorbeeld. Vanaf
welk moment gebeurt dit?
Pas als leerlingen tot 100 leren, breng je de positietabel aan.
Een rijk persoon heeft veel goudstukken. Elke dag gaat hij naar de bank en vraagt
hoeveel goudstukken hij heeft. Maar het duurt zo lang om al dat geld te tellen, dat de
bankbediende steeds de tel kwijtraakt en opnieuw moet beginnen. Zou jij een slimme
oplossing kunnen bedenken om de bankbediende te helpen?
2
,Kan je het verloop schetsen hoe het positiesysteem aangebracht wordt? Eerst
begin je met… en je bouwt het op via het C-S-A-model tot leerlingen in een getal van elk
cijfer de waarde kunnen bepalen.
Je begint met een introductieverhaal om de lln te laten inzien dat groeperen per 10
de handigste manier is om hoeveelheden te tellen.
Een rijk persoon heeft veel goudstukken. Elke dag gaat hij naar de bank en vraagt
hoeveel goudstukken hij heeft. Maar het duurt zo lang om al dat geld te tellen, dat de
bankbediende steeds de tel kwijtraakt en opnieuw moet beginnen. Zou jij een slimme
oplossing kunnen bedenken om de bankbediende te helpen?
C: je toont de doos met 75 goudstukken (damstenen, schijfjes…) . Je vraagt hoe we
gemakkelijker kunnen tellen. Uiteindelijk komen de lln zo met het idee om te
groeperen per 10. Een stapeltje van 10 goudstukken verpakken we in een doosje, als
de rijke man vraagt hoeveel goudstukken hij heeft kan de bediende zeggen: er zijn 7
doosjes van 10 goudstukken en 5 losse goudstukken. De bankbediende noteert dat
in een tabel en weet dus op elk moment hoeveel er ligt. Je ziet hier een eerste aanzet
van de positietabel die geleidelijk opgebouwd wordt.
S: We gaan dan eerst schematisch materiaal bovenaan plaatsen met daaronder de
verwoording om dan over te gaan naar het begrip tiental, eenheid...
A: later gaan we naar de symbolen E, T. Daaronder is er plaats om het getal
positioneel te noteren.
Je breidt te positietabel steeds meer uit met een rang naar links, de honderdtallen en
de duizendtallen. Vanaf 1000 ga je enkel verder met de positietabel die je uitbreidt
met de symbolen.
Een ander didactisch leermiddel dat soms (en vroeger meer) wordt ingezet om het
positiesysteem te illustreren, is de abacus. Waarin verschilt het van MAB-materiaal?
Bij sommige leerlingen kan dit leermiddel problemen geven. Leg uit. Waar situeer je
dit leermiddel binnen het C-S-A-model?
Bij de abacus kan 1 kraal staan voor een eenheid, tiental en honderdtal. Terwijl dat
het MAB-materiaal zeer duidelijk maakt voor hoeveel het staat (een blokje is 1, een
staaf is 10, een vierkant is 100)
Het probleem is dat een leerling al voldoende inzicht moet hebben in het
positiesysteem om de kralen juist te interpreteren en er de juiste waarde aan te
hechten. (voor lln die 1 kraal nog zien als 1 eenheid is het gebruik van de abacus te
vermijden)
De abacus is geen concreet materiaal omdat je aan elke kraal de juiste waarde moet
geven dmv zijn positie. De abacus is dus S door de rangen en A doordat je waarde
moet geven.
Wat zijn natuurlijke getallen? Geef een ‘leerlijn’ volgens het C-S-A-principe
vertrekkende vanuit een betekenisvolle situatie.
Natuurlijke getallen zijn aantallen die je effectief kunt aanraken en tellen.
3
, Je ziet 5 bomen, om tot een grondig getalbegrip van natuurlijke getallen te komen,
gaat er een hele leerlijn vooraf. Terwijl je steeds verwoordt dat je aantal 5 is, oefenen
de leerlingen deze drievoudige associatie. (triplecodemodel: hoeveelheid, notatie,
verwoording. Oefenvormen waarbij je afwisselend vertrekt vanuit 1 aspect.)
Geleidelijk breidt een leerling zijn getalbegrip uit tot 10. Dat is de aanzet tot het
inzicht in ons tiendelig talstelsel. Leerlingen leren groeperen per 10 en stellen vast
dat de plaats van de cijfers in het getal de waarde ervan bepaalt.
Getalkaarten zijn een leermiddel die kunnen ingezet worden in de abstracte fase (C-S-A)
van het aanleren en leren lezen van een getal. Ze zijn uitermate geschikt bij natuurlijke
getallen, maar ook bij de uitbereiding naar rechts van het positiesysteem, dus de
kommagetallen. Ze helpen ook om het inzicht in het tiendelig positiestelsel te
ondersteunen. Waar situeren ze zich binnen het C-S-A-model? Geef 2 motiverende
en zinvolle werkvormen met getalkaarten.
Je legt 400 en laat de leerlingen verwoorden ‘vierhonderd’. Vervolgens leg je er 50
op (op de plaats van de tientallen) en je laat verwoorden: ‘vierhonderdvijftig’. Ten
slotte leg je 8 op de plaats van de eenheden en lezen de leerlingen het volledige getal
‘vierhonderdachtenvijftig’.
Getalkaarten situeren zich op het abstracte niveau binnen C-S-A
2 motiverende werkvormen:
1. Een leerling bouwt een getal op en de andere leerling leest dat getal.
Dan wisselen.
2. Elk leerling heeft een getalkaart en wandelt door de klas. Op een
teken vormen ze met 2 andere leerlingen een getal bestaande uit
honderdtallen, tientallen en eenheden. Elk groepje leest het getal
luidop.
4
