Samenvatting Wiskunde:
Bepaalde integraal
Hoe kunnen we oppervlakteproblemen oplossen?
Oppervlakte tussen x-as en gebogen functie moeilijk te berekenen daarom interval
opdelen in deelintervallen omdat functie continu is bereikt de functie zowel een absoluut
max als een absoluut min er bestaan dus waarden binnen het interval die ofwel groter of
kleiner zijn dan de functiewaarde de effectieve oppervlakte ligt dus tussen die twee
waarden
o De oppervlaktes van de deelintervallen met de kleinste waarde als hoogte optellen
Riemannsom ondersom
o De oppervlaktes van de deelintervallen met grootste waarde als hoogte optellen
Riemannsom bovensom
Voor betere benadering van oppervlakte deelintervallen kleiner maken limiet van n
naar + oneindig
Wat is de bepaalde integraal?
In Riemannsom … (formule)
o Elke term waarbij f(ci) > 0 komt overeen met oppervlakte van rechthoek boven x-
as + oppervlakte
o Elke term waarbij f(ci) < 0 komt overeen met oppervlakte van rechthoek onder x-
as - oppervlakte
o Oppervlakte voorzien van een teken georiënteerde oppervlakte
De bepaalde integraal van een continue functie f over het interval [a, b] is gelijk aan de limiet
van de Riemannsom Rn over dat interval voor n naar + oneindig … (formule)
o F(x) integrand
o A ondergrens
o B bovengrens
o Symbool ∫ integraalteken afgeplatte s komt van summa Latijn voor SOM
o Dx differentiaal van x verwijst naar ∆x in Riemannsom
Hoe werkt de optelbaarheid van de bepaalde integraal?
Als functie f continu is in [a, b] dan geldt
o …
o …
Als functie f continu is in een interval I dan geldt voor elke a, b, c ∈ I
o …
Wat is de middelwaardestelling van de bepaalde integraal?
Stel dat m de minimale en M de maximale functiewaarden zijn van f in [a, b]
georiënteerde oppervlakte van rechthoek met basis b-a en hoogte |m| is nooit groter dan
bepaalde integraal + georiënteerde oppervlakte van rechthoek met basis b-a en hoogte |M|
is nooit kleiner dan bepaalde integraal tussen a en b minstens 1 c zodat georiënteerde
oppervlakte van rechthoek met basis b-a en hoogte |f(c)|gelijk is aan bepaalde integraal
Bepaalde integraal
Hoe kunnen we oppervlakteproblemen oplossen?
Oppervlakte tussen x-as en gebogen functie moeilijk te berekenen daarom interval
opdelen in deelintervallen omdat functie continu is bereikt de functie zowel een absoluut
max als een absoluut min er bestaan dus waarden binnen het interval die ofwel groter of
kleiner zijn dan de functiewaarde de effectieve oppervlakte ligt dus tussen die twee
waarden
o De oppervlaktes van de deelintervallen met de kleinste waarde als hoogte optellen
Riemannsom ondersom
o De oppervlaktes van de deelintervallen met grootste waarde als hoogte optellen
Riemannsom bovensom
Voor betere benadering van oppervlakte deelintervallen kleiner maken limiet van n
naar + oneindig
Wat is de bepaalde integraal?
In Riemannsom … (formule)
o Elke term waarbij f(ci) > 0 komt overeen met oppervlakte van rechthoek boven x-
as + oppervlakte
o Elke term waarbij f(ci) < 0 komt overeen met oppervlakte van rechthoek onder x-
as - oppervlakte
o Oppervlakte voorzien van een teken georiënteerde oppervlakte
De bepaalde integraal van een continue functie f over het interval [a, b] is gelijk aan de limiet
van de Riemannsom Rn over dat interval voor n naar + oneindig … (formule)
o F(x) integrand
o A ondergrens
o B bovengrens
o Symbool ∫ integraalteken afgeplatte s komt van summa Latijn voor SOM
o Dx differentiaal van x verwijst naar ∆x in Riemannsom
Hoe werkt de optelbaarheid van de bepaalde integraal?
Als functie f continu is in [a, b] dan geldt
o …
o …
Als functie f continu is in een interval I dan geldt voor elke a, b, c ∈ I
o …
Wat is de middelwaardestelling van de bepaalde integraal?
Stel dat m de minimale en M de maximale functiewaarden zijn van f in [a, b]
georiënteerde oppervlakte van rechthoek met basis b-a en hoogte |m| is nooit groter dan
bepaalde integraal + georiënteerde oppervlakte van rechthoek met basis b-a en hoogte |M|
is nooit kleiner dan bepaalde integraal tussen a en b minstens 1 c zodat georiënteerde
oppervlakte van rechthoek met basis b-a en hoogte |f(c)|gelijk is aan bepaalde integraal
