Chapitre 12 : Orthogonalités et Endomorphismes CPGE - Fiche de révision
1. Espaces Préhilbertiens 3. Adjoint d’un Endomorphisme
Définition (Produit Scalaire). Un produit scalaire sur un Ici, E est un espace euclidien (dimension finie).
R-espace vectoriel E est une forme bilinéaire, symétrique et
Théorème (Théorème de représentation de Riesz). Pour
définie positive :
toute forme linéaire φ ∈ E ∗ , il existe un unique vecteur
— Symétrique : ∀(x, y) ∈ E 2 , (x|y) = (y|x). a ∈ E tel que ∀x ∈ E, φ(x) = (a|x).
— Bilinéaire : Linéarité par rapport aux deux variables.
— Définie positive : ∀x ∈ E, (x|x) ≥ 0 et (x|x) = 0 ⇐⇒ Théorème (Existence et Propriétés de l’Adjoint). Pour tout
x = 0E . u ∈ L(E), il existe un unique endomorphisme u∗ appelé ad-
joint de u, vérifiant :
E muni d’un tel produit est un espace préhilbertien. S’il
p c’est un espace euclidien. La norme
est de dimension finie, ∀(x, y) ∈ E 2 , (u(x)|y) = (x|u∗ (y))
associée est ∥x∥ = (x|x).
Dans une BON, si M = Mat(u), alors Mat(u∗ ) = M ⊤ .
Théorème (Cauchy-Schwarz et Identités).
Proposition (Propriétés fondamentales de l’Adjoint).
— Cauchy-Schwarz : |(x|y)| ≤ ∥x∥∥y∥. Le cas d’égalité a
lieu ⇐⇒ x et y sont colinéaires. — (u∗ )∗ = u et (u ◦ v)∗ = v ∗ ◦ u∗ .
— Polarisation : 2(x|y) = ∥x + y∥2 − ∥x∥2 − ∥y∥2 . — u et u∗ ont même rang, trace, det, polynôme caractéris-
— Parallélogramme : ∥x+y∥2 +∥x−y∥2 = 2(∥x∥2 +∥y∥2 ). tique et spectre.
— Pythagore : x ⊥ y ⇐⇒ ∥x + y∥2 = ∥x∥2 + ∥y∥2 . — Orthogonalité : ker(u∗ ) = (Im u)⊥ et Im(u∗ ) =
(ker u)⊥ .
Définition (Orthogonalité). — Stabilité : Si F est stable par u, alors F ⊥ est stable par
u∗ .
— L’orthogonal d’une partie A est A⊥ = {y ∈ E | ∀a ∈
A, (a|y) = 0}.
— A⊥ est toujours un sous-espace vectoriel fermé. 4. Endomorphismes Autoadjoints
— On a A ⊆ (A⊥ )⊥ . (En dimension finie, pour un sev F ,
(F ⊥ )⊥ = F ). Définition (Autoadjoint / Symétrique). u est autoadjoint
— F ⊆ G =⇒ G⊥ ⊆ F ⊥ . (ou symétrique) si u = u∗ . Dans une BON, sa matrice est sy-
métrique (S ⊤ = S). L’ensemble S(E) des endomorphismes
Théorème (Procédé de Gram-Schmidt). Toute famille libre symétriques est un ev de dimension n(n+1)
2 .
(ei )i∈I (finie ou infinie dénombrable) peut être rendue or-
thonormale (ϵi )i∈I en engendrant les mêmes sous-espaces : Proposition (Propriétés géométriques).
Vect(ϵ1 , . . . , ϵk ) = Vect(e1 , . . . , ek ). Algorithme : sk = — Im u et ker u sont supplémentaires orthogonaux.
ek − i=1 (s∥si |e
Pk−1 k) sk
2 si puis ϵk = ∥s ∥ . Conséquence : Tout espace
— Si F est stable par u, F ⊥ l’est aussi.
i∥ k
euclidien admet une base orthonormée (BON). — Les projecteurs et symétries sont autoadjoints ⇐⇒ ils
sont orthogonaux.
Théorème (Théorème Spectral). Tout endomorphisme sy-
2. Projecteurs Orthogonaux
métrique d’un espace euclidien E possède des valeurs
Théorème (Supplémentaire orthogonal). En dimension fi- propres réelles, ses sous-espaces propres sont orthogo-
nie, tout sous-espace F admet un unique supplémentaire or- naux, et il est diagonalisable dans une base orthonor-
thogonal qui est F ⊥ . On a alors E = F ⊕ F ⊥ et dim E = mée. Matriciellement : Pour toute matrice symétrique réelle
dim F + dim F ⊥ . S, il existe une matrice orthogonale P et une matrice diago-
nale D telles que S = P DP ⊤ .
Définition (Projection Orthogonale). La projection ortho-
Définition (Positivité et Définie Positivité).
gonale sur F , notée pF , est la projection sur F parallèlement
à F ⊥ . Un projecteur p est orthogonal ⇐⇒ ker p = (Im p)⊥ . — u ∈ S(E) est positif (Sn+ (R)) si ∀x, (u(x)|x) ≥ 0 ⇐⇒
Formule dans une BON (e1 , . . . , ep ) de F : Sp(u) ⊂ R+ .
— u ∈ S(E) est défini positif (Sn++ (R)) si ∀x ̸=
p
X 0, (u(x)|x) > 0 ⇐⇒ Sp(u) ⊂ R∗+ .
∀x ∈ E, pF (x) = (x|ek )ek Décomposition de Cholesky : Toute matrice A ∈ Sn++ (R)
k=1
s’écrit A = P ⊤ P (avec P inversible ou triangulaire supé-
rieure).
Théorème (Distance à un sous-espace). Pour tout x ∈ E, la
distance d(x, F ) = inf y∈F ∥x − y∥ est atteinte en un unique
point qui est y = pF (x). On a alors : d(x, F ) = ∥x − pF (x)∥ 5. Isométries / Endomorphismes Orthogo-
et, par Pythagore : naux
∥x∥2 = ∥pF (x)∥2 + d(x, F )2 Définition (Endomorphisme orthogonal). u est orthogonal
(ou est une isométrie vectorielle) s’il préserve le produit
Théorème (Inégalité de Bessel et Parseval).
Pp Soit (ϵn ) une scalaire : (u(x)|u(y)) = (x|y). Équivalences : ∥u(x)∥ =
famille orthonormale. Bessel : ∀x ∈ E, i=1 (ϵi |x)2 ≤ ∥x∥2 . ∥x∥ ⇐⇒ u∗ = u−1 ⇐⇒ u transforme toute BON en
Égalité de Parseval : La famillePest dite totale (engendre une BON. L’ensemble de ces endomorphismes est le groupe
+∞
un sous-espace dense dans E) ssi k=0 (ϵk |x)2 = ∥x∥2 . orthogonal O(E).
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1. Espaces Préhilbertiens 3. Adjoint d’un Endomorphisme
Définition (Produit Scalaire). Un produit scalaire sur un Ici, E est un espace euclidien (dimension finie).
R-espace vectoriel E est une forme bilinéaire, symétrique et
Théorème (Théorème de représentation de Riesz). Pour
définie positive :
toute forme linéaire φ ∈ E ∗ , il existe un unique vecteur
— Symétrique : ∀(x, y) ∈ E 2 , (x|y) = (y|x). a ∈ E tel que ∀x ∈ E, φ(x) = (a|x).
— Bilinéaire : Linéarité par rapport aux deux variables.
— Définie positive : ∀x ∈ E, (x|x) ≥ 0 et (x|x) = 0 ⇐⇒ Théorème (Existence et Propriétés de l’Adjoint). Pour tout
x = 0E . u ∈ L(E), il existe un unique endomorphisme u∗ appelé ad-
joint de u, vérifiant :
E muni d’un tel produit est un espace préhilbertien. S’il
p c’est un espace euclidien. La norme
est de dimension finie, ∀(x, y) ∈ E 2 , (u(x)|y) = (x|u∗ (y))
associée est ∥x∥ = (x|x).
Dans une BON, si M = Mat(u), alors Mat(u∗ ) = M ⊤ .
Théorème (Cauchy-Schwarz et Identités).
Proposition (Propriétés fondamentales de l’Adjoint).
— Cauchy-Schwarz : |(x|y)| ≤ ∥x∥∥y∥. Le cas d’égalité a
lieu ⇐⇒ x et y sont colinéaires. — (u∗ )∗ = u et (u ◦ v)∗ = v ∗ ◦ u∗ .
— Polarisation : 2(x|y) = ∥x + y∥2 − ∥x∥2 − ∥y∥2 . — u et u∗ ont même rang, trace, det, polynôme caractéris-
— Parallélogramme : ∥x+y∥2 +∥x−y∥2 = 2(∥x∥2 +∥y∥2 ). tique et spectre.
— Pythagore : x ⊥ y ⇐⇒ ∥x + y∥2 = ∥x∥2 + ∥y∥2 . — Orthogonalité : ker(u∗ ) = (Im u)⊥ et Im(u∗ ) =
(ker u)⊥ .
Définition (Orthogonalité). — Stabilité : Si F est stable par u, alors F ⊥ est stable par
u∗ .
— L’orthogonal d’une partie A est A⊥ = {y ∈ E | ∀a ∈
A, (a|y) = 0}.
— A⊥ est toujours un sous-espace vectoriel fermé. 4. Endomorphismes Autoadjoints
— On a A ⊆ (A⊥ )⊥ . (En dimension finie, pour un sev F ,
(F ⊥ )⊥ = F ). Définition (Autoadjoint / Symétrique). u est autoadjoint
— F ⊆ G =⇒ G⊥ ⊆ F ⊥ . (ou symétrique) si u = u∗ . Dans une BON, sa matrice est sy-
métrique (S ⊤ = S). L’ensemble S(E) des endomorphismes
Théorème (Procédé de Gram-Schmidt). Toute famille libre symétriques est un ev de dimension n(n+1)
2 .
(ei )i∈I (finie ou infinie dénombrable) peut être rendue or-
thonormale (ϵi )i∈I en engendrant les mêmes sous-espaces : Proposition (Propriétés géométriques).
Vect(ϵ1 , . . . , ϵk ) = Vect(e1 , . . . , ek ). Algorithme : sk = — Im u et ker u sont supplémentaires orthogonaux.
ek − i=1 (s∥si |e
Pk−1 k) sk
2 si puis ϵk = ∥s ∥ . Conséquence : Tout espace
— Si F est stable par u, F ⊥ l’est aussi.
i∥ k
euclidien admet une base orthonormée (BON). — Les projecteurs et symétries sont autoadjoints ⇐⇒ ils
sont orthogonaux.
Théorème (Théorème Spectral). Tout endomorphisme sy-
2. Projecteurs Orthogonaux
métrique d’un espace euclidien E possède des valeurs
Théorème (Supplémentaire orthogonal). En dimension fi- propres réelles, ses sous-espaces propres sont orthogo-
nie, tout sous-espace F admet un unique supplémentaire or- naux, et il est diagonalisable dans une base orthonor-
thogonal qui est F ⊥ . On a alors E = F ⊕ F ⊥ et dim E = mée. Matriciellement : Pour toute matrice symétrique réelle
dim F + dim F ⊥ . S, il existe une matrice orthogonale P et une matrice diago-
nale D telles que S = P DP ⊤ .
Définition (Projection Orthogonale). La projection ortho-
Définition (Positivité et Définie Positivité).
gonale sur F , notée pF , est la projection sur F parallèlement
à F ⊥ . Un projecteur p est orthogonal ⇐⇒ ker p = (Im p)⊥ . — u ∈ S(E) est positif (Sn+ (R)) si ∀x, (u(x)|x) ≥ 0 ⇐⇒
Formule dans une BON (e1 , . . . , ep ) de F : Sp(u) ⊂ R+ .
— u ∈ S(E) est défini positif (Sn++ (R)) si ∀x ̸=
p
X 0, (u(x)|x) > 0 ⇐⇒ Sp(u) ⊂ R∗+ .
∀x ∈ E, pF (x) = (x|ek )ek Décomposition de Cholesky : Toute matrice A ∈ Sn++ (R)
k=1
s’écrit A = P ⊤ P (avec P inversible ou triangulaire supé-
rieure).
Théorème (Distance à un sous-espace). Pour tout x ∈ E, la
distance d(x, F ) = inf y∈F ∥x − y∥ est atteinte en un unique
point qui est y = pF (x). On a alors : d(x, F ) = ∥x − pF (x)∥ 5. Isométries / Endomorphismes Orthogo-
et, par Pythagore : naux
∥x∥2 = ∥pF (x)∥2 + d(x, F )2 Définition (Endomorphisme orthogonal). u est orthogonal
(ou est une isométrie vectorielle) s’il préserve le produit
Théorème (Inégalité de Bessel et Parseval).
Pp Soit (ϵn ) une scalaire : (u(x)|u(y)) = (x|y). Équivalences : ∥u(x)∥ =
famille orthonormale. Bessel : ∀x ∈ E, i=1 (ϵi |x)2 ≤ ∥x∥2 . ∥x∥ ⇐⇒ u∗ = u−1 ⇐⇒ u transforme toute BON en
Égalité de Parseval : La famillePest dite totale (engendre une BON. L’ensemble de ces endomorphismes est le groupe
+∞
un sous-espace dense dans E) ssi k=0 (ϵk |x)2 = ∥x∥2 . orthogonal O(E).
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