Résumé Fonctions à valeurs vectorielles

Chapitre 13 : Fonctions à Valeurs Vectorielles Fiche de Révision


1. Dérivabilités Théorème (Propriétés fondamentales de l’intégrale).
— Linéarité : L’intégration est une application linéaire.
Ici, I est un intervalle de R et E, F, G sont des espaces Rb Rc Rc
— Chasles : a f + b f = a f .
vectoriels normés de dimension finie.
— ATTENTION - Pas de positivité : L’espace E n’étant
Définition (Dérivabilité et Régularité). pas ordonné, la notion de "positivité de l’intégrale" n’a
— Dérivabilité : f : I → E est dérivable en t0 ∈ I si le aucun sens pour les vecteurs.
taux d’accroissement admet une limite dans E : Théorème (Inégalité Triangulaire (Fondamental)). Soit f :
f (t) − f (t0 ) [a, b] → E continue par morceaux (a ≤ b). Alors :
lim = f ′ (t0 )
t→t0 t − t0 Z b Z b
f (t)dt ≤ ∥f (t)∥dt
Le vecteur f ′ (t0 ) est le vecteur dérivé de f en t0 . a a
— Classe C k : f est k fois continûment dérivable.
— Difféomorphisme : f est une bijection de classe C k , dont Proposition (Sommes de Riemann). Si f est continue sur
la réciproque f −1 est aussi de classe C k . [a, b], alors l’intégrale est limite des sommes de Riemann (vec-
torielles) :
Théorème (Caractérisation par les composantes). Soit B =
(e1 , . . . P
, en ) une base de E. On décompose f sur cette base : n−1   Z b
n
b−a X b−a
f (t) = i=1 fi (t)ei . L’application f est dérivable en t0 (resp. lim f a+k = f (t)dt
n→∞ n n a
de classe C k ) si et seulement si toutes ses fonctions coor- k=0

données fi sont dérivables en t0 (resp. de classe C k ). Dans ce
cas :
n
3. Inégalités des Accroissements Finis
X
f ′ (t0 ) = fi′ (t0 )ei Attention (Le Piège Classique). Il n’y a PAS de Théo-
i=1
rème des Accroissements Finis (TAF) pour les fonc-
Proposition (Opérations sur les dérivées). Soient f, g : tions vectorielles. Contre-exemple : f (t) = eit sur [0, 2π]. On a
I → E dérivables et φ : I → R dérivable. f (2π)−f (0) = 0. S’il existait c tel que f (2π)−f (0) = 2πf ′ (c),
— Combinaison linéaire : (λf + µg)′ = λf ′ + µg ′ . alors f ′ (c) = 0, ce qui est impossible car ∥f ′ (c)∥ = ∥ieic ∥ =
— Produit par une fonction scalaire : 1 ̸= 0. Seules les inégalités (IAF) restent valables !

(φf )′ = φ′ f + φf ′ Théorème (IAF - Forme Globale). Soit f : I → E conti-
nue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. S’il existe M ≥ 0 tel que
— Application bilinéaire : Si B : E×F → G est bilinéaire, ∀t ∈]a, b[, ∥f ′ (t)∥ ≤ M , alors :
B(f, g) est dérivable et :
∥f (b) − f (a)∥ ≤ M |b − a|
′ ′ ′
(B(f, g)) = B(f , g) + B(f, g )
Corollaire (IAF - Forme Intégrale). Si f est de classe C 1 sur
Corollaire (Dérivations usuelles de formes bilinéaires). On [a, b] (avec a ≤ b), alors :
déduit de la propriété précédente des formules cruciales : Z b
— Produit scalaire : (f |g)′ = (f ′ |g) + (f |g ′ ). ∥f (b) − f (a)∥ ≤ ∥f ′ (t)∥dt
a
— Produit vectoriel (R3 ) : (f ∧ g)′ = f ′ ∧ g + f ∧ g ′ .

′ Corollaire (Caractérisation des fonctions constantes). Soit
— Norme euclidienne : ∥f ∥2 = 2(f ′ |f ).
f : I → E dérivable sur un intervalle I.
Attention (Le théorème de la norme constante). Si une fonc-
tion vectorielle f a une norme constante sur I (∥f (t)∥ = C), f ′ = 0 sur I ⇐⇒ f est constante sur I
alors en dérivant ∥f (t)∥2 = C 2 , on obtient 2(f ′ (t)|f (t)) = 0. Corollaire (Fonctions Lipschitziennes). Si la dérivée f ′ est
Conséquence géométrique : À tout instant t, le vecteur bornée sur l’intervalle I, alors la fonction f est lipschitzienne
dérivé f ′ (t) est orthogonal au vecteur position f (t). sur I.
Proposition (Composition). Soit φ : J → I et g : I → E
des fonctions dérivables. Alors g ◦ φ est dérivable sur J et : 4. Théorèmes de Taylor
′ ′ ′
(g ◦ φ) (t) = φ (t) · g (φ(t)) Ici, a et b sont deux réels de I et f une fonction à valeurs
dans E.
2. Intégration sur un segment Théorème (Taylor avec Reste Intégral). Si f est de classe
Les fonctions considérées ici sont au moins continues par C n+1 sur I, alors :
morceaux (cpm) sur un segment [a, b]. Xn
(b − a)k (k)
Z b
(b − t)n (n+1)
f (b) = f (a) + f (t)dt
Définition (Intégrale vectorielle). L’intégrale de f = k! a n!
k=0
(f1 , . . . , fn ) de [a, b] dans E est le vecteur de E défini co-
ordonnée par coordonnée : Théorème (Inégalité de Taylor-Lagrange). Si f est de classe
! C n+1 sur I, et s’il existe une constante M ≥ 0 telle que
∀t ∈ I, ∥f (n+1) (t)∥ ≤ M , alors :
Z b Z b Z b
f (t)dt = f1 (t)dt, . . . , fn (t)dt
a a a n
X (b − a)k |b − a|n+1
f (b) − f (k) (a) ≤ M
Cette définition est indépendante de la base choisie. k! (n + 1)!
k=0


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