Résumé Compléments en algèbre linéaire

Chapitre 04 : Compléments en Algèbre Linéaire CPGE - Fiche de Révision


1. Espaces Vectoriels
P
Corollaire (Caractérisation).
L Si Ei = E (la P
somme en-
gendre l’espace), alors E = Ei ⇐⇒ dim E = dim Ei .
Définition (Familles et Bases).
P Théorème (Décomposition d’une application linéaire). Si
— Combinaison linéaire : Vecteur x = i∈I αi xi avec E =
Lk
i=1 Ei , et qu’on se donne des applications linéaires
αi ∈ K. ui ∈ L(Ei , F ), il existe une unique application linéaire
— L’ensemble de toutes les combinaisons linéaires forme le u ∈ L(E, F ) telle que pour tout i, la restriction soit u|Ei = ui .
sous-espace engendré Vect(xi )i∈I .

Proposition (Coordonnées dans une base). Soit B = 2. Sous-Espaces Stables & Matrices
(e1 , . . . , en ) une base de E. Pour tout vecteur x ∈ E, il
existe unique famille de scalaires (α1 , . . . , αn ) telle que Définition (Sous-espace stable). Un sev F de E est stable
Punen
x = i=1 αi ei . (Unicité des coordonnées). par u ∈ L(E) si u(F ) ⊆ F .
Proposition (Propriétés de stabilité).
1.1 Produits, sommes et sommes directes — L’intersection et la somme de sous-espaces stables par u
Définition (Espace Produit). Soit (Ei )i∈I des sev de E. L’es- sont stables par u.
Q
pace produit cartésien i∈I Ei = E1 × · · · × En est un espace — Le plus petit sous-espace stable contenant x est
vectoriel pour les lois composante par composante. Vect(uk (x))k∈N .
— Ker(u) et Im(u) sont toujours stables par u.
Proposition (Dimension d’un produit). En dimension finie, Théorème (Commutation et Stabilité). Si u, v ∈ L(E)
la dimension d’un espace produit est la somme des dimen- commutent (u ◦ v = v ◦ u), alors Ker v et Im v sont stables
sions : ! par u.
Y X
dim Ei = dim(Ei ) Définition (Endomorphisme induit). Si F est stable par u,
i∈I i∈I l’application de F dans F qui à x 7→ u(x) est un endomor-
P phisme de F , appelé endomorphisme induit (noté u|F ).
Définition (Somme de sous-espaces). La somme i∈I Ei
est l’ensemble des vecteurs qui s’écrivent comme une somme
d’éléments des Ei : 2.1 Représentation matricielle par blocs

X
(
X
) Soit B une base adaptée à E = F ⊕ G.
Ei = xi ∀i ∈ I, xi ∈ Ei Théorème (Matrice triangulaire par blocs). La matrice de
i∈I i∈I u dans B est de la forme :
 
Définition (Somme Directe). La somme est directe (notée A C
0 D
L
E
i∈I i ) si et seulement si la décomposition du vecteur nul
est unique : si et seulement si F est stable par u. Le bloc A représente
X alors l’endomorphisme induit u|F .
xi = 0E =⇒ ∀i ∈ I, xi = 0E
i∈I Théorème (Matrice diagonale par blocs). Si B est adaptée
Lk
à E = i=1 Ei , la matrice de u est de la forme :
Théorème (Supplémentaires dans K[X). ]SoitP ∈ K[X]  
avec deg P ≥ 1, et n = deg P − 1. Le sous-espace P K[X] A1 0 . . . 0
 0 A2 . . . 0
(les multiples de P ) et le sous-espace Kn [X] sont supplé-  
 .. .. .. .. 
mentaires dans K[X].  . . . . 
Lk 0 0 ... Ak
Définition (Projecteurs associés). Si E = i=1 Ei , à cette
décomposition est associée une famille de projecteurs (pi ). si et seulement si TOUS les Ei sont stables par u.
L tout i0 , pi0 est la projection sur EiL
Pour 0
parallèlement à
i̸=i0 Ei . On a Im p i 0
= Ei0
et Ker pi 0
= i̸=i0 Ei . 3. Exemples de Déterminants
L
Définition (Base adaptée). Si E = Ei , la concaténa-
Théorème (Déterminant par blocs). Le déterminant d’une
tion d’une base B1 de E1 , d’une base B2 de E2 , etc., forme
matrice triangulaire par blocs est le produit des détermi-
une base de E, appelée base adaptée à la somme directe.
nants des blocs diagonaux :
Lemme (Fractionnement d’une base). Si on partitionne une
 
A B
base B de E en sous-familles disjointes Bi , alors les sous- det = det(A) × det(C)
0 C
espaces engendrés par ces sous-familles (Ei = Vect(Bi )) sont
en somme directe et E =
L
Ei . Attention : Faux si le bloc 0 n’est pas présent (on ne peut pas
croiser les produits).
Théorème (Dimension d’une somme). Pour une famille finie
Définition (Déterminant de Vandermonde). Pour
de sev de dimension finie :
x0 , . . . , xn ∈ K, on définit V (x0 , . . . , xn ) comme le déter-
minant de la matrice dont les colonnes sont les puissances de
!
X X
dim Ei ≤ dim(Ei ) xj (mi,j = xij ).
i∈I i∈I Y
V (x0 , . . . , xn ) = (xi − xj )
Il y a égalité si et seulement si la somme est directe. 0≤j<i≤n


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