Résumé Structures algébrique

Chapitre 03 : Structures Algébriques CPGE - Fiche de Révision


1. LCI & Groupes 3. Groupes Particuliers
Définition (Loi de Composition Interne (LCI)). Une LCI Définition (Ordre et Groupes Monogènes).
∗ sur E est une application de E 2 → E. — Sous-groupe engendré par g : Gg = {g k | k ∈ Z}.
— Associativité : ∀a, b, c ∈ E, (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c). — Monogène : Groupe engendré par un seul élément (ils
— Commutativité : ∀a, b ∈ E, a ∗ b = b ∗ a. sont tous commutatifs).
— Élément neutre e : ∀a ∈ E, a ∗ e = e ∗ a = a. (Il est — Cyclique : Groupe monogène et fini.
unique s’il existe). — Ordre d’un élément : Cardinal de Gg . On a g n = e ⇐⇒
— Élément symétrisable : a ∈ E est symétrisable s’il l’ordre de g divise n.
existe a′ tel que a ∗ a′ = a′ ∗ a = e. (a′ est unique s’il Théorème (Théorèmes Fondamentaux).
existe).
— Structure : Tout groupe monogène infini est isomorphe
Proposition (Propriétés des symétriques). Si a et b sont à Z. Tout groupe cyclique de cardinal n est isomorphe à
symétrisables, alors a′ et a ∗ b le sont aussi : Z/nZ.
— Lagrange : Si G est un groupe fini, l’ordre de tout élé-
(a ∗ b)′ = b′ ∗ a′ et (a′ )′ = a ment divise le cardinal de G.

Théorème (Groupe Symétrique Sn ). Groupe des bijec-
Définition (Partie stable). Une partie F ⊆ E est stable par tions de [[1, n]] dans lui-même. |Sn | = n!.
∗ si ∀a, b ∈ F, a ∗ b ∈ F .
— Signature ε : Morphisme surjectif de Sn → {−1, 1}.
Définition (Groupe). Un groupe est un ensemble G muni — Groupe alterné An : Noyau de ε (permutations paires).
d’une LCI ∗ : |An | = n!/2.
— Un k-cycle a pour ordre k et pour signature (−1)k−1 .
1. Associative. — Les transpositions (2-cycles) engendrent Sn .
2. Possédant un élément neutre.
3. Où tout élément est symétrisable.
4. Anneaux, Corps, Algèbres
Il est dit abélien (ou commutatif) si la loi est commutative.
Règles de calcul : Simplification à droite/gauche autorisée. Définition (Anneau). Un triplet (A, +, ×) est un anneau
(ab)−1 = b−1 a−1 . si :
1. (A, +) est un groupe commutatif (neutre 0A ).
Théorème (Groupe Produit). Si (G1 , ∗1 ) et (G2 , ∗2 ) sont
2. × est associative et distributive sur +.
des groupes, l’ensemble G1 × G2 muni de la loi produit
3. Il existe un neutre 1A pour ×.
(g1 , g2 ) ∗ (h1 , h2 ) = (g1 ∗1 h1 , g2 ∗2 h2 ) est un groupe.
Il est commutatif si × l’est.

2. Sous-groupes & Morphismes Corollaire (Identités remarquables). Dans un anneau, si a
et b commutent (ab = ba) :
Théorème (Caractérisation d’un Sous-Groupe). Une partie n  
F de (G, e, ∗) est un sous-groupe ⇐⇒ :
X n p n−p
(a + b)n = a b
p=0
p
1. F ⊆ G et F ̸= ∅ (en pratique e ∈ F ).
2. ∀a, b ∈ F, a ∗ b−1 ∈ F (ou a − b ∈ F en additif). n−1
X
Toute intersection de sous-groupes est un sous-groupe. an − bn = (a − b) ak bn−1−k
k=0
Définition (Partie génératrice). L’intersection de tous les
Définition (Éléments remarquables de A).
sous-groupes contenant A ⊆ G est le sous-groupe engen-
dré par A. Si ce sous-groupe est G, A est une partie généra- — Inversibles (A∗ ) : Éléments symétrisables pour ×. L’en-
trice. semble A∗ est un groupe pour ×.
— Réguliers : ab = ac =⇒ b = c. (Tout inversible est
Définition (Morphismes de Groupes). f : G1 → G2 est un régulier).
morphisme si ∀a, b ∈ G1 , f (a ∗1 b) = f (a) ∗2 f (b). — Nilpotents : ∃p ≥ 1, ap = 0A . (Si a est nilpotent, 1 − a
est inversible).
— f (e1 ) = e2 ; f (a−1 ) = f (a)−1 ; f (an ) = f (a)n .
— La composée de morphismes est un morphisme. Définition (Intégrité et Corps).
— Un morphisme bijectif est un isomorphisme. — Anneau intègre : Anneau commutatif non réduit à {0}
— Si G1 = G2 , c’est un endomorphisme (et automor- sans diviseur de zéro (∀a, b ̸= 0, ab ̸= 0). Tout élément
phisme si bijectif). non nul y est régulier.
— Corps : Anneau commutatif non nul où tout élément
Théorème (Noyau et Image). Soit f : G1 → G2 un mor-
non nul est inversible (K∗ = K \ {0}).
phisme.
— Image : Imf = f (G1 ) est un sous-groupe de G2 . Proposition (Inversibles classiques à connaître).
— Noyau : Kerf = f −1 ({e2 }) est un sous-groupe de G1 . — Z∗ = {−1, 1}.
— Injectivité : f est injectif ⇐⇒ Kerf = {e1 }. — (L(E))∗ = GL(E).
— Surjectivité : f est surjectif ⇐⇒ Imf = G2 . — (Mn (K))∗ = GLn (K).


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