Samenvatting Didactiek Wiskunde 2 | Logica & Meetkunde | VIVES | 1ste semester

Didactiek wiskunde 2
Inleiding
Eindtermen worden minimumdoelen
4de leerjaar = (wiskunde) bereiken op populatieniveau
6de laarjaar = (wiskunde) bereiken op individueel niveau

Verschil minimumdoelen en leerplannen
 Leerplannen zijn gebaseerd op minimumdoelen


Logica en verzamelingen
In minimumdoelen zit dit onder meetkunde (zou ook bij andere domeinen
kunnen, bv. getallenkennis en ICT)

Logica = de wetenschap van het redeneren
 Problemen
 Verbanden
 Besluiten

Verzamelingen = hulp bij het beschrijven, groeperen en analyseren van
objecten


Belangrijkste aspecten van logisch denken
Uitspraken met de operatoren ‘en’, ‘of’ en ‘niet’
Een uitspraak of gebeurtenis is een zin waar je duidelijk kan zeggen of het
waar is of niet waar is.
Bv.
 Het is vandaag vrijdag.
 Ik eet een koek.
 De vierhoek is een rechthoek.
 Tien is deelbaar door twee.

Door middel van voegwoorden maken we langere samengestelde uitspraken

,De betekenis van ‘en’- de operator ‘en’
De logische operator EN verbindt twee uitspraken. Deze samengestelde
uitspraak is waar als beide uitspraken waar zijn.

De operator EN kan ook gebruikt worden om wiskundige gebeurtenissen aan
elkaar te koppelen.
Bv.:
 De diagonalen van een rechthoek snijden elkaar middendoor EN zijn
even lang.
 Vijftienis deelbaar door drie EN door vijf.
 Een vierkant heeft vier rechte hoeken EN vier even lange zijden.

De betekenis van ‘OF’ – de operator ‘OF’
De logische operator OF verbindt twee uitspraken en is waar als minstens
één van de uitspraken waar is.

Je kan ook voorbeelden bedenken uit de wiskunde:
 Omcirkel de getallen die eindigen op 0 OF op 5.
 Duid de vierhoeken aan waarvan de diagonalen loodrecht op elkaar
staan OF even lang zijn.
 Kleur de getallen die deelbaar zijn door twee OF door drie.

Onderscheid tussen exclusieve OF of een inclusieve OF
Exclusief: kunnen niet beide voorkomen, 1 van de gekoppelde
gebeurtenissen komt voor
Inclusief: de ene of de de andere komt voor, kunnen beide tegelijk
voorkomen, minstens 1 van de gebeurtenissen komt voor.

In het dagelijkse leven maken we vaker gebruik van een exclusieve OF,
terwijl in de logica meestal een inclusieve OF bedoeld wordt

Vb. kleur getallen die deelbaar zijn door 2 of 3 (inclusief)
Duidt de getallen aan die eindigen op 0 of 5 (exclusief want kan niet beide)

Betekenis van NIET – de operator NIET
Ontkenning van een uitspraak, taalkundig vaak het woord GEEN gebruikt ipv.
NIET
Als er maar twee mogelijkheden zijn, kan je uit de ontkenning van een
gebeurtenis een andere gebeurtenis afleiden die dan het tegengestelde van
de ontkende gebeurtenis is
Vaak geen meerdere mogelijkheden
 De driehoek is NIET gelijkbenig.
 15 is NIET deelbaar door twee.
 Een cirkel behoort NIET tot de veelhoeken.

,Combinaties van NIET met EN/OF
 Teken een hoek die NIET scherp EN NIET stomp is.
 Teken een veelhoek waarvan de zijden evenwijdig zijn EN de
diagonalen elkaar NIET halveren. (Regelmatige 6hoek/ 8hoek)
 Geef een getal dat NIET deelbaar is door drie OF dat niet eindigt op 3.

Redenering
 Het is niet waar, dat ik een hond of een kat heb betekent hetzelfde als
ik heb geen hond en geen kat.
 Het is niet waar, dat ik een hond en een kat heb betekent hetzelfde als
ik heb geen hond of ik heb geen kat.
 Het is niet waar, dat ik geen hond heb betekent hetzelfde als ik heb
een hond.

LET OP: Als je een ontkenning maakt van een combinatie van gebeurtenissen
met EN of met OF, moet je de ontkenning maken van beide gebeurtenissen,
én moet je de combinatie met EN vervangen door OF of omgekeerd.




Als je dit semester betere punten hebt EN NIET naar de strafstudie moest,
krijg je een cadeau -> als je geen betere punten hebt OF wel naar de
stafstudie moet, krijg je geen cadeau
Ze is niet de kleinste EN NIET de jongste van de klas -> ze is de kleinste OF
de jongste van de klas


Als… dan – relaties
Oorzaak-gevolgrelatie
Telkens als de eerste gebeurtenis zich voordoet, weten we dat de tweede er
automatisch uit volgt. Een oorzaak (als) -gevolg (dan) relatie kan je
omschrijven met behulp van ‘als’ en ‘dan’.

In de wiskunde duiden we deze relatie aan met een dubbele pijl in één
richting. De richting gaat van oorzaak naar gevolg
 ALS een getal eindigt op 6, DAN is dat getal even.

,  ALS een getal deelbaar is door 10, DAN is het ook deelbaar door 2.
 ALS een vierhoek een parallellogram is, DAN zijn de overstaande
hoeken even groot.
 ALS een vierhoek een rechthoek is, DAN heeft hij zeker één rechte
hoek.

LET OP:
Je kan de uitspraak ook niet zomaar omdraaien: het is niet omdat ik een
cadeautje krijg, dat ik daarom een goed rapport heb. Het zou ook kunnen dat
ik een cadeautje gekregen heb omdat het mijn verjaardag was.

Dus uit p ⇒ q kan je afleiden NIET q ⇒ NIET p


Enkel en alles als – relaties
Bij een enkel-en-alleen-als-relatie hebben we een als-dan-relatie in twee
richtingen.
In de wiskunde duiden we deze relatie aan met een dubbele pijl in twee
richtingen.
 Ik draag een bril ⇔ Ik lees de krant.
 Dit is een driehoek ⇔ De veelhoek heeft juist drie hoeken.


Logisets
Logicataal op een eenvoudige en speelse manier
 kleur (rood, geel, blauw)
 vorm (cirkel, vierkant, driehoek, rechthoek)
 grootte (groot, klein)
 dikte (dik, dun)



Verzamelingen en deelverzamelingen
Kinderen leren
 Voorwerpen sorteren en groeperen op basis van eigenschappen zoals
kleur, vorm, grootte, aantal… . Je werkt met blokken, kinderen,
kleuren, vormen, …
 Verzamelingen maken, objecten vergelijken, en begrippen als meer,
minder en evenveel hanteren,
 Taal gebruiken die typisch is voor logisch denken, zoals alles, niets,
sommige, geen
 Verbanden leggen tussen groepen en elementen, en zo de eerste
stapjes zetten in logisch redeneren.