STATISTIEK III: UNIVARIATE DATA-ANALYSE 2024
1) INLEIDING
WAT VOORAF GING IN STATISTIEK I EN II
• In ‘Statistiek I: Meetschalen en Beschrijvende Statistiek’ zagen we:
Ter herhaling:
g Ordeningstechnieken (tabellen en figuren)
p < a → Ho verwerpen
g Reductietechnieken (statistische grootheden: positie, spreading, vorm) g Voldoende bewijs tegen Ho
g Associatietechnieken (spreidingsdiagram, contingentietabellen, correlatie) g Voldoende bewijs om te stellen dat
‘HA in eigen woorden’
p>a → Ho niet verwerpen
• In ‘Statistiek II: Kansrekening en Inferentiële (inductieve) statistiek’ zagen we: g Onvoldoende bewijs tegen HO
g Kansrekening: de studie van het toeval g Onvoldoende bewijs om te stellen
dat ‘HA in eigen woorden’
g SteekproeVENverdelingen (Sampling distributions)
ð Dit is het kernbegrip bij inferentiële statistiek.
ð De stap die we zetten bij inductieve statistiek, is dat we weggaan van het beschrijvende en onze gegevens in
plaats van te beschrijven willen interpreteren; we hebben steekproefdata (bv het gemiddelde), wat kunnen we
daaruit besluiten dat geldig is voor de hele populatie?
ð Het begrip steekproeVENverdeling is een cruciaal begrip dat altijd gaat blijven terugkomen = een
frequentieverdeling van de resultaten van verschillenden steekproeven, dus NIET van de populatie! Bv een
frequentieverdeling van steekproefgemiddelden
ð De steekproeVENverdeling moet ons bewust maken van het feit dat elke onderzoeker die een onderzoek
gaat doen, wellicht andere data gaat verzamelen, hoe kun je dan uit al die verschillende datasets toch komen
tot dezelfde besluiten? → er bestaat niet zoiets als het ultieme perfecte onderzoek
ð De steekproeVENverdeling gaat beschrijven wat er gebeurt met een bepaalde karakteristieke maat die je aan
het bestuderen bent als je een onderzoek herhaalt, bv het gemiddelde, de standaardafwijking of de proportie
van de steekproef
g Inleiding tot inferentie (betrouwbaarheidsinterval, overschrijdingskans, significantietoetsen)
INDUCTIEVE TECHNIEKEN
Inductieve statistiek = We willen een bepaalde populatie onderzoeken en trekken hieruit een steekproef. Op basis van deze
steekproef willen we de terugkoppeling maken naar de populatie. Als ik in mijn steekproef een gemiddelde vindt van 50, wat
betekent dat dan voor mijn populatie? → hierover zijn 2 soorten van visies:
1. Schatten (betrouwbaarheidsintervallen)
• Je hebt een steekproefgemiddelde, hoe ver kan ik nu verwijdert
zijn van het echte populatiegemiddelde?
• Als het gemiddelde in de steekproef 50 is, wat kunnen we dan
verwachten van het gemiddelde in de populatie?
• In welke mate is het steekproefgemiddelde een goede weergave
van het populatiegemiddelde? → betrouwbaarheidsintervallen
2. Toetsen (significantietoetsen) = hypothesetoetsen
• Ik heb een steekproefgemiddelde van 50 gevonden, ik dacht dat mijn populatiegemiddelde 80 zou zijn, is er een
voldoende groot verschil om te besluiten dat deze twee eigenlijk niets met elkaar te maken hebben en dat de
steekproef eigenlijk uit een andere populatie komt; in dit geval zou de nulhypothese (= ze komen uit dezelfde
populatie) fout zijn
• Als ik dacht dat het populatiegemiddelde 80 zou zijn, kan
het dan dat ik in mijn steekproef een gemiddelde van
slechts 50 vind? De vraag is: als er een verschil is tussen
deze twee, hoe groot mag dit verschil dan zijn?
• Als het verschil te groot is, spreken we van een
significant verschil
1
,INTRO BETROUWBAARHEIDSINTERVALLEN (HERHALING STATISTIEK II)
• Dit is een figuur dat gebruikt werd wanneer we het
over betrouwbaarheidsintervallen hebben
• Tot nu toe zitten we eigenlijk in de vreemde
situatie waarbij we er vanuit gaan dat we de
populatiespreiding kennen maar het
populatiegemiddelde niet. Deze hypothese gaan
we niet meer gebruiken.
• We hebben in deze vreemde situatie dus een
onbekend gemiddelde, maar we weten natuurlijk
dat wanneer je steekproeven gaat trekken uit de
populatie, je iedere keer een ander gemiddelde
gaat hebben. Hierdoor kunnen we ons iets
voorstellen over hoe steekproefgemiddelden
gespreid zouden zijn rondom het
populatiegemiddelde.
• Hier zie je een steekproevenverdeling: hier zie je
dat de kans dat je meer dan 9 punten verwijdert
zou zijn van het echte populatiegemiddelde klein is; je kan dan afspraken maken over hoe klein die kans moet zijn. Dan ga je de
staarten groter of kleiner nemen of eventueel kunnen we de steekproevenverdeling breder of smaller maken door de grote van de
steekproef te veranderen.
• In de situatie op de afbeelding hebben we een populatie met een onbekend gemiddeld (µ), maar kennen we wel de spreiding
(sigma, σ). Wanneer we steekproeven uit deze populatie nemen, dan gaat het gemiddelde van onze steekproef vallen in een
bepaalde omgeving rondom het populatiegemiddelde.
• Omdat we de spreiding (sigma) kennen, kunnen we de breedte van de verdeling (de curve) tekenen. Wat we echter niet weten, is de
exacte positie van deze curve op de x-as, omdat het populatiegemiddelde onbekend is. Dit betekent dat we de vorm van de
verdeling kunnen tekenen, maar niet precies waar het centrum ligt.
• Wat we wel kennen is het steekproefgemiddelde uit ons eigen onderzoek. Het steekproefgemiddelde (x̄) kan ons helpen om een
schatting te maken van waar de curve van de populatieverdeling zich waarschijnlijk bevindt. Als het onbekende
populatiegemiddelde (µ) ongeveer op de plek ligt zoals in de figuur wordt aangegeven (in het midden onder "µ (unknown)"),
bevindt het steekproefgemiddelde zich op een logische positie (binnen het gele gebied)
• In de figuur ligt het steekproefgemiddelde (x̄) rond "µ - 9", wat betekent dat het 9 punten lager is dan het verwachte
populatiegemiddelde. Dit is echter nog steeds een normale en verwachte uitkomst, omdat de curve laat zien dat
steekproefgemiddelden binnen deze range kunnen vallen. Er is dus niets vreemds aan de hand, want het steekproefgemiddelde ligt
precies waar we het zouden verwachten op basis van de spreiding van de populatie.
• De staarten zijn een probleem: theoretisch zou het steekproefgemiddelde ook hierin kunnen uitkomen, of zelfs nog veel verder (tot
min oneindig of plus oneindig: realistisch gezien zal dit wel niet gebeuren). De staarten zijn de gebieden waarbij we besluiten dat er
iets raars gebeurd wanneer ons steekproefgemiddelde hierin valt
• De stippenlijnfiguur is zogezegd de echte
populatieverdeling, de mu is zogezegd de echte mu.
Moesten we de echte mu kennen, dan zou de
gestippelde figuur aangeven wat de verdeling is van
mogelijke uitkomsten van verschillende
steekproefgemiddelden voor dit soort van
onderzoek.
• Dit zou theoretisch de echte steekproeVENverdeling
zijn. We weten op basis van de theorie dat we
eigenlijk alleen de vorm van die verdeling goed
kennen, wat we dus niet weten is waar we die ergens
moeten neerzetten. Wat we kunnen doen is die
vorm gebruiken die gebaseerd is op de theorie en
die precies boven het steekproefgemiddelde van ons
onderzoek gaan zetten.
• We kunnen, omdat deze niet bekend is, geen
betrouwbaarheidsinterval opspannen rondom het
populatiegemiddelde (mu). Maar we kunnen de
redenering omdraaien en zeggen oke we vertrekken
vanuit ons steekproefgemiddelde, we gaan dan de
breedte van de steekproevenverdeling toepassen op
dat steekproefgemiddelde en zien of we de mu
‘vangen’ of niet.
2
,95% BETROUWBAARHEIDSINTERVAL = BI
Een 95% betrouwbaarheidsinterval geeft de grenzen aan
waarbinnen je verwacht dat het echte populatiegemiddelde
zal liggen. Dit betekent dat in 95% van de replicaties een
interval wordt gevonden dat de echte populatiewaarde bevat
Formule om het betrouwbaarheidsinterval voor het populatiegemiddelde (𝝁) te berekenen:
→ let goed op de notatie van de letters: mu en alle Griekse letters zijn voor populatie
parameters, de gewone letters zijn voor steekproefdata
Een betrouwbaarheidsinterval is een gebied rond het gemiddelde van een steekproef, waarmee je inschat binnen welk bereik de
werkelijke waarde voor de hele populatie waarschijnlijk valt, waarbij je accepteert dat er een kleine kans is dat de werkelijke
waarde buiten dit interval ligt. Deze foutenmarge, rondom Het populatiegemiddelde (μ = mu), wordt beïnvloed door
verschillende factoren:
• x̄ (Steekproefgemiddelde): Het gemiddelde van de gegevens in de steekproef
• Z (Z-score = betrouwbaarheidsniveau):
g De Z-waarde is de kritieke waarde die overeenkomt met het gekozen betrouwbaarheidsniveau (bijv. 90%, 95%, of 99%)
en geeft aan hoeveel kans je hebt dat het populatiegemiddelde binnen het interval valt.
g Een Z-score geeft aan hoeveel standaardafwijkingen een bepaalde waarde afwijkt van het gemiddelde. In een
standaardnormale verdeling is het gemiddelde 0 en de standaardafwijking 1
g Bijvoorbeeld: bij een betrouwbaarheidsniveau van 95% is Z ≈ 1,96, wat betekent dat 95% van de gegevens binnen 1,96
standaardafwijkingen van het gemiddelde ligt
g Voor lichaamslengte (gemiddeld 166,7 cm en SD 6,7 cm) betekent een Z-score van -1 dat iemand 1 standaardafwijking
onder het gemiddelde zit, dus ongeveer 160 cm lang is
• α (Significantieniveau):
g α is een vooraf vastgestelde kritische grens (meestal 5%) die aangeeft wanneer we de nulhypothese verwerpen. De
beslissing om de nulhypothese te verwerpen hangt af van de p-waarde, die berekend wordt op basis van de gegevens uit
het experiment of de steekproef
g De p-waarde geeft de kans aan om een resultaat te krijgen dat minstens zo extreem is als het waargenomen resultaat,
onder de aanname dat de nulhypothese waar is. Met andere woorden, het is de kans dat de resultaten puur door toeval
zijn ontstaan, gegeven dat er geen echt effect is
g Bijvoorbeeld, bij α= 5% accepteer je een risico van 5% op een foutieve beslissing (type I-fout). Als de p-waarde lager is
dan α, beschouwen we de resultaten als statistisch significant en verwerpen we de nulhypothese
• σ (Sigma): De standaardafwijking van de populatie
g De standaardafwijking van de populatie, een maat voor hoe sterk individuele waarden in een populatie gemiddeld
afwijken van het populatiegemiddelde. Een hoge σ betekent dat de waarden wijd verspreid zijn; een lage σ betekent dat
ze dicht bij het gemiddelde liggen
• n (Steekproefgrootte):
g De standaardafwijking van de populatie (σ) wordt gedeeld door de vierkantswortel van n, wat resulteert in de
standaardfout
g Een grotere steekproefgrootte verkleint het betrouwbaarheidsinterval, wat een nauwkeurigere schatting geeft: een
kleiner interval suggereert grotere zekerheid over de nabijheid van de geschatte waarde aan de werkelijke
populatiewaarde
3
, Gedrag van betrouwbaarheid
• Een klein BI impliceert een hoge betrouwbaarheid = kleine foutenmarge
g Hoe kleiner de foutenmarge en dus hoe kleiner de ‘twijfelpijl’, hoe zekerder je bent over de uitspraken die je doet
• Een kleiner BI kan je bekomen door:
g Een grote steekproef: Hoe groter je steekproef, hoe smaller uw betrouwbaarheidsinterval zal zijn → hogere kostprijs,
meer tijd nodig, betere organisatie,…
g Een lager betrouwbaarheidsniveau = Z (bijvoorbeeld 90 in plaats van 95%) → draagt een risico met zich mee
› Een betrouwbaarheidsniveau van 90% betekent dat je 90% zekerheid wilt hebben dat het
betrouwbaarheidsinterval de werkelijke parameter bevat
› Een lager betrouwbaarheidsniveau, zoals 90%, impliceert dat je bereid bent om met minder zekerheid uitspraken te
doen over de populatie, dan ga je meer risico lopen op foute beslissingen. Je moet afwegen of je zo een risico wil
nemen
o Een kleinere standaardafwijking
› Sigma = σ = de spreiding van de data in de populatie; deze is op een natuurlijke manier bepaald en inherent aan
hetgeen je aan het onderzoeken bent. Er is een deel van de spreiding dat we wel kunnen vermijden en dat zijn
meetfouten.
› Door betere meetinstrumenten te ontwikkelen kun je de meetfouten en variabiliteit binnen de groepen
verminderen, wat zal leiden tot een kleinere standaardafwijking
SIGNIFICANTIETOETS IN 4 STAPPEN
Je statistische resultaten rapporteren is belangrijk, dit doe je aan de hand van de volgende stappen:
1. Formuleer de nul- de alternatieve hypothesen
o Meestal zijn wij geïnteresseerd in verschillen tussen groepen, of we met een bepaalde therapie het verschil kunnen
maken, dan moeten we een groep met en zonder therapie vergelijken en zien of er effectief een verschil is
o Nulhypothese = er is geen verschil tussen de groepen, als we deze hypothese kunnen verwerpen kunnen we besluiten
dat er wel een verschil is
o We kunnen deze redenering niet omdraaien. Je zou kunnen denken dat we eerst moeten kijken of het verschil groot
genoeg is, maar bij de steekproevenverdeling weten we dat het gemeten gemiddelde ook kan afwijken door toevallige
fouten. Daardoor kunnen we nooit met zekerheid zeggen dat de alternatieve hypothese klopt. Wel kunnen we, als we de
nulhypothese verwerpen, aannemen dat er genoeg bewijs is om de alternatieve hypothese te accepteren.
2. Bepaal de waarde van de toetsingsgrootheid → bijvoorbeeld het gemiddelde
3. Bepaal de overschrijdingskans p voor de data (theoretisch versus resampling)
De p-waarde is de kans dat je resultaten gebaseerd zijn op toeval als de nulhypothese waar is
g Je kan de p-waarde, ofwel de overschrijdingskans, berekenen op twee manieren: "theoretisch" of aan de hand van "resampling"
g "theoretisch" door gebruik te maken van standaardverdelingen, zoals de normaalverdeling of t-verdeling, afhankelijk van de aard van je gegevens en
de analysevereisten. Deze benadering gebruikt statistische tabellen of software om te bepalen hoe extreem de teststatistiek is vergeleken met een
standaard verdeling
g "resampling" houdt in dat je herhaalde steekproeven uit je gegevens trekt om de verdeling van de teststatistiek (de waarde die wordt berekend uit
steekproefgegevens tijdens het uitvoeren van een statistische test) direct te schatten zonder aannames over de populatieverdeling
g De keuze tussen deze benaderingen hangt af van de aard van je gegevens en je specifieke analytische doelen
g Standaard wordt vaak een p-waarde van 5% gebruikt (tenzij anders aangegeven)
g wat inhoudt dat we meestal een 95% betrouwbaarheidsinterval gebruiken, waarbij 2,5% van de kans op extreme waarden aan de onderkant en 2,5%
aan de bovenkant van de verdeling van de teststatistiek ligt
g Het verband tussen α (het significantieniveau) en de p-waarde is cruciaal in statistische tests
g Een lage p-waarde (bijvoorbeeld p < 0,05) suggereert dat de kans op het verkrijgen van dergelijke gegevens door toeval erg klein is, wat wijst op
sterke statistische steun om de nulhypothese te verwerpen
g Een hoge p-waarde (bijvoorbeeld p > 0,05) geeft aan dat de kans op het verkrijgen van dergelijke gegevens door toeval vrij groot is, wat betekent dat
je geen sterk bewijs hebt om de nulhypothese te verwerpen
4. Formuleer de conclusie in APA-style
ð Als p ≤ α, verwerp je de nulhypothese → wat duidt op een statistisch significant effect of verschil
ð Als p > α, accepteer je de nulhypothese → wat aangeeft dat er onvoldoende bewijs is voor een effect
4
1) INLEIDING
WAT VOORAF GING IN STATISTIEK I EN II
• In ‘Statistiek I: Meetschalen en Beschrijvende Statistiek’ zagen we:
Ter herhaling:
g Ordeningstechnieken (tabellen en figuren)
p < a → Ho verwerpen
g Reductietechnieken (statistische grootheden: positie, spreading, vorm) g Voldoende bewijs tegen Ho
g Associatietechnieken (spreidingsdiagram, contingentietabellen, correlatie) g Voldoende bewijs om te stellen dat
‘HA in eigen woorden’
p>a → Ho niet verwerpen
• In ‘Statistiek II: Kansrekening en Inferentiële (inductieve) statistiek’ zagen we: g Onvoldoende bewijs tegen HO
g Kansrekening: de studie van het toeval g Onvoldoende bewijs om te stellen
dat ‘HA in eigen woorden’
g SteekproeVENverdelingen (Sampling distributions)
ð Dit is het kernbegrip bij inferentiële statistiek.
ð De stap die we zetten bij inductieve statistiek, is dat we weggaan van het beschrijvende en onze gegevens in
plaats van te beschrijven willen interpreteren; we hebben steekproefdata (bv het gemiddelde), wat kunnen we
daaruit besluiten dat geldig is voor de hele populatie?
ð Het begrip steekproeVENverdeling is een cruciaal begrip dat altijd gaat blijven terugkomen = een
frequentieverdeling van de resultaten van verschillenden steekproeven, dus NIET van de populatie! Bv een
frequentieverdeling van steekproefgemiddelden
ð De steekproeVENverdeling moet ons bewust maken van het feit dat elke onderzoeker die een onderzoek
gaat doen, wellicht andere data gaat verzamelen, hoe kun je dan uit al die verschillende datasets toch komen
tot dezelfde besluiten? → er bestaat niet zoiets als het ultieme perfecte onderzoek
ð De steekproeVENverdeling gaat beschrijven wat er gebeurt met een bepaalde karakteristieke maat die je aan
het bestuderen bent als je een onderzoek herhaalt, bv het gemiddelde, de standaardafwijking of de proportie
van de steekproef
g Inleiding tot inferentie (betrouwbaarheidsinterval, overschrijdingskans, significantietoetsen)
INDUCTIEVE TECHNIEKEN
Inductieve statistiek = We willen een bepaalde populatie onderzoeken en trekken hieruit een steekproef. Op basis van deze
steekproef willen we de terugkoppeling maken naar de populatie. Als ik in mijn steekproef een gemiddelde vindt van 50, wat
betekent dat dan voor mijn populatie? → hierover zijn 2 soorten van visies:
1. Schatten (betrouwbaarheidsintervallen)
• Je hebt een steekproefgemiddelde, hoe ver kan ik nu verwijdert
zijn van het echte populatiegemiddelde?
• Als het gemiddelde in de steekproef 50 is, wat kunnen we dan
verwachten van het gemiddelde in de populatie?
• In welke mate is het steekproefgemiddelde een goede weergave
van het populatiegemiddelde? → betrouwbaarheidsintervallen
2. Toetsen (significantietoetsen) = hypothesetoetsen
• Ik heb een steekproefgemiddelde van 50 gevonden, ik dacht dat mijn populatiegemiddelde 80 zou zijn, is er een
voldoende groot verschil om te besluiten dat deze twee eigenlijk niets met elkaar te maken hebben en dat de
steekproef eigenlijk uit een andere populatie komt; in dit geval zou de nulhypothese (= ze komen uit dezelfde
populatie) fout zijn
• Als ik dacht dat het populatiegemiddelde 80 zou zijn, kan
het dan dat ik in mijn steekproef een gemiddelde van
slechts 50 vind? De vraag is: als er een verschil is tussen
deze twee, hoe groot mag dit verschil dan zijn?
• Als het verschil te groot is, spreken we van een
significant verschil
1
,INTRO BETROUWBAARHEIDSINTERVALLEN (HERHALING STATISTIEK II)
• Dit is een figuur dat gebruikt werd wanneer we het
over betrouwbaarheidsintervallen hebben
• Tot nu toe zitten we eigenlijk in de vreemde
situatie waarbij we er vanuit gaan dat we de
populatiespreiding kennen maar het
populatiegemiddelde niet. Deze hypothese gaan
we niet meer gebruiken.
• We hebben in deze vreemde situatie dus een
onbekend gemiddelde, maar we weten natuurlijk
dat wanneer je steekproeven gaat trekken uit de
populatie, je iedere keer een ander gemiddelde
gaat hebben. Hierdoor kunnen we ons iets
voorstellen over hoe steekproefgemiddelden
gespreid zouden zijn rondom het
populatiegemiddelde.
• Hier zie je een steekproevenverdeling: hier zie je
dat de kans dat je meer dan 9 punten verwijdert
zou zijn van het echte populatiegemiddelde klein is; je kan dan afspraken maken over hoe klein die kans moet zijn. Dan ga je de
staarten groter of kleiner nemen of eventueel kunnen we de steekproevenverdeling breder of smaller maken door de grote van de
steekproef te veranderen.
• In de situatie op de afbeelding hebben we een populatie met een onbekend gemiddeld (µ), maar kennen we wel de spreiding
(sigma, σ). Wanneer we steekproeven uit deze populatie nemen, dan gaat het gemiddelde van onze steekproef vallen in een
bepaalde omgeving rondom het populatiegemiddelde.
• Omdat we de spreiding (sigma) kennen, kunnen we de breedte van de verdeling (de curve) tekenen. Wat we echter niet weten, is de
exacte positie van deze curve op de x-as, omdat het populatiegemiddelde onbekend is. Dit betekent dat we de vorm van de
verdeling kunnen tekenen, maar niet precies waar het centrum ligt.
• Wat we wel kennen is het steekproefgemiddelde uit ons eigen onderzoek. Het steekproefgemiddelde (x̄) kan ons helpen om een
schatting te maken van waar de curve van de populatieverdeling zich waarschijnlijk bevindt. Als het onbekende
populatiegemiddelde (µ) ongeveer op de plek ligt zoals in de figuur wordt aangegeven (in het midden onder "µ (unknown)"),
bevindt het steekproefgemiddelde zich op een logische positie (binnen het gele gebied)
• In de figuur ligt het steekproefgemiddelde (x̄) rond "µ - 9", wat betekent dat het 9 punten lager is dan het verwachte
populatiegemiddelde. Dit is echter nog steeds een normale en verwachte uitkomst, omdat de curve laat zien dat
steekproefgemiddelden binnen deze range kunnen vallen. Er is dus niets vreemds aan de hand, want het steekproefgemiddelde ligt
precies waar we het zouden verwachten op basis van de spreiding van de populatie.
• De staarten zijn een probleem: theoretisch zou het steekproefgemiddelde ook hierin kunnen uitkomen, of zelfs nog veel verder (tot
min oneindig of plus oneindig: realistisch gezien zal dit wel niet gebeuren). De staarten zijn de gebieden waarbij we besluiten dat er
iets raars gebeurd wanneer ons steekproefgemiddelde hierin valt
• De stippenlijnfiguur is zogezegd de echte
populatieverdeling, de mu is zogezegd de echte mu.
Moesten we de echte mu kennen, dan zou de
gestippelde figuur aangeven wat de verdeling is van
mogelijke uitkomsten van verschillende
steekproefgemiddelden voor dit soort van
onderzoek.
• Dit zou theoretisch de echte steekproeVENverdeling
zijn. We weten op basis van de theorie dat we
eigenlijk alleen de vorm van die verdeling goed
kennen, wat we dus niet weten is waar we die ergens
moeten neerzetten. Wat we kunnen doen is die
vorm gebruiken die gebaseerd is op de theorie en
die precies boven het steekproefgemiddelde van ons
onderzoek gaan zetten.
• We kunnen, omdat deze niet bekend is, geen
betrouwbaarheidsinterval opspannen rondom het
populatiegemiddelde (mu). Maar we kunnen de
redenering omdraaien en zeggen oke we vertrekken
vanuit ons steekproefgemiddelde, we gaan dan de
breedte van de steekproevenverdeling toepassen op
dat steekproefgemiddelde en zien of we de mu
‘vangen’ of niet.
2
,95% BETROUWBAARHEIDSINTERVAL = BI
Een 95% betrouwbaarheidsinterval geeft de grenzen aan
waarbinnen je verwacht dat het echte populatiegemiddelde
zal liggen. Dit betekent dat in 95% van de replicaties een
interval wordt gevonden dat de echte populatiewaarde bevat
Formule om het betrouwbaarheidsinterval voor het populatiegemiddelde (𝝁) te berekenen:
→ let goed op de notatie van de letters: mu en alle Griekse letters zijn voor populatie
parameters, de gewone letters zijn voor steekproefdata
Een betrouwbaarheidsinterval is een gebied rond het gemiddelde van een steekproef, waarmee je inschat binnen welk bereik de
werkelijke waarde voor de hele populatie waarschijnlijk valt, waarbij je accepteert dat er een kleine kans is dat de werkelijke
waarde buiten dit interval ligt. Deze foutenmarge, rondom Het populatiegemiddelde (μ = mu), wordt beïnvloed door
verschillende factoren:
• x̄ (Steekproefgemiddelde): Het gemiddelde van de gegevens in de steekproef
• Z (Z-score = betrouwbaarheidsniveau):
g De Z-waarde is de kritieke waarde die overeenkomt met het gekozen betrouwbaarheidsniveau (bijv. 90%, 95%, of 99%)
en geeft aan hoeveel kans je hebt dat het populatiegemiddelde binnen het interval valt.
g Een Z-score geeft aan hoeveel standaardafwijkingen een bepaalde waarde afwijkt van het gemiddelde. In een
standaardnormale verdeling is het gemiddelde 0 en de standaardafwijking 1
g Bijvoorbeeld: bij een betrouwbaarheidsniveau van 95% is Z ≈ 1,96, wat betekent dat 95% van de gegevens binnen 1,96
standaardafwijkingen van het gemiddelde ligt
g Voor lichaamslengte (gemiddeld 166,7 cm en SD 6,7 cm) betekent een Z-score van -1 dat iemand 1 standaardafwijking
onder het gemiddelde zit, dus ongeveer 160 cm lang is
• α (Significantieniveau):
g α is een vooraf vastgestelde kritische grens (meestal 5%) die aangeeft wanneer we de nulhypothese verwerpen. De
beslissing om de nulhypothese te verwerpen hangt af van de p-waarde, die berekend wordt op basis van de gegevens uit
het experiment of de steekproef
g De p-waarde geeft de kans aan om een resultaat te krijgen dat minstens zo extreem is als het waargenomen resultaat,
onder de aanname dat de nulhypothese waar is. Met andere woorden, het is de kans dat de resultaten puur door toeval
zijn ontstaan, gegeven dat er geen echt effect is
g Bijvoorbeeld, bij α= 5% accepteer je een risico van 5% op een foutieve beslissing (type I-fout). Als de p-waarde lager is
dan α, beschouwen we de resultaten als statistisch significant en verwerpen we de nulhypothese
• σ (Sigma): De standaardafwijking van de populatie
g De standaardafwijking van de populatie, een maat voor hoe sterk individuele waarden in een populatie gemiddeld
afwijken van het populatiegemiddelde. Een hoge σ betekent dat de waarden wijd verspreid zijn; een lage σ betekent dat
ze dicht bij het gemiddelde liggen
• n (Steekproefgrootte):
g De standaardafwijking van de populatie (σ) wordt gedeeld door de vierkantswortel van n, wat resulteert in de
standaardfout
g Een grotere steekproefgrootte verkleint het betrouwbaarheidsinterval, wat een nauwkeurigere schatting geeft: een
kleiner interval suggereert grotere zekerheid over de nabijheid van de geschatte waarde aan de werkelijke
populatiewaarde
3
, Gedrag van betrouwbaarheid
• Een klein BI impliceert een hoge betrouwbaarheid = kleine foutenmarge
g Hoe kleiner de foutenmarge en dus hoe kleiner de ‘twijfelpijl’, hoe zekerder je bent over de uitspraken die je doet
• Een kleiner BI kan je bekomen door:
g Een grote steekproef: Hoe groter je steekproef, hoe smaller uw betrouwbaarheidsinterval zal zijn → hogere kostprijs,
meer tijd nodig, betere organisatie,…
g Een lager betrouwbaarheidsniveau = Z (bijvoorbeeld 90 in plaats van 95%) → draagt een risico met zich mee
› Een betrouwbaarheidsniveau van 90% betekent dat je 90% zekerheid wilt hebben dat het
betrouwbaarheidsinterval de werkelijke parameter bevat
› Een lager betrouwbaarheidsniveau, zoals 90%, impliceert dat je bereid bent om met minder zekerheid uitspraken te
doen over de populatie, dan ga je meer risico lopen op foute beslissingen. Je moet afwegen of je zo een risico wil
nemen
o Een kleinere standaardafwijking
› Sigma = σ = de spreiding van de data in de populatie; deze is op een natuurlijke manier bepaald en inherent aan
hetgeen je aan het onderzoeken bent. Er is een deel van de spreiding dat we wel kunnen vermijden en dat zijn
meetfouten.
› Door betere meetinstrumenten te ontwikkelen kun je de meetfouten en variabiliteit binnen de groepen
verminderen, wat zal leiden tot een kleinere standaardafwijking
SIGNIFICANTIETOETS IN 4 STAPPEN
Je statistische resultaten rapporteren is belangrijk, dit doe je aan de hand van de volgende stappen:
1. Formuleer de nul- de alternatieve hypothesen
o Meestal zijn wij geïnteresseerd in verschillen tussen groepen, of we met een bepaalde therapie het verschil kunnen
maken, dan moeten we een groep met en zonder therapie vergelijken en zien of er effectief een verschil is
o Nulhypothese = er is geen verschil tussen de groepen, als we deze hypothese kunnen verwerpen kunnen we besluiten
dat er wel een verschil is
o We kunnen deze redenering niet omdraaien. Je zou kunnen denken dat we eerst moeten kijken of het verschil groot
genoeg is, maar bij de steekproevenverdeling weten we dat het gemeten gemiddelde ook kan afwijken door toevallige
fouten. Daardoor kunnen we nooit met zekerheid zeggen dat de alternatieve hypothese klopt. Wel kunnen we, als we de
nulhypothese verwerpen, aannemen dat er genoeg bewijs is om de alternatieve hypothese te accepteren.
2. Bepaal de waarde van de toetsingsgrootheid → bijvoorbeeld het gemiddelde
3. Bepaal de overschrijdingskans p voor de data (theoretisch versus resampling)
De p-waarde is de kans dat je resultaten gebaseerd zijn op toeval als de nulhypothese waar is
g Je kan de p-waarde, ofwel de overschrijdingskans, berekenen op twee manieren: "theoretisch" of aan de hand van "resampling"
g "theoretisch" door gebruik te maken van standaardverdelingen, zoals de normaalverdeling of t-verdeling, afhankelijk van de aard van je gegevens en
de analysevereisten. Deze benadering gebruikt statistische tabellen of software om te bepalen hoe extreem de teststatistiek is vergeleken met een
standaard verdeling
g "resampling" houdt in dat je herhaalde steekproeven uit je gegevens trekt om de verdeling van de teststatistiek (de waarde die wordt berekend uit
steekproefgegevens tijdens het uitvoeren van een statistische test) direct te schatten zonder aannames over de populatieverdeling
g De keuze tussen deze benaderingen hangt af van de aard van je gegevens en je specifieke analytische doelen
g Standaard wordt vaak een p-waarde van 5% gebruikt (tenzij anders aangegeven)
g wat inhoudt dat we meestal een 95% betrouwbaarheidsinterval gebruiken, waarbij 2,5% van de kans op extreme waarden aan de onderkant en 2,5%
aan de bovenkant van de verdeling van de teststatistiek ligt
g Het verband tussen α (het significantieniveau) en de p-waarde is cruciaal in statistische tests
g Een lage p-waarde (bijvoorbeeld p < 0,05) suggereert dat de kans op het verkrijgen van dergelijke gegevens door toeval erg klein is, wat wijst op
sterke statistische steun om de nulhypothese te verwerpen
g Een hoge p-waarde (bijvoorbeeld p > 0,05) geeft aan dat de kans op het verkrijgen van dergelijke gegevens door toeval vrij groot is, wat betekent dat
je geen sterk bewijs hebt om de nulhypothese te verwerpen
4. Formuleer de conclusie in APA-style
ð Als p ≤ α, verwerp je de nulhypothese → wat duidt op een statistisch significant effect of verschil
ð Als p > α, accepteer je de nulhypothese → wat aangeeft dat er onvoldoende bewijs is voor een effect
4
